Transcript Analiză modală și simulare

MĂSURAREA ŞI ANALIZA
VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR
Analiză modală şi simulare
Comportarea modală a structurilor
• La modul general, în funcţia de răspuns în frecvenţă (FRF) a unei structuri se
vor observa o mulţime de vârfuri. Fiecare dintre aceste vârfuri, de regulă cu
un aspect ascuţit, corespunde unei rezonanţe a structurii. Ca urmare, structura
se comportă ca un ansamblu de substructuri, fiecare dintre ele având un singur
grad de libertate şi corespunzător o anumită frecvenţă proprie, care face să
apară o rezonanţă în spectrul FRF. Acesta este elementul cheie în analiza
modală, prin care comportarea unei structuri poate fi analizată identificând şi
evaluând toate rezonanţele, sau modurile, care apar în spectrul răspunsului.
• Analiza modală este metoda prin care se determină parametri modali ai unei
structuri, (frecvenţa, amortizarea şi forma modală), pentru toate modurile
proprii aflate în domeniul de interes. Scopul următor, folosind parametri
modali, este de a construi modelul modal al răspunsului. În final, mai trebuie
reţinut că:
orice deformaţie dinamică forţată a unei structuri poate fi reprezentată ca o
sumă ponderată a formelor modurilor propri ale structurii;
fiecare mod poate fi reprezentat ca un sistem cu un singur grad de libertate.
Modelele sistemelor cu un singur grad de libertate
• Un model analitic poate fi construit în domeniul fizic,
rezultând un sistem abstract care conţine o masă
concentrată m susţinută de un arc cu constanta k liniară şi
fără masă şi un amortizor vâscos de constantă c liniară.
Masa este obligată să se mişte într-o singură direcţie x,
rezultând un sistem cu un singur grad de libertate.
• Un model matematic în domeniul timp se obţine din modelul analitic, prin aplicarea
primcipiului lui d’Alambert (în orice moment suma forţelor este nulă):
mxt   cxt   kxt   f t 
este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, în care f(t) reprezintă forţele exterioare.
Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în
domeniul frecvenţă
• Modelul parametric este un model
construit în domeniul frecvenţă,
capabil să descrie funcţia de răspuns
H(ω) în funcţie de masa m şi de
coeficienţii de rigiditate şi de
amortizare.
• Să studiem comportarea acestui model
sub o excitaţie sinusoidală şi să vedem
ce se întâmplă cu amplitudinea
│H(ω)│şi cu faza Φ(ω) funcţiei de
răspuns H(ω), atunci când frecvenţa de
excitaţie creşte.
Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în
domeniul frecvenţă
• Modelul FRF, cunoscut şi sub denumirea de modelul cutiei negre, nu
foloseşte parametri, dar se bazează pe definiţia funcţiei de tranfer H(ω):
X    H    F  
în care H(ω) este funcţie de raportul deplasare/forţă, deci un raport a
spectrelor ieşire/intrare şi variază în funcţie de ω. Acest model face
legătura dintre modelul analitic şi măsurările efectuate experimental.
Modelul fizic este ideal când se foloseşte abordarea analitică a
sistemelor. În cazul structurilor reale, deobicei, se cunosc puţine lucruri,
uneori deloc, referitoare la distribuţia maselor, rigidităţilor şi a
amortizărilor. Următorul model crează o legătură practică între teorie şi
măsurări.
Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în
domeniul frecvenţă
• Modelul parametrilor modali este construit folosind doi parametri care pot fi
obţinuţi din funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate experimental.
• Funcţia H(ω) este definită în funcţie de un pol p şi de un reziduu R, precum şi de
valorile lor conjugate p* şi H*:
R
R
H   

j  p j  p 
• Atât polul cât şi rezidul sunt definite în funcţie de parametri modali în felul următor:
1
1
p  n  ja ; p  n  ja ,
Rj
; R  j
;
2ma
2ma
2
2
2
unde a  0 1   2 ; 0  a  n
iar în rest sunt notaţiile consacrate: 0 
k
c
c
c
, n
,  

,
m
2m
ccr 2 km
j  1
• Polul p este un număr complex a cărui parte reală n reprezintă rata de descreştere a
oscilaţiilor forţate şi se observă bine în funcţia de răspuns exprimată în domeniul
timp:
ht   2 R e nt sina  t 
Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în
domeniul frecvenţă
Modelul parametrilor modali
Partea imaginară a polului p este frecvenţa
modală, egală cu frecvenţa proprie a sistemului
amortizat ωa, excitat şi lăsat liber să vibreze.
Polul dă forma graficului amplitudinii şi fazei
în zona de rezonanţă, oferind o măsură
calitativă a proprietăţilor dinamice ale
sistemului. Rezidul R al unui sistem cu un
singur grad de libertate este un număr imaginar
care expeimă forţa unui mod de vibraţie. El
este un concept matematic, fără o interpretare
fizică directă. În capitolele care vor urma acest
parametru va fi legat de cel de-al treilea
parametru modal, forma modului de vibraţie.
Prin reziduu se face o scalare, în valoare
absolută, a curbei FRF şi implicit a
amplitudinii acestei curbe. Dar amplitudinea nu
este dată numai de reziduu, ci de raportul
R dintre
H a 
reziduu şi partea reală a polului:
 
n
Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în
domeniul frecvenţă
Modelul parametrilor modali
După cum s-a observat din relaţiile de mai sus, atât polul cât şi rezidul
se pot obţine efectuând măsurări pe graficul FRF. Modelul parametrilor
modali face legătura dintre modelul analitic şi măsurările
experimentale.
În scopul exemplificării proprietăţilor polului şi rezidului, în
continuare, sunt prezentate în tabel, în paralel, două modele simple,
care au aceeaşi masă, rigiditate şi amortizare, deci au acelaşi pol. Deşi
curbele FRF au aceeaşi formă, răspunsurile celor două sisteme la
aceeaşi forţă egală cu unitatea vor fi diferite ca urmare a diferenţei
dintre rezidurile lor.
Modelul 1
Modelul 2
k
400
0 

 20
m
1
c
8
n

4
2m 2  1
a  02  n2  202  42  19,6
400000
 20 rad/s
1000
8000
 4 rad/s
2  1000
202  42  19,6 rad/s
1
1
1
5 m
2
  j 2,55  10
R

  j 2,55  10
2  j  1000  19,6
N s
2 jma 2  j  1  19,6
Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în
domeniul frecvenţă
Modelul parametrilor modali
Modele ale sistemelor cu mai multe grade de libertate
• Modelele anterioare au fost restricţionate numai la un singur grad de libertate – o
singură mişcare pe o singură direcţie. Structurile reale au numeroase puncte care se
mişcă independent, pe direcţii diferite – au mai multe grade de libertate. S-a văzut că
pentru a măsura FRF pe o structură reală trebuie să măsurăm excitaţia şi răspunsul
între două puncte. Cum însă fiecare punct are şase posibilităţi de mişcare, trebuie
specificată şi direcţia mişcării. În continuare se va folosi indicele i pentru a indica
punctul în care se face citirea răspunsului, iar cu j cel în care se aplică forţa. Indicii x,
y şi z se vor folosi pentru a indica direcţia. Deci se poate scrie:
X  
• Scriind Hij(ω) în două moduri diferite: H ij   
 Rijr



H ij   



j  pr 
r 1  j  pr
m
sau


Rijr
m
 H  
H ij   
i
F j  
ijr
r 1
se pot obţine două modele: modelul FRF şi modelul parametrilor modali, însă
pentru sisteme cu mai multe grade de libertate.
Modele ale sistemelor cu mai multe grade de libertate
• În modelul FRF funcţia Hij(ω) este o sumă
de funcţii de răspuns în frecvenţă, fiecare
corespunzătoare unui singur mod propriu de
vibraţie, din domeniul frecvenţelor în care sau făcut măsurările (indicele r este numărul
modului, iar m este numărul total de
moduri).
• Modelul parametrilor modali defineşte
funcţia Hij(ω) în funcţie de polii şi rezidurile
tuturor modurilor proprii de vibraţie din
domeniul măsurat. Acest model scoate în
evidenţă două proprietăţi importante ale
parametrilor modali:
frecvenţele şi amortizările modale sunt
proprietăţi globale – polul este funcţie de
modul r şi este independent de numărul
gradelor de libertate folosite în măsurare;
rezidul este o proprietate locală – indexul ijr
face legătura dintre o anumită combinaţie a
gradelor de libertate şi un anumit mod.
Ce este forma modului?
• Forma modului este un parametru
matematic abstract care defineşte, prin
valori înscrise într-un vector, deformaţia
structurii corespunzătoare acelui mod.
• Deşi forma modului reprezintă de fapt o
funcţie continuă, în analiza modală se
preferă folosirea vectorilor (o matrice cu o
singură coloană) pentru a descrie forma
unui mod. De exemplu, vectorul {ψ}r va
descrie forma modului r – indice care
corespunde numărului modului.
• Elementele ψir, din vectorul {ψ}r care
descrie forma modului, reprezintă deplasări
relative ale fiecărui grad de libertate i şi
corespunzătoare modului r. Deobicei,
elementele
vectorului
sunt
mărimi
complexe, incluzând informaţii referitoare
atât la amplitudinea deplasării cât şi a fazei
acesteia.
Moduri normale. Moduri complexe
• Modurile normale sunt modurile pentru care toate secţiunile structurii se mişcă în fază
(0o), sau în antifază (180o), unele cu altele. Ca urmare, deplasările modale ψir sunt
valori reale, pozitive sau negative. Forma modurilor normale poate fi imaginată sub
forma unei unde la care nodurile sunt puncte fixe în spaţiu.
• Modurile complexe sunt cele la care, între diferite secţiuni ale structurii, există
defazaje ce se găsesc într-o anumită relaţie unele cu altele. De data aceasta,
deplasările modale ψir au valori complexe care pot avea orice fază. Modurile
complexe pot fi considerate ca fiind nişte unde nestaţionare la care nodurile nu au o
poziţie fixă.
Legătura dintre reziduu şi formele modurilor
• În paragrafele anterioare s-a văzut că rezidul este proporţional cu amplitudinea FRF.
În dreptul unei frecvenţe modale ωar, unde indicii a = amortizare şi r este numărul
modului, amplitudinea funcţiei de răspuns în frecvenţă este:
Rijr
H ij  
 cr

nr
• Se poate demonstra că rezidul pentru un anumit mod r este proporţional cu produsul
dintre deplasarea modală ψir corespunzătoare gradului de libertate i şi excitaţia ψjr
măsurată în punctul j, (– simbol folosit pentru a marca proporţionalitatea):
Rijr   ir  jr
• În figură este prezentată forma celui de al doilea
mod propriu de vibraţie, a unei bare încastrate la
un capăt şi liberă la celălalt, excitată în punctul 8,
iar răspunsul măsurat în trei puncte 10;12 şi 14.
Rezultă relaţiile:
H10,8 10  8 H12,8 12  8 H14,8 14  8
• Trebuie observat faptul că pentru toate cele trei
măsurări curba de răspuns la frecvenţa de
rezonanţă a modului 2 are aceeaşi alură, diferind
doar amplitudinea, care este proporţională cu
deplasările modale.
Scalarea formei modurilor
• Elementele ψir, din vectorul {ψ}r care descrie forma modului, exprimă
deplasările relative ale fiecărui grad de libertate, dar ele nu sunt unice. Din
măsurarea FRF sunt determinate rezidurile care au valori unice. Relaţia de
legătură dintre un reziduu şi deplasările modale asociate permite determinarea
unei constante scalare ar, pentru fiecare mod r, astfel:
Rijr  ar  ir   jr
în care φir şi φjr reprezintă deplasările modale scalate. Dacă măsurarea
excitaţiei şi a răspunsului se face în acelaşi punct, rezultă:
R jjr  ar   2jr
• O abordare matematică a problemei stabileşte o relaţie de legătură dintre
vectorul {φ}r care descrie forma modului şi masa modală Mr:
M r  r  m r
T
• Aplicând această relaţie în cazul sistemului cu un singur grad de libertate (caz
în care există o singură masă şi o singură deplasare), se poate calcula
constanta ar:
M    m 
R
1
2 ja m
 a  
a
1
2 j a M
Scalarea formei modurilor
• Masa modală nu are legătură cu masa structurii şi nu poate fi măsurată.
Este pur şi simplu o noţiune matematică, care poate avea orice valoare
cu excepţia lui zero. Din acest motiv, pentru sistemele cu mai multe
grade de libertate, se poate considera Mr=1, ceea ce permite calculul
constantei ar, rezultând:
1
ar 
2 jar
• Efectuând măsurări în mai multe puncte, se poate calcula Rjjr pentru
fiecare mod. Calculând apoi constanta ar, se pot obţine valorile
deplasărilor φjr scalate. Din măsurarea răspunsului sunt apoi scalate
valorile φir, iar în final sunt obţinute formele modale scalate.
Cuplaj modal
• Cuplajul modal este un termen în general folosit pentru a indica cât de mult un
răspuns, corespunzător unei frecvenţe modale, este influenţat de contribuţia celorlalte
moduri. Acest lucru poate fi observat studiind curba FRF în vecinătatea unei frecvenţe
modale.
• O structură slab amortizată are modurile bine separate şi distincte şi ca urmare se
spune că este o structură slab cuplată. Aceste structuri, în jurul frecvenţelor modale, se
comportă ca şi sistemele cu un singur grad de libertate şi sunt considerate nişte
structuri simple.
• O structură puternic amortizată, sau care are o
densitate modală mare, va avea funcţii de
răspuns în frecvenţă în al căror spectru
modurile nu se vor distinge clar. Despre aceste
structuri se spune că sunt puternic cuplate, iar
răspunsul la orice frecvenţă din spectru este o
combinaţie liniară a mai multor moduri.
Fiecare dintre aceste moduri intervine cu o
pondere proprie q în forma deformată a
structurii:
x  q1  1  q2  2
 ... qm  m
Ce se înţelege prin descriere modală?
• Liniaritatea. Se presupune că sistemul supus
testului are o comportare liniară, atfel încât
răspunsul este întotdeauna proporţional cu
excitaţia. De aici rezultă:
superpoziţia – o FRF măsurată nu depinde de
tipul de undă de excitaţie folosit. O sinusoidă
la care frecvenţa variază într-un anumit
domeniu, va da acelaşi rezultat ca şi o excitaţie
impact cu frecvenţe în acelaşi domeniu;
omogenitatea – o FRF măsurată este
independentă de nivelul excitaţiei;
reciprocitatea – în sistemele mecanice liniare
există o simetrie particulară descrisă de
Teorema reciprocităţii a lui Maxwell.
• În general, structurile au o comportare liniară
dacă sunt supuse la deformaţii mici. Dacă
deformaţiile sunt relativ mari, structura se
comportă neliniar, iar metoda modală nu poate
fi folosită în predicţia defecţiunilor majore.
Ce se înţelege prin descriere modală?
• Trebuie, de asemenea, să considerăm că structura supusă analizei modale va îndeplini
următoarele proprietăţi:
cauzală – ea nu va vibra dacă nu este excitată;
stabilă – vibraţia încetează atunci când excitaţia încetează;
invariantă în timp – caracteristicile dinamice nu se vor schimba pe durata testului.
• Există situaţii în care unele caracteristici se modifică în timpul testului:
masa unei structuri uşoare se poate modifica odată cu montarea traductorului;
pe perioade lungi de testare, caracteristicile structurale pot fi influenţate de
temperatură sau de alte condiţii de mediu;
unele structuri suferă schimbări continue – de exemplu, masa unui avion în timpul
zborului descreşte continuu, pe măsură ce se consumă din combustibil. Ca urmare
spectrul funcţiei de răspuns în frecvenţă se modifică continuu în timp
Modelul parametrilor concentraţi
• Modelul parametrilor concentraţi reprezintă o
structură cu mai multe grade de libertate sub forma
unei mulţimi de mase, legate între ele prin elemente
elastice şi de amortizare.mx  cx  k x   f 
• În cazul unei structuri reale, distribuţia masei, a
amortizării şi a rigidităţii nu este în general cunoscută,
dar se pot localiza polii (se pot determina
experimental frecvenţele şi amortizările modale),
rezidurile şi se pot obţine formele modale scalate. Cu ajutorul acestor parametri
calculaţi pe baza datelor experimentale, se poate apoi transforma modelul parametrilor
concentraţi.
• Dacă în ecuaţia matriceală de mişcare se înlocuiesc coordonatele fizice {x} cu
produsul dintre matricea modală [φ] – este matricea care are pe coloane vectorii
modali scalaţi (numărul de linii este egal cu numărul gradelor de liberatate, iar
numărul de coloane cu numărul modurilor proprii de vibraţie din domeniul
frecvenţelor de măsură) – şi coordonatele modale {q}, rezultă o transformare într-un
alt domeniu – spaţiul modal:
x    q
Spaţiul modal
• Transformarea în spaţiul modal are un foarte mare efect asupra modelului cu
parametri concentraţi: ecuaţiile mişcării se decuplează şi formează un sistem de
ecuaţii în care fiecare dintre ele corespunde unui sistem cu un singur grad de libertate,
grade care corespund gradelor de libertate ale structurii, deci câte o ecuaţie pentru
fiecare coordonată modală.
Iq  2nq  02 q   T  f   
r  2nr qr  02r qr  Tr  f   r
q
• Fiecare model are o masă egală cu unu (masă modală=1), o constantă de amortizare
egală cu lăţimea de bandă a modului respectiv şi o constantă elastică egală cu pătratul
frecvenţei proprii neamortizate a acelui mod. În locul modelului cu m grade de
libertate cuplate, prin transformarea efectuată, s-au obţinut m modele individuale,
decuplate, fiecare cu câte un singur grad de libertate, asupra cărora acţionează,
corespunzător fiecăruia, m forţe modale. Fiecare dintre aceste forţe modale este egală
cu produsul scalar dintre vectorul propriu al modului respectiv (cel care dă forma
acelui mod) şi vectorul forţelor din spaţiul fizic (forţele reale care acţionează asupra
maselor în modelul parametrilor concentraţi) – cu alte cuvinte se face proiecţia
forţelor pe forma modului. Forţa modală poate fi interpretată ca fiind proprietatea unei
anumite distribuţii a forţelor de a excita numai un anumit mod.
Alegerea gradelor de libertate
• Prin punct de măsură trebuie înţeles locul şi direcţia pe care se face măsurarea.
• E firesc să se pună întrebarea: cât de multe grade de libertate sunt necesare în
efectuarea unui test? Numărul gradelor de libertate necesar depinde de scopul
testului, de geometria structurii şi de numărul modurilor existente în domeniul
frecvenţelor de interes.
• De exemplu, verificarea frecvenţelor modale prezise analitic se poate face printr-un
test simplu, în care sunt necesare puţine grade de libertate (puncte de măsură). Dacă
scopul testului este acela de a construi un model matematic, atunci trebuie un
număr suficient de grade de libertate liniar independente.
Alegerea gradelor de libertate
• În exemplul cu patru grade de
libertate, pot fi observate patru
moduri liniar independente –
modurile superioare sunt de fapt
primele patru moduri care se repetă.
Rezultă că modelul care s-ar putea
construi pe baza acestor date trebuie
să aibă trei, maximum patru,
frecvenţe proprii.
• În exemplul cu treizeci de grade de
libertate, eroarea în prezentarea
formei deformate a modului apare la
modurile superioare. În acest caz
mult mai multe moduri sunt liniar
independente.
• În concluzie, numărul gradelor de
libertate trebuie astfel ales încât
structura să fie complet definită din
punct de vedere dinamic, pe întreg
domeniul de interes.
Dimensiunile matricei de mobilitate
• Elementele matricei de mobilitate se determină experimental, iar numărul lor depinde
de numărul gradelor de libertate al sistemului, mai exact de combinaţiile care se pot
face între acestea, dacă ne gândim că unele dintre ele pot fi intrări iar altele ieşiri.
• Fiecare element Hij(ω) al matricei [H] reprezintă o anumită FRF măsurată
experimental. Fiecare linie a matricei conţine funcţii de răspuns în frecvenţă care au la
ieşire acelaşi grad de libertate, în timp ce toate elementele de pe o coloană sunt cele la
care intrarea este aceeaşi.
• Un termen diagonal este cel pentru care
excitarea şi măsurarea răspunsului s-a
făcut corespunzător aceluiaşi grad de
libertate. Termenii de pe diagonala
principală se numesc termenii mobilităţii
directe, iar ceilalţi sunt ai mobilităţii de
transfer.Din fericire la sistemele liniare –
la care se aplică principiul reciprocităţii
dintre intrare-ieşire – pentru alcătuirea
matricei de mobilitate, nu este necesar un
număr atât de mare de măsurări. Este
suficientă completarea unei linii sau a
unei coloane şi a termenilor diagonali,
din moment ce H =H .
Analiza modală a unei structuri simple
• Pentru a înţelege mai bine metoda de extragere
a parametrilor modali, în continuare se va
analiza o structură simplă, exemplul putând fi
considerat ca fiind tipic în rezolvarea
problemelor de vibrodiagnoză.
• Ne interesează doar primele moduri de
încovoiere şi ca urmare vor fi suficiente patru
grade de libertate (patru puncte de măsură)
aliniate pe verticală.
• Privind alura funcţiilor de răspuns în
frecvenţă, se trage concluzia că sistemul este
slab amortizat, nu prezintă cuplaje puternice
între gradele de libertate alese În jurul
frecvenţelor modale prezintă comportarea unui
sistem cu un singur grad de libertate şi, ca
urmare, răspunsul din aceea zonă este dat doar
de modul propriu corespunzător.
• Din FRF-urile măsurate se determină frecvenţele şi amortizările modale. Astfel,
frecvenţele modale sunt acele frecvenţe care corespund amplitudinilor maxime din
graficul FRF. Spre deosebire de acestea, amortizările modale nu se determină atât de
uşor şi în plus prezintă un oarecare grad de incertitudine.
Analiza modală a unei structuri simple
• O metodă folosită la măsurarea amortizării este de a găsi lăţimea de bandă
corespunzătoare nivelului de –3 dB sub nivelul amplitudinii maxime. O structură slab
amortizată are răspunsul la rezonanţă ascuţit, iar lăţimea de bandă corespunzătoare va
fi prea îngustă şi deci greu de măsurat cu precizie. Uneori, acest neajuns se poate
rezolva mărind (analiză zoom) zona de interes.
• Există şi o altă metodă pentru a determina amortizarea modală, metodă în care se
izolează pe rând fiecare mod în parte. Aplicând atât transormata Fourier cât şi Hilbert,
se va obţine funcţia de răspuns de tip impuls a modului respectiv. Reprezentând
această funcţie într-un grafic la care axa ordonatelor este logaritmică, ea va avea alura
unei drepte cu panta negativă.
• Din acest garfic se poate
măsura
timpul
τ
care
corespunde unei descreşteri de
8,7 dB a graficului. Coeficientul
de amortizare n este inversul
acestui timp n =1/τ.
• În
continuare
trebuie
determinate
şi
formele
modurilor proprii de vibraţie.
Metoda cuadraturii pentru determinarea formei modurilor
• Se ştie că la rezonanţă, indiferent de valoarea amortizării, între excitaţie şi răspuns
există un defazaj de 90o. Se mai spune că răspunsul este în cuadratură cu excitaţia.
Efectuând măsurări în lungul structurii aflate la rezonanţă se poate determina forma
modului.
• Anterior, s-a văzut că pentru un model cu un singur grad de libertate, în dreptul
frecvenţei modale (de rezonanţă) se poate scrie:
R
H     
ar
n
• Dar din moment ce măsurările efectuate cu accelerometrul sunt valori ale acceleraţiei,
modelul trebuie modificat, ecuaţiile lui fiind integrate de două ori rezultă:
A    


R
 ar2
ar
n rezidul se va scrie sub forma:
• Dacă modelul are mai multe grade de libertate,
ir   jr
R  ar  ir   jr 
ir   jr
2 jar
A   j

ceea ce va duce la:
ar
ar
2n
• Trebuie reţinut faptul că A(ω) este un număr imaginar calculat în dreptul frecvenţei
modale. Relaţia anterioară stă la baza metodei în cuadratură, putându-se astfel
determina forma modurilor.
• FRF devine pur imaginară în dreptul frecvenţei modale. Amplitudinea FRF este
proporţională cu deplasarea modală, iar semnul este pozitiv dacă deplasarea este în
fază cu excitaţia.
Metoda cuadraturii pentru determinarea formei modurilor
• Se poate determina forma modului dacă se alege un grad de libertate fix pentru
răspuns, sau pentru excitaţie, iar apoi se fac măsurări pentru toate celelalte grade de
libertate. Părţile imaginare ale funcţiilor de răspuns în frecvenţă măsurate
experimental în dreptul frecvenţelor proprii reprezintă deplasarea modală
corespunzătoare acelui grad de libertate. În exemplul considerat, gradul de libertate
notat cu 2 este considerat ca fiind răspuns de referinţă. Excitând structura în toate
celelalte patru grade de libertate, corespunzător fiecăruia, se obţin funcţiile de răspuns
în frecvenţă.
• Cele patru părţi
imaginare ale FRF
pentru
fiecare
frecvenţă
modală
reprezintă
forma
modului
asociat.
Dacă aparatele de
măsură sunt bine
calibrate, se poate
face atunci scalarea
formei modurilor.
Estimarea parametrilor din curbele FRF
• În exemplul anterior, structura fiind slab amortizată (cuplaj scăzut al gradelor de
libertate), s-au determinat parametri modali prin alegerea unor valori discrete din FRF
măsurate. Atunci când datele măsurate indică moduri puternic cuplate sau contaminări
cu zgomot în semnal, sau atunci când parametri modali trebuie determinaţi cu o mare
acurateţe, trebuie făcută o analiză modală cu ajutorul calculatorului. Pentru a
îmbunătăţi estimarea parametrilor modali se folosesc aşa zisele metode de
suprapunere sau potrivire a curbelor FRF. Pentru acest tip de analiză au fost creaţi
numeroşi algoritmi, la alegerea cărora trebuie să ţinem cont că:
etapa cea mai importantă în analiza modală o constituie măsurarea mobilităţii;
nicio metodă de suprapunere a curbelor nu va da o estimare corectă a parametrilor
dacă măsurările efectuate sunt sărace în informaţie.
Ce se înţelege prin suprapunerea (potrivirea) unei curbe?
• Foarte pe scurt, lucrul acesta presupune suprapunerea dintre teoria matematică şi
măsurările experimentale. Teoria furnizează, cu ajutorul unui model matematic
parametric, curbele FRF teoretice, în timp ce măsurările efectuate furnizează curbele
FRF reale. Potrivirea curbelor este o metodă analitică de determinare a parametrilor
matematici care vor da aproximaţia cea mai bună în raport cu datele măsurate
experimental.
• Un exemplu simplu: notând elongaţia unui resort pentru diferite sarcini şi
reprezentând prin puncte aceste date experimentale rezultă graficul din figura.
Teoretic se poate considera o relaţie liniară între forţa aplicată şi săgeata arcului de
forma: x = F / k. Deşi în acest caz nu avem decât o singură necunoscută (k=?) şi deci
ar fi suficientă o singură pereche (F,x) măsurată experimental, folosind totuşi toate
datele măsurate se va obţine cea mai bună estimere a lui k. Dacă greutăţile aplicate pe
resort sunt precise (bine calibrate), forţa aplicată este cunoscută exact şi orice deviere
de la linia dreaptă din grafic este cauzată de erorile de citire ale săgeţii x.
Ce se înţelege prin suprapunerea (potrivirea) unei curbe?
• Metoda celor mai mici pătrate este o metodă prin care se poate minimiza deviaţia
(eroarea ε) dintre datele măsurate experimental şi cele calculate teoretic:
2
Fi 

2
2
 xi     i


i
k
i 
i
i
0
condiţia de minimizare a erorii în funcţie de 1/k este următoarea:
1
 

 
xi Fi
k
1
de unde
 i
2

k



F
i
i
• Această metodă se poate folosi atât pentru sistemele cu un singur grad de libertate cât
şi pentru cele cu mai multe grade de libertate.
Suprapunerea curbelor în analiza modală
• Există numeroase tehnici de suprapunere (potrivire) a curbelor teoretice
cu cele experimentale. Cu toate că prezentarea lor nu face obiectul
acestui curs, sunt făcute totuşi câteva observaţii:
termenul de suprapunere a curbelor este dat de tehnica generală prin
care, după estimarea parametrilor, curba analitică este generată şi
suprapusă peste cea măsurată, astfel încât operatorul să evalueze
erorile;
de obicei se aleg mai multe seturi de date care, prelucrate analitic, vor
da mai multe curbe; se va alege în final acel set care duce la o cât mai
bună potrivire cu cele obţinute experimental;
scopul suprapunerii curbelor este de a permite extragerea din datele
măsurate a unor valori cât mai apropiate de realitate pentru parametri
modali. O bună potrivire a curbelor nu este neapărat suficientă în
obţinerea unui model optim, experienţa operatorului fiind hotărâtoare.
Suprapunerea curbelor în analiza modală
• În cazul sistemelor slab amortizate, la care modurile sunt slab cuplate, se poate aplica
metoda în care „potrivirea” curbelor se face pentru fiecare grad de libertate în parte,
caracteristicile modale calculându-se din valori măsurate, aflate în jurul frecvenţei
modale. Operatorul este cel care decide în jurul cărei frecvenţe se va aplica metoda,
făcându-se un compromis dintre includerea unui număr cât mai mare posibil de
puncte măsurate experimental, în scopul creşterii estimării statistice, şi posibilitatea
apariţiei dominante a altor moduri, odată cu îndepărtarea prea mult de frecvenţa
considerată.
• În cazul sistemelor amortizate, la care modurile sunt cuplate, operatorul este cel care
stabileşte zona din domeniul frecvenţelor măsurate în care se vor căuta parametri
modali (fig. 2.79 - dreapta). Uneori, algoritmii folosiţi vor permite găsirea unui număr
suficient de moduri pentru o bună suprapunere a curbelor FRF; unele moduri însă
trebuie calculate direct de către operator, ceea ce face ca rezultatele să fie influenţate
de către priceperea şi experienţa acestuia în alegerea unui număr corect de moduri
pentru model.
Analiza modală a caroseriei unui microbuz
• Scopurile analizei sunt: studierea primelor două moduri verticale ale
caroseriei unui microbuz, verificarea modelului calculat analitic şi
predicţia răspunsului său dinamic la anumite forţe excitatoare.
• Metoda presupene parcurgerea a patru paşi:
 pregătirea structurii şi a echipamentelor;
 efectuarea măsurărilor;
 estimarea parametrilor folosind curbele FRF;
 prezentarea datelor finale şi concluzii.
Analiza modală a caroseriei unui microbuz
• Pasul 1: Pregătirea structurii şi a echipamentelor
Alegerea gradelor de libertate. Pentru că primele două moduri proprii de vibraţie în
plan vertical nu au o formă complicată, numărul gradelor de libertate poate fi limitat
la 18, corespunzătoare unor puncte egal distribuite în lungul caroseriei, în partea
inferioară a cesteia, pe direcţie verticală.
Prinderea structurii
Alegerea excitaţiei
Modul de excitare
Montarea accelerometrului
Analiza modală a caroseriei unui microbuz
• Pasul 2: Efectuarea măsurărilor
În această etapă se înregistrează şi se stochează datele referitoare la valorile forţei
excitatoare şi ale răspunsurilor măsurate în punctele stabilite anterior. Pentru fiecare
grup de date este bine să se noteze poziţia punctelor de măsurare, ora înregistrărilor
precum şi unele observaţii legate de fiecare grup în parte. Operatorul joacă un rol
important în această etapă, verificând continuu, pe ecranul analizorului forma curbelor
de răspuns în frecvenţă, în ceea ce priveşte coerenţa şi convergenţa acestora,
acceptând sau nu înregistrarea datelor şi ia decizii privind unele corecţii care trebuie
făcute. Această etapă este hotărâtoare pentru tot ceea ce va urma. Crearea modelelor şi
analiza ce se va efectua sunt direct dependente de precizia cu care se face măsurarea.
• Pasul 3: Estimarea parametrilor folosind curbele FRF
După ce măsurarea funcţiilor de răspuns în frecvenţă s-a încheiat se poate trece la
aflarea parametrilor modali. Trebuie parcurse următoarele trei faze:
Operatorul hotărăşte care dintre funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate este cea
mai potrivită, care sunt modurile care prezintă interes şi pe ce domeniu al frecvenţelor.
Pe parcursul acestei faze sunt determinaţi doi parametri modali: frecvenţa şi
amortizarea pentru fiecare mod în parte.
Se estimează şi se înregistrează rezidurile pentru toate modurile de interes.
Informaţiile privind deplasările şi defazajele punctelor în care s-a măsurat răspunsul
sunt prelucrate şi transformate în vectori scalaţi.
Analiza modală a caroseriei unui microbuz
• Pasul 4: Prezentarea datelor finale. În acest moment rezultatele pot fi tipărite sub
fomă de tabele, deşi, mai ales pentru structurile complexe cu un număr mare de grade
de libertate, se preferă prezentarea grafică a datelor. În definirea modelului modal nu
s-a inclus nicio informaţie asupra geometriei structurii. Ca urmare, în această etapă,
trebuie schiţată o geometrie simplă a structurii, în care, în mod obligatoriu, trebuie să
apară nodurile în care s-au făcut măsurările.
• Vizualizarea formei modurilor proprii scalate poate fi făcută fie ca o simplă
reprezentare a formei deformate a structurii, fie cu ajutorul animaţiei. Pot fi folosite
facilităţi suplimentare pentru a roti sau a mării anumite zone ale structurii. Modelul
geometric simplu poate fi „expandat” rezultând o figură geometrică care se apropie
mult mai bine de caroseria microbuzului studiat
Modelul dinamic şi modelul modal
• Rezultatul direct al testului modal efectuat a fost vizualizarea formei modurilor şi a
rezonanţelor asociate. Folosind în continuare datele deja obţinute, se poate alcătui un
model dinamic matematic al structurii studiate.
• Ce este modelul dinamic? Modelul dinamic este o formulare matematică a
proprietăţilor dinamice ale structurii, în puncte discrete ale acesteia şi pe anumite
direcţii. El nu este un model al structurii fizice. De exemplu, dacă structura are o
singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire, atunci modelul matematic
poate fi: X  =H    F  
• Ce este modelul modal? Modelul
modal este un model dinamic
generalizat: X   H  F
în care vectorul {X} este o listă a
spectrelor de vibraţie în funcţie de
gradele de libertate alese. {F} este
o listă a spectrelor de excitaţie
pentru aceleaşi grade de libertate,
iar [H] este o matrice care se poate
calcula folosind parametri modali
X i  Hij  Fj
estimaţi:

j
Modelul dinamic şi modelul modal
 X 1   H11
 X  H
 2   21
 X 3    H 31
    
  
 X n   H n1
H13  H1n   F1 
 F 
  2 
  F3 
 
  
H n3  H nn   F n 
H12
H 22
H n2
X    H   F  
• Ce este modelul modal? Modelul
modal este un model dinamic
generalizat: X   H  F
în care vectorul {X} este o listă a
spectrelor de vibraţie în funcţie de
gradele de libertate alese. {F} este
o listă a spectrelor de excitaţie
pentru aceleaşi grade de libertate,
iar [H] este o matrice care se poate
calcula folosind parametri modali
Xi 
estimaţi:
H
j
ij
 Fj
Modelul dinamic şi modelul modal
 X 1   H11
 X  H
 2   21
 X 3    H 31
    
  
 X n   H n1
H12
H 22
H n2
H13  H1n   F1 
 F 
  2 
  F3 
 
  
H n3  H nn   F n 
X    H   F  
Această formulare are avantajul că
parametri sunt măsurabili. Este
suficient să se măsoare un singur
rând sau o singură coloană a matricei
[H] pentru a construi apoi întreaga
matrice, deoarece se poate calcula
orice element din moment ce se
cunoaşte forma modurilor proprii,
frecvenţele modale şi amortizările:
    
 T

 T  



H     r r  r 
j  pr
r 1  j  pr
m

r


Verificarea şi utilizarea modelului modal
• Este relativ simplu să se compare formele modurilor şi frecvenţele proprii (printr-o
comparare directă) cu valorile parametrilor modali estimaţi. Dar acest lucru nu este
deajuns. Pentru ca, din punct de vedere calitativ, modelul modal să poată fi folosit,
sunt necesare investigaţii suplimentare care să ateste acurateţea modelului.
• Verificarea preciziei prin sintetizarea FRF. Dacă calibrarea aparaturii şi realizarea
testului au fost făcute corect, atunci modelul va descrie cu o mare precizie
comportarea dinamică a structurii. Se foloseşte un procedeu simplu pentru a testa
acurateţea modelului.
• În timpul testului, se măsoară fie o linie completă – test prin impact, fie o coloană
completă – vibrator ataşat, a matricei [H], obţinându-se m (m = nr. de moduri),
respectiv n (n = nr. grade de libertate) funcţii de răspuns în frecvenţă. Folosind datele
măsurate, programul de calcul furnizează date privind sintetizarea unor noi funcţii de
răspuns în frecvenţă, corespunzătoare unor puncte în care nu s-au făcut măsurări.
Curbele funcţiilor sintetizate în acest fel sunt suprapuse peste cele obţinute (ulterior)
experimental, realizându-se astfel rapid o comparare între răspunsul sintetizat şi cel
real. În felul acesta se poate afla rapid dacă modelul este precis sau nu. Precizia poate
fi observată în jurul frecvenţelor modale, locul în care vărfurile se vor suprapune
exact. Operatorul este cel care hotărăşte dacă modelul este bun, ţinând cont de
precizia obţinută prin suprapunerea spectrelor şi de aplicaţiile ulterioare la care va fi
folosit modelul.
Trunchierea datelor
• Din punct de vedere teoretic, formularea modelului modal este exactă din moment ce
nu este făcută nicio aproximare. Dar cât de bun este modelul măsurat/estimat?
Presupunând valabile considerentele iniţiale, privind liniaritatea etc., atunci
eventualele nepotriviri sunt cauzate de trunchieri.
• Pentru că domeniul frecvenţelor în care s-a făcut testarea este limitat, rezultă că nu au
fost luate în calcul toate modurile structurii. Practic, adesea se ignoră mişcările de
corp rigid, care au loc la frecvenţe foarte joase, precum şi modurile care se manifestă
local, pentru anumite părţi ale structurii. De asemenea, se încearcă să se păstreze cât
mai jos posibil domeniul de frecvenţă, pentru a se obţine maximum de rezoluţie a
frecvenţelor. În felul ecesta are loc o trunchiere a domeniului frecvenţelor care va
reduce precizia modelului, mai ales în zonele de antirezonanţă. Acestea constitue aşa
zisa trunchiere modală.
• Deşi structurile sunt continue, modelele acestora au un număr finit de grade de
libertate. Mai mult chiar, dintre cele şase grade de libertate ale unui punct în spaţiu se
măsoară doar pe una sau două direcţii în acel punct.
Toate acestea fac ca acest tip de trunchiere să
poarte numele de trunchiere spaţială. În
cazul exemplului de mai sus, caroseria
microbuzului a fost descrisă de un grup de
date măsurate vertical.
Simularea numerică
• Cea mai importantă dintre aplicaţiile modelului modal, considerat precis,
este procesul de simulare numerică. Simularea numerică ajută să răspundem
la întrebări de tipul „Dar dacă ...?”, întrebări puse în general atunci când se
doreşte fie optimizarea prototipului aflat în satadiul de proiect, fie
cunoaşterea comportării dinamice a structurii sub anumiţi factori posibili.
• Simularea răspunsului poate prezice răspunsul vibraţiei structurii dacă sunt
aplicate diferite forţe excitatoare în oricare dintre punctele care definesc
gradele de libertate.
• Forţele excitatoare, folosite în simulări, se pot împărţi în forţe sinusoidale şi
forţe aleatoare.
• Excitaţia sinusoidală corespunde multor aplicaţii, iar implementarea ei în
model este simplă. Dacă forţa este aplicată într-un singur punct atunci toate
celelalte puncte vor vibra cu aceeaşi frecvenţă ca şi a forţei excitatoare. Dacă
sunt aplicate mai multe forţe, în mai multe puncte, atunci răspunsul dintr-un
punct va fi suma răspunsurilor individuale. De exemplu, forţa dată de un
dezechilibru masic se poate modela prin două forţe perpendiculare, defazate
cu 90o.
Simularea numerică
• Forţele aleatoare sunt folosite
atunci cînd dorim de exemplu să
prezicem confortul şoferului
microbuzului sau, în general,
comportarea la oboseală a unei
componente în situaţii speciale,
de turbulenţă. Folosirea acestui
tip de excitaţie presupune mai
degrabă existenţa unor parametri
statistici decât a unor valori
discrete, iar rezultatele trebuie
evaluate luând în vedere metodele
statistice.
• Autospectrul forţei GFF se poate
obţine prin calcule, din standarde
sau prin măsurări. Programul de
calcul sintetizează funcţiile de
răspuns în frecvenţă dintre forţă şi
oricare dintre gradele de libertate
ale modelului.
Simularea numerică
• Simularea modificărilor se foloseşte pentru a prezice ce se întâmplă cu
modelul, din punct de vedere al parametrilor săi modali, dacă se fac
modificări fizice (masă, rigiditate, amortizare, substructurare).
• Ea răspunde la întrebarea „Dar dacă ...?”.
• Majoritatea problemelor structurilor legate de zgomote şi vibraţii sunt cauzate
de rezonanţe. Ele amplifică un semnal provenit de la forţe a căror valoare, în
timpul funcţionării, poate fi normală, rezultând un răspuns al structurii de
neacceptat. În astfel de situaţii, sarcina inginerului este de a găsi soluţii.
Acestea, de cele mai multe ori, presupun modificări structurale în scopul
deplasării frecvenţei proprii a structurii şi evitării, în acest fel, a rezonanţei.
• Efectuarea modificărilor structurale pe structura reală ar duce la costuri
suplimentare şi la timp pierdut. Alternativa constă în folosirea modelului
modal, modificările fiind făcute doar în calculator, iar timpul de soluţionare a
problemei se reduce simţitor.
• Prin folosirea modelului modal se poate prezice orice modificare structurală
(rigiditate, masă sau amortizare). Aceste modificări produc, de fapt, un nou
model modal, cu un nou răspuns.
Simularea numerică
Simularea numerică
• Calcularea modificărilor. În general nu se cunosc parametri spaţiali, ci
doar cei în coordonate modale. O modificare fizică – descrisă local
prin parametri spaţiali, îşi va produce efectul – prin transformarea
modală, în toate coordonatele modale.
• Ecuaţia de modificare este una standard de vectori şi de valori proprii,
soluţia ei dând frecvenţele şi amortizările noului model, precum şi
noile forme ale modurilor proprii de vibraţie.
• Din moment ce toate calculele sunt bazate pe modelul modal,
modificările pot fi simulate în punctele de măsură şi pe direcţiile de
măsură. Exactitatea metodei depinde în întregime de calitatea
modelului obţinut în urma efectuării măsurărilor.
• Verificare. Răspunsul prezis poate fi transformat în zgomot, tensiune,
oboseală etc. pentru a putea fi comparat cu date de referinţă, norme
sau standarde. Dacă rezultatul nu este satisfăcător atunci inginerul va
trebui să găsească soluţii pentru remedierea problemelor.
Simularea numerică
• În
vederea
măririi
performanţelor
unei
structuri,
procesul
de
simulare poate fi repetat
ciclic ori de câte ori este
necesar. Ciclul cuprinde trei
etape
mai
importante:
simularea
răspunsului,
verificarea şi modificarea
simulării. Datorită vitezei
mari
a
calculatoarelor
actuale timpul scurs pentru
parcurgerea
unui
ciclu
complet este de câteva
minute,
astfel
încât
optimizarea este posibilă
într-un timp relativ scurt.
Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă
• În ciuda condiţiilor normale de funcţionare ale unui vapor, pe puntea sa
superioară se înregistrau vibraţii puternice. O analiză, efectuată în urma
unor măsurări de vibraţii efectuate pe puntea superioară a vasului, a
evidenţiat faptul că vibraţiile creşteau exponenţial odată cu creşterea
turaţiei elicei. Spectrul vibraţiei a arătat o concentrare a energiei
acesteia în dreptul frecvenţei de 8,2 Hz, frecvenţă care corespundea cu
frecvenţa de rotire a palelor elicei, care a fost astfel diagnosticată ca
fiind principala sursă a vibraţiei.
Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă
• Niciuna dintre funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate, H12, H22, H32, H42, H52, nu
prezintă rezonanţe puternice la frecvenţa de 8,2 Hz, nici măcar când se măsoară în
punctul 2, pe puntea superioară (acest lucru semnifică inexistenţa unei rezonanţe
locale la 8,2 Hz în zona respectivă – zona cu probleme).
• Dar niciuna dintre
sursele de vibraţie
considerate iniţial nu
acţionează la nivelul
punţii principale. Ce
este de făcut? Pe baza
măsurărilor efectuate,
s-a construit modelul
modal care a permis
sintetizarea răspunsului
în punctul 1 ca urmare
a unei forţe aplicate în
punctele 3,4 şi 5,
puncte
inaccesibile
unei amplasări uşoare a
excitaţiei,
rezultînd
H13, H14, H15.
Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă
• În acest moment, problema care trebuia rezolvată era determinarea locului pe unde
energia „intra” în structură. Sursele potenţiale erau: lagărul axului cârmei (două grade
de libertate), lagărul arborelui elicei (un grad de libertate), cutia de viteze (două grade
de libertate) sau variaţiile de presiune asupra pereţilor vasului în vecinătatea elicei.
• S-a hotărât să se cerceteze
prin analiză modală pentru
un număr relativ mic de
grade de libertate: la pupa
navei,
pe
puntea
principală, s-a montat un
vibrator
cu
mase
excentrice cu rolul de a
excita structura, punctul 2,
iar
răspun-surile,
sub
forma FRF, au fost
înregistrate în punctele: 2
–
unde
s-a
excitat
structura,
1–
puntea
superioară, 3– lagărul
axului cârmei, 4 – lagărul
arborelui elicei şi în
punctul 5 – cutia de viteze.
Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă
• Dintre cele trei spectre ale mobilităţii doar una prezintă un maxim relativ mare în
dreptul frecvenţei de 8,2 Hz, H14, care corespunde mobilităţii dintre puntea superioară
şi lagărul arborelui elicei. Pentru a se rezolva problema s-a mărit rigiditatea structurii
în zona lagărului cu probleme printr-un factor egal cu cinci.
• Măsurări ulterioare au
confirmat o reducere a
nivelului vibraţiilor în
zona punţii superioare
prin
aproximativ
acelaşi factor.
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
•Răspunsul dinamic al unei structuri slab amortizate, aşa cum este şi structura aleasă în
exemplul de aplicaţie, măsurat la coordonată j, produs de forţa de excitaţie aplicată la
coordonata l poate fi exprimat prin mobilitatea:
N
x j  N  j r lr 

r 
M jl  
 m 
f 

l
r 1
r
2
r
 
 
2

r 1
2
r

2

 Ajl
unde ψjl(r) este elementul j al vectorului propriu { ψ(r)} de ordinul r, ωr este pulsaţia
proprie de ordinul r, mr= { ψ(r)}T[M] { ψ(r)} este masa modală corespunzătoare, iar Ajl(r)
este o constantă modală definită astfel:
r  r 

j l
r 
A jl 
mr
•Măsurând mobilitatea la p valori distincte ale frecvenţei de excitaţie Ω1, Ω2, ... Ωp,
poate fi scrisă următoarea ecuaţie matriceală:
1
1 
 1
  2   2  2   2   2   2  1
1
2
1
N
1  A 
 M jl 1   1
jl




M   
2
2
2
 A 2  

 jl 2   2
2
2
2
2
2   jl 













1
2
2
2
N
2 













M jl  p 
 AjlN  




 
p
p
p



2
2 
 12   2p 22   2p



N
p

 
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
•Constantele modale pot fi uşor determinate în funcţie de valorile măsurate, astfel:
A    M 

jl
jl
•Ţinând cont de extinderea ecuaţiei constantelor modale prin includerea tuturor
termenilor j şi l, poate fi construită matricea constantelor modale pentru fiecare mod r:
 A11r 
 r 
A
Ar    21
 
 r 
 AN 1
 
 1r  r 
1

A12r   A1Nr    mr
r 
r 
r    1
A22  A2 N  
2r 
 mr





r 
r    r 
AN 2  ANN   
r 
1


N
m
 r
2r  r 
Nr  r  
1

1 
mr
mr

r 
r 
2
N

2r  
2r  
mr
mr




r 
r 
2
N
r 
r  
N 
N 
mr
mr

•Grupul de matrice [A(1)], [A(2)], ... [A(N)], unde N este numărul gradelor de libertate ale
sistemului, caracterizează complet modelul modal. Deşi obţinerea lor se face prelucrând
date experimentale, nu este necesară excitarea structurii şi măsurarea într-un număr atât
de mare de puncte; mai întâi pentru că matricele [A(r)], sunt simetrice, Ajl=Alj şi în al
doilea rând pentru că excitând structura numai într-un singur punct l şi măsurând
răspunsul în k puncte (k ≥ N) se pot calcula constantele modale Ajl(r) (unde l este fixat, j
= 1, 2, ... k, iar r = 1, 2, ... N).
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Cu ajutorul acestor constante modale se pot sintetiza acum toate celelalte
constante modale, fiind utilizată următoarea relaţie: r  Ajlr   Ailr 
Aji 
Allr 
care arată că răspunsul în punctul j produs de o forţă aplicată în punctul i
poate fi calculat din constantele modale ale răspunsurilor în punctele i, j
şi l, produse de o forţă aplicată în punctul l. Spre deosebire de metodele
discutate anterior, în care se consideră masele modale egale cu unitatea
(mr = 1), în acest exemplu s-a considerat lungimea vectorului propriu din
modul r egal cu unitatea, putându-se determina, în acest caz, masele
modale mr. Astfel, având în vedere proporţionalitatea existentă în
matricea constantelor modale, elementele vectorului modal ortonormat
r 
(scalat) au fost obţinute din relaţia:
A
jl
 j r  
 

A
 
N
r
jl
j 1
2
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Acum se poate forma matricea modală [ψ] = [{ψ (1)}{ψ (2)}…{ψ (N)}],
unde {ψ(r)} reprezintă vectorul modal ortonormat corespunzător modului
r.Folosind următoarele două relaţii, se pot determina masele modale şi
constantele elastice modale:
mr 
 j r   lr 
r 
Ajl
kr  mr  
2
r
şi se pot construi matricele diagonale [mr] = diag(mr) şi [kr] = diag(kr).
Structura a fost excitată armonic în punctul 1, iar răspunsul a fost
măsurat în punctele 1, 2 şi 3. S-au obţinut curbele de răspuns în
frecvenţă, exprimate sub forma mobilităţii şi notate cu M11, M21 şi M31,
fiind reprezentate cu linie punctată în următoarele trei spectre.
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
M11
M21
M31
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
S-au luat în considerare numai primele trei moduri proprii de vibraţie (N = 3).
Frecvenţele de rezonanţă s-au determinat în dreptul maximelor de pe curbele
mobilităţii, obţinându-se: f1 = 13,5 Hz, f2 = 73 Hz şi f3 = 218 Hz. În continuare, pentru
determinarea modelului modal sunt necesare un număr de p perechi de valori frecvenţă–
mobilitate măsurate experimental. Alegerea lor, precum şi modul în care s-au făcut
măsurările sunt hotărâtoare pentru obţinerea unui bun model modal. Pentru a
exemplifica acest lucru, se consideră două seturi de date de intrare:
Frecvenţa, Hz
Mobilitatea
măsurată
M 11
M 21
M 31
Exemplul 1
20
125
250
30
150
250
40
160
250
Exemplul 2
20
130
160
30
50
110
40
90
250
Mobilitatea, x10 – 3 m/Ns
Exemplul 1
–0,001
–0,010
–0,174
–0,003
–0,152
0,052
–0,154
0,056
–0,054
Exemplul 2
–0,001
0,005
0,059
–0,003
0,121
–0,176
–0,154
0,163
–0,054
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Calculele au fost făcute cu ajutorul unui program de calcul scris pe baza relaţiilor
prezentate anterior. Au rezultat următoarele matrice:
MATRICEA MODALĂ
Exemplul 1
Exemplul 2
MATRICEA MASELOR MODALE (kg)
Exemplul 1
Exemplul 2
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
MATRICEA CONSTANTELOR ELASTICE MODALE (x103 N/m)
Exemplul 1
Exemplul 2
Pentru a afla care dintre seturile de date de intrare corespunzătoare celor două exemple
sunt cele care au condus la obţinerea unui model care să descrie cât mai corect
structura reală, este necesară utilizarea unor metode de comparare.
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Compararea răspunsurilor dinamice. Prima şi cea mai directă metodă de comparare
o constituie suprapunerea curbelor de răspuns în frecvenţă (în cazul exemplelor
N
 j r lr 
considerate – curbele mobilităţii) calculate cu ajutorul relaţiei: M  
jl

2
2
m



r
r 1 r
peste cele determinate experimental. Aşa cum se observă din figurile de mai jos, ambele
exemple conduc la o suprapunere bună a curbelor mobilităţii, necoincidenţa din dreptul
frecvenţelor de antirezonanţă datorându-se faptului că s-au neglijat rotirile, ţinându-se
cont numai de deplasările liniare transversale.

M11
M21
M31

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
• Compararea proprietăţilor modale. Modelele modale obţinute sunt incomplete (N =
3). În relaţiile prezentate anterior nu s-a ţinut cont de influenţa modurilor superioare,
nici măcar prin adăugarea unor termeni reziduali. Cu toate acestea, dintre modelele
modale obţinute din mai multe seturi de date experimentale, trebuie ales cel care se
apropie cel mai mult de un model obţinut prin aplicarea metodei elementelor finite
(MEF). Astfel, pentru detremninarea primelor trei moduri de vibraţie ale sistemului sa făcut o analiză teoretică preliminară, folosind un model de element finit format din
12 elemente de tip bară, nodurile având două grade de libertate, de translaţie şi de
rotaţie. Au rezultat următoarele frecvenţe proprii: f1 = 12,92 Hz, f2 = 73,92 Hz şi f3 =
210,4 Hz şi următoarea matrice modală prezisă:
• Compararea
frecvenţelor
proprii.
Frecvenţele proprii măsurate, egale cu
frecvenţele proprii ale modelului modal, sunt
comparate cu cele prezise de modelul obţinut
prin aplicarea MEF. Compararea poate
consta în simpla observare a celor două şiruri
de valori ale frecvenţelor pentru fiecare mod,
dar se recomandă marcarea lor pe un grafic
ca cel din figură.
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Compararea grafică a formei modurilor proprii. O metodă directă de comparare este
reprezentarea, prin suprapunere, a formei modurilor proprii pentru fiecare model –
experimental şi prezis – de-a lungul liniilor care caracterizează structura. Această
metodă prezintă dezavantajul unei interpretări dificile a diferenţelor care apar şi a
suprapunerii confuze, datorată bogatei informaţii ce o includ. De aceea, se recomandă
folosirea unor grafice asemănătoare cu cele de mai jos.
Aşa cum se observă din figurile de mai sus, formele modurilor proprii coincid mult mai
bine în Exemplul 2 decât în Exemplul 1. Deci modelul modal corespunzător
Exemplului 2 va descrie mai exact proprietăţile dinamice ale structurii reale.
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Compararea numerică a formei modurilor proprii. O alternativă la compararea grafică
prezentată anterior o constituie calculul unor proprietăţi statistice simple ale fiecărei
perechi de moduri, care de această dată pot fi şi complexe.
Factorul modal de scară (FMS) reprezintă panta liniei drepte care trece cât mai aproape
de punctele reprezentate în figurile anterioare şi este definit astfel:

N
FMSx, p  
(r )
x j

(r )
p j
j 1
N

    
p
(r )
j
p
     
N
FMS p, x  
(r )
j
p
x
(r )
j
j 1
N
     
x
j 1
(r )
j
(r )
j
x
(r )
j
j 1
în funcţie de modul propriu de vibraţie, experimental {xψ(r)} sau prezis {pψ(r)}, care a
fost luat drept bază. Trebuie observat că cele două relaţii de mai sus nu dau indicaţii
asupra calităţii apropierii punctelor de o linie dreaptă, ci numai panta ecesteia.
Rezultatele aplicării relaţiei FMS pentru cele două exemple considerate sunt trecute în
următorul tabel:
Modul de
FMS (x,p)
vibraţie
1
2
3
Exemplul 1
0,992
0,986
0,974
Exemplul 2
0,998
0,994
0,995
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Un alt parametru este Criteriul de confidenţă modală (CCM), care corespunde
pătratului de corelaţie din statistica matematică şi poate lua valori cuprinse în intervalul
2
[0,1]:
 N

 x  (j r ) p  (j r ) 
În cazul ideal, dacă CCM(x, p) = 1


j 1


rezultă că există o corelare perfectă între CCMx, p    N
 N

(r ) T
( r ) 
(r ) T
(r ) 













moduri, respectiv dacă CCM(x, p) = 0
x
j
x
j
p
j
p
j





 j 1
 j 1

nicio relaţie între ele.
Practic însă, dacă vectorul propriu determinat experimental {xψ(r)} se referă la acelaşi
mod ca şi cel prezis {pψ(r)}, se pot admite satisfăcătoare rezultatele în care CCM(x, p) ≥
0,9 şi respectiv CCM(x, p) ≤ 0,05 pentru modurile necorelate. Valorile care nu se înscriu
în aceste limite pot fi cauzate de neliniarităţile structurii, de datele experimentale
eronate sau de neluarea în considerare a influenţei modurilor superioare.
Deşi acest parametru este folosit în cuantificarea comparării dintre cele două seturi de
date ale formei modurilor proprii, el nu dă o imagine completă şi se recomandă a fi
folosit alături de reprezentări grafice precum cele menţionate.
Aplicarea CCM asupra datelor celor două exemple a condus la obţinerea rezultatelor
din următorul tabel:
Exemplul 1
Exemplul 2
CCM(x, p)
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Modelul fizic. Pe baza modelului modal, se poate obţine un model fizic incomplet
caracterizat, în cazul sistemelor slab amortizate, de matricele [M] şi [K]:
M    T mr 1
K    T kr 1
în care [mr] şi [kr] sunt matrice diagonale, care au elemente numai pe diagonala
principală, mai exact masele modale şi respectiv constantele elastice modale. Utilizarea
r 
2
matricelor [M] şi [K] de mai sus în problema de valori proprii: K   r M    0
conduce la frecvenţele proprii ωr şi vectorii proprii {ψ(r)} identificaţi. Pentru cele două
exemple considerate s-au obţinut astfel rezultatele prezentate în tabelul următor:

Matricea
Exemplul 1
12,73
[M]
kg
simetrică
21,28
[K]
X106
N/m
–1,53
3,08
simetrică
–5,47
1,96
 
Exemplul 2
–0,11
–0,28
2,62
9,57
1,63
–0,72
0,31
16,09
–1,53
5,76
–0,12
–0,44
3,07
–6,09
3,37
1,30
–0,96
0,33
simetrică
simetrică
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Modificări structurale.
Efectele modificărilor structurale din sistemul real pot fi prezise prin modificări
corespunzătoare efectuate în matricele [M] şi [K] ale modelului fizic.
Astfel, în cazul structurii simple alese, s-a renunţat la masa m2, de valoare 2,8 kg şi
s-au reluat măsurările experimentale obţinându-se mobilităţile, trasate punctat, din
figurile 2.99, 2.100 şi 2.101 (curba 1). Se observă noile frecvenţe proprii, măsurate
experimental: f1 = 13,7 Hz, f2 = 92 Hz şi f3 = 233 Hz. S-a înlocuit apoi termenul
corespunzător din matricea [M] a modelului fizic cu noua valoare de 0,28 (3,08 kg – 2,8
kg = 0,28 kg) în loc de 3,08 pentru Exemplul 1 şi de 2,96 în loc de 5,76 (5,76 kg – 2,8
kg = 2,96 kg) pentru Exemplul 2.
Matricea
Exemplul 1
12,73
[M]
kg
simetrică
21,28
[K]
X106
N/m
–1,53
3,08
simetrică
–5,47
1,96
Exemplul 2
–0,11
–0,28
2,62
9,57
1,63
–0,72
0,31
16,09
–1,53
5,76
–0,12
–0,44
3,07
–6,09
3,37
1,30
–0,96
0,33
simetrică
simetrică
Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator
Modificări structurale.
Aplicând relaţia prin care s-a definit mobilitatea, relaţie în care s-a considerat pentru
masa modală corespunzătoare modului doi valoarea de 2,96 kg în loc de 5,76 kg, au
rezultat curbele de răspuns în frecvenţă, reprezentate cu linie continuă în figurile de mai
jos (curba 2). Ele au fost suprapuse cu cele determinate experimental (curba 1). Erorile
obţinute au drept cauză neglijarea influenţei modurilor superioare. Dacă se reiau
calculele dar în relaţia care defineşte mobilitatea se mai însumează un termen de tipul
ΩRjl, care ţine cont de influenţa modurilor superioare asupra celor trei moduri analizate,
se obţin curbele notate cu 3.
M11
M21
M31