Transcript Триъгълник вписан в триъгълник

Триъгълник вписан в
триъгълник
първа среща
Емил Янков Стоянов
ПМГ ,,Екзарх Антим I” – гр. Видин
СЪДЪРЖАНИЕ:



Запознаване с конфигурацията
По-специални вписани триъгълници
Общи свойства
Определение за триъгълник,
вписан в триъгълник
Ако M∈ AB, N∈ BC а P∈ CA,
то триъгълникът MNP наричаме вписан в триъгълника
ABC.
По-специални вписани
триъгълници
Ако отсечките AN, BP и CM
се пресичат в една точка, то
те се наричат чевиани в триъгълника ABC, а...
G
По-специални вписани
триъгълници
триъгълникът MNP
наричаме триъгълник
с върхове петите на
чевианите през точка G.
G
По-специални вписани
триъгълници
Ако GM, GN и GP са съответно перпендикулярни на
страните AB, BC и CA на
то...
Δ
ABC,
По-специални вписани
триъгълници
триъгълникът MNP
наричаме педален
триъгълник за т. G.
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 1:
Поне едно от лицата на
триъгълниците AMP, BNM
и CPN не надминава лицето на триъгълника MNP.
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 2:
Поне един от периметрите на
триъгълниците AMP, BNM
и CPN не надминава периметъра на триъгълника MNP.
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 3:
Поне едно от лицата на
триъгълниците AMP, BNM
и CPN не надминава
от лицето на ∆MNP.
1
4
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Лесно се доказва, че ако
M, N и P са съответно
средите на страните AB,
BC и CA на ∆ABC, то
SΔMNP  1 SΔABC .
4
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 4:
Ако точките M, N и P
“ тръгнат “ в една и съща посока по страните
на ∆ ABC, то
SMNP  1 SABC.
4
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 5:
Ако две от средите M, N
и P тръгнат в различни
посоки ( в случая N и P ),
то
SMNP  1 SABC.
4
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 6:
Ако MNP е триъгълник
с върхове петите на че-
вианите през точка G,
то съществува точка S
Общи свойства на вписаните
триъгълници
от триъгълника ABC такава, че четириъгълникът с върхове M, N, P и S
е успоредник. (Е. Стоянов)
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Казано с други думи:
Триъгълника MNP можем да допълним с четвърти връх до успоред-
ник, който е разположен
изцяло в ∆ABC.
Общи свойства на вписаните
триъгълници
Свойство 7:
Аналогично на предишното
свойство педалният триъгъ-
лник за точката G можем да
допълним с точка S до успо-
редник, разположен изцяло
в ∆ABC. (Е. Стоянов)
Това беше всичко, приятели!!!
Ще се срещнем отново с впи-
саните триъгълници за да докажем свойствата с които се
Запознахме!
Надявм се да не ги забравите дотогава!!!