Transcript Analiza dinamicii sistemului rotor

MĂSURAREA ŞI ANALIZA
VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR
ANALIZA DINAMICII
SISTEMULUI ROTOR-LAGĂRE
GENERALITĂŢI
• Din marea clasă a maşinilor cu rotor fac parte următoarele subclase de
maşini: turbine, generatoare, motoare, compresoare, pompe şi
suflante.
• Deşi varietatea maşinilor cu rotor, ca tipuri şi dimensiuni, este mare
chiar şi în cadrul aceleiaşi subclase de maşini, totuşi, ele au un element
comun: rotorul. Rotorul este un subansamblu al acestor maşini, format
dintr-un arbore pe care se găsesc unul sau mai multe discuri şi care
execută o mişcare de rotaţie în jurul propriei axe. Acest element, aflat
în mişcare de rotaţie, are proprietăţi dinamice specifice maşinilor cu
rotor, care nu se întâlnesc la celelalte tipuri de maşini sau structuri.
• În funcţionarea maşinilor, rotorul este supus unor vibraţii de încovoiere
şi de răsucire. Aceste vibraţii sunt dependente de geometria rotorului
şi de tipul lagărului, precum şi, în egală măsură, de forţele excitatoare.
Rotorul, în mişcare de precesie, excită propria fundaţie pe care este
amplasat. Aceasta, la rândul ei, influenţează în mai mică sau mai mare
măsură vibraţia rotorului. Complexitatea fenomenelor dinamice este
mare dacă se ţine cont că asupra rotorului pot acţiona forţe hidro şi
aerodinamice, câmpuri cu gradient variabil de temperatură şi presiune,
câmpuri electromagnetice etc.
•În continuare,sunt prezentate pe scurt principalele caracteristici ale
dinamicii maşinilor cu rotor, comparativ cu cele ale sistemelor fără rotor.
Toate fenomenele dinamice, care apar în timpul funcţionării maşinilor cu
rotor, sunt strâns legate de mişcarea de rotaţie a rotorului, existând un
transfer de energie din direcţia mişcării de rotaţie către cea de precesie.
În timp ce, în cazul structurilor pasive, un mod de vibraţie este
caracterizat de forma sa proprie, la structurile active, mişcarea de vibraţie
a rotorului este definită de modul de precesie. De aceea, mişcarea de
vibraţie a rotorului cuprinde două componente laterale, inseparabile,
denumite componenta verticală şi, respectiv, cea orizontală a modului
propriu de precesie.
În cazul structurilor negiroscopice, noţiunea de frecvenţă negativă este
lipsită de sens. În cazul maşinilor cu rotor, ea apare şi este reprezentată de
frecvenţa cu care centrul geometric al unei secţiuni transversale a
arborelui se roteşte în jurul axei lagărelor, sensul mişcării fiind în sens
contrar mişcării de rotaţie a arborelui în jurul propriei axe. Acest tip de
mişcare poartă numele de mişcare de precesie inversă. Dacă însă cele
două mişcări de rotaţie, menţionate anterior, au loc în acelaşi sens,
mişcarea rotorului se numeşte de precesie directă.
 În dinamica maşinilor cu rotor, datorită existenţei în general a unor
mici diferenţe, nesimetrii, a caracteristicilor sistemului pe cele
două direcţii, verticală şi orizontală, modurile de precesie apar
perechi - de exemplu: primul mod vertical şi primul mod orizontal.
 O altă trăsătură specifică structurilor cu rotor o constituie faptul că
acestea au propria forţă perturbatoare, care apare ca urmare a
existenţei maselor neechilibrate aflate în mişcare de rotaţie. Chiar
dacă turaţia arborelui este de zeci de mii de rotaţii pe minut, la
marea majoritate a maşinilor cu rotor sunt excitate numai primele
două sau trei moduri proprii de precesie. Aceasta se explică prin
faptul că ele corespund modurilor proprii ale rotorului, precum şi
pentru că sunt în general slab amortizate. Ca urmare, în studiul
dinamic al maşinilor cu rotor, importante sunt primele moduri
proprii.
 Dacă în cazul structurilor fără rotor, atunci când se studiază un
număr mare de moduri proprii de vibraţie, informaţiile referitoare
la defazajul dintre excitaţie şi răspuns pot fi uneori neglijate, în
cazul maşinilor cu rotor, ele trebuie luate mereu în considerare,
acest defazaj fiind de fapt mărimea care face legătura dintre
mişcarea de rotaţie şi cea de precesie (este folosit în general sub
denumirea de semnal de fază).
 În studiul dinamic de determinare a pulsaţiilor proprii ale
structurilor fără rotor, amortizările pot fi neglijate. Neglijarea lor
însă în cazul structurilor cu rotor ar duce la obţinerea de rezultate
cu erori mari.
 Nesimetriile din sistem, introduse de efectul giroscopic al discurilor
şi de forţele dinamice din lagăre şi etanşări, determină în
modelarea maşinilor cu rotor apariţia matricelor nesimetrice, spre
deosebire de stucturile negiroscopice, care sunt modelate prin
matrice simetrice.
 Tipurile de lagăre folosite la maşinile cu rotor sunt: lagăre cu
elemente de rostogolire, lagăre cu alunecare şi lagăre hidrostatice.
 Datorită proprietăţilor deosebite pe care le oferă: capacitate mare
de încărcare, amortizări mari, durabilitate ridicată, cel mai des
întâlnite sunt lagărele cu alunecare. Acestea, alături de efectul
giroscopic al discurilor, fac ca pulsaţiile proprii ale sistemului rotor–
lagăre să fie dependente de turaţia arborelui. Amortizarea
introdusă de lagărele cu alunecare influenţează nu numai
amplitudinea vibraţiei, dar chiar şi valorile pulsaţiilor proprii, iar
neglijarea ei, aşa cum se procedează de multe ori în studiul
dinamic al sistemelor fără rotor, ar duce la erori mari în calculul
dinamic al maşinilor cu rotor.
Rotor elastic în lagăre rigide
•Fie un disc de masă m fixat pe un arbore care se roteşte cu viteza unghiulară
constantă în două lagăre rigide. Constanta elastică a arborelui este considerată ca fiind
mai mică de 10% din cea a lagărelor. Se consideră de asemenea că centrul de greutate
al discului, punctul G, nu coincide cu centrul său geometric, punctul C, care însă
coincide cu centrul secţiunii transversale a arborelui.
•Fie e distanţa între aceste două puncte şi se adoptă următoarele ipoteze
simplificatoare:
se neglijează masa arborelui şi toate forţele de frecare;
când Ω=0 (arborele nu se roteşte), axa rotorului nu se deformează;
constanta elastică a arborelui este: k=48EI/l3,
unde: E este modulul lui Young, I – momentul de inerţie al secţiunii transversale a
arborelui. Dacă discul se roteşte odată cu arborele, apare o forţă centrifugă mΩ2 care
poate fi descompusă în două componente: una verticală şi una orizontală. Deci, discul
va vibra în lungul celor două direcţii, iar mişcarea sa va fi în rezonanţă cu pulsaţia
proprie a sistemului, deci atunci când viteza unghiulară Ω a arborelui va coincide cu
pulsaţia proprie ω a sistemului aflat în repaus. Turaţia arborelui la care are loc acest
fenomen de rezonanţă este cunoscută sub numele de turaţie critică.
krc  m2 rc  m2 e
2

 
2


rc  e
e   2
k

 2
1

 
m

•La aceleaşi rezultate se poate ajunge utilizând principiul lui d'Alembert.
 
m xG  kxc  0
 
m y G  kyc  0


 xG  xc  e cos 


 yG  yc  e cos 
rG  rC  eei
• Ţinând cont de relaţiile de
mai sus (după derivare şi înlocuire) se obţine:

rc   2 rc  e 2ei t  0 
cu soluţia staţionară de forma:
rc 

e 

2

1  

2
ei t 0 
• Concluzii:
Conform relaţiilor de mai sus, se observă că punctul C, centrul geometric al discului,
şi de asemenea şi punctul G, centrul de greutate al discului, pentru Ω = constant au o
mişcare circulară dacă e ≠ 0, de raze |rC| şi |rG|.
Deoarece segmentul CG  e ei ( t  ) şi rC şi rG pot fi scrise sub forma:
rC  rC ei (t )
rG  rG ei (t )
rezultă că vectorii OC şi OG sunt coliniari, cu alte cuvinte, punctele O, C şi G sunt
coliniare.
Pentru Ω = constant, poziţia acestor trei puncte este fixă pe linia care le uneşte. Axa
arborelui este deformată, dar are o poziţie fixă, care se roteşte în jurul axei OZ,
tensiunile care apar în arbore în urma încovoierii fiind constante.
Deoarece mişcarea punctului C în jurul axei lagărelor (axa OZ),
se produce cu aceeaşi viteză unghiulară Ω ca şi mişcarea
punctului G în jurul axei arborelui, mişcarea poartă numele de
mişcare de precesie sincronă.
• Pentru viteze de rotaţie inferioare celei critice, punctul C se găseşte
între O şi G, în timp ce pentru viteze superioare celei critice, C este în
exteriorul segmentului OG. În plus, C şi G sunt mereu de aceeaşi parte
în raport cu O
Influenţa amortizării externe


m rc  ce rc  krc  me 2 ei t 0 
• Soluţia generală are forma: rc t   R1e
i t
 R2eit
-dacă nu există amortizare:
-dacă există amortizare:
rc t   R1eit  R2eit
~
•
Soluţia particulară a ecuţiei neomogene are forma:
dar de această dată amplitudinea
vectorului are o
~
valoare complexă rC  ( rC ) R  i( rC ) I
rc (t )  rC ei ( t 0 )
• Eliminând raportul Ω/ω între partea reală (rC)R şi cea imaginară (rC)I , se obţine o
curbă polară (curbă de tipul Nyquist)
Rotorul elastic în lagăre elastice
 
2
m
x

k
x

m
e

cos t
 C x C
 
m yC  k y yC  me2 sint

2



e 

  x  cos t


x
t

X
cos

t

C
 C
2




1   

 x 


2




e

 
 y t   Y sin t   y  sin t
C
2
 C



1 
 y 




• Deci, rotorul simetric care este
rezemat pe lagăre anizotrope are
două turaţii critice
x 
kx
; y 
m
ky
m
• Dacă se introduce amortizare în lagăre:
Deci, un calcul în care se neglijează amortizarea din lagăre va da rezultate eronate ale
turaţiilor critice!
Efectul giroscopic al discului
m
0

Turaţiile critice
m
0

0   rC  0
0   rC   k11
 
 
J T     0  iJ P      k 21
 C 
 C 

 it
k12   rC 
me e i  0
2


e
 

i0 
k 22   C 


J

J

e
P
 T



0 
0 
 rC  0
 rC   k11
  
 


J T     0  iJ P      k 21
 C 
 C 



k12   rC 
   0

k 22   C 
k12 k 21  k11  m 2 k 22  J T  2

J P  k11  m 2


Lagărele hidrodinamice
Coeficienţii dinamici ai lagărului hidrodinamic
 k xx
K   k
 yx
 Fx
k xy   x

k yy   Fy
 x
Fx 
y 

Fy 
y 
c xx
C   c
 yx
 Fx
 
c xy    x


Fy
c yy 
 
 x

Fx 
 
y 
Fy 
 
 y 
Interacţiunea dintre rotor şi lagărul hidrodinamic
• Lagărele cu alunecare sunt superioare lagărelor cu rulmenţi în funcţionarea
rotorilor de turaţii ridicate, oferind posibilităţi mari de amortizare, de încărcare şi
realizând totodată frecări mici în ansamblul fus–lagăr. De aceea, lagărele cu
alunecare sunt des utilizate în maşinile ai căror rotori au viteze de rotaţie mari, cum
ar fi: turbine, pompe, compresoare, mărindu-le durata de viaţă şi asigurându-le o
funcţionare silenţioasă. Aceste avantaje sunt atribuite caracteristicilor macanice ale
filmului de ulei format în interstiţiul dintre cele două suprafeţe, a fusului şi,
respectiv, a lagărului.
• În multe cazuri, caracteristicile dinamice ale lubrifiantului au efect deosebit de
important asupra vibraţiilor fusului în lagăr. Astfel, dacă sistemul rotor–lagăr este
proiectat corect, amplitudinea vibraţiilor datorate dezechilibrului masic poate fi
mult redusă. Din contră, în urma unei proiectări incorecte, nu numai că
amplitudinea vibraţiilor poate creşte, dar chiar pot apărea fenomene de
instabilitate, cunoscute în literatura de specialitate sub denumirile oil whirl şi oil
whip, care sunt vibraţii autoexcitate ale fusurilor rotorului în lagăre, fiind puternic
influenţate de proprietăţile dinamice ale filmului de ulei. O mare atenţie trebuie
deci acordată în evitarea apariţiei acestui fenomen, lucru în prezent posibil ca
urmare a recentelor progrese obţinute în modelarea fenomenelor de lubrificaţie şi
în dinamica rotorilor.
• Alături de fenomenele de instabilitate amintite mai sus, maşinile care lucrează la
turaţii înalte mai prezintă şi alte tipuri de vibraţii autoexcitate, cum ar fi cele
datorate forţelor aerodinamice, frecărilor interne sau unor neliniarităţi din sistem,
care produc vibraţii subsincrone, cum ar fi de exemplu arborii cu secţiune
nesimetrică sau unele frecări dintre arbore şi etanşări.
Utilizarea metodei elementelor finite în modelarea
sistemului rotor-lagăre
• Avantajul metodei constă în modelarea relativ uşoară a sistemelor complexe rotor–
lagăre–carcasă–fundaţie şi în posibilitatea de introducere a efectului giroscopic, a
efectului forţei tăietoare şi a celei axiale, a momentelor torsionale, a îndoirii
arborelui, precum şi a forţelor hidro şi aerodinamice.
 


~  ~    ~
M    C    K    F
 
 