Transcript Kaynak Tanımlamaları

Nükleer ve Parçacık Fiziği’nde Monte Carlo
Uygulamaları Bahar Okulu
Kaynak Tanımlamaları
•Temel Monte Carlo İlkesi
•Reddetme Yöntemi
•Beta Parçacığı Enerjisinin Örneklenmesi
•Nokta Kaynak
•Yüzey Dağılımlı Kaynak
•Hacim Dağılımlı Kaynak
Doç.Dr.Sezai YALÇIN
Monte Carlo Yöntemi




Monte Carlo yöntemi, rastgele ard arda gelen sayıları ve
istatistiksel teknikleri kullanarak bir deneyi veya olayı
sayısal olarak taklit etmektir.
Benzetişim olarak ta adlandırılan bu yöntemle bir deney
veya olay bilgisayar ortamında idealize edilir ve istenilen
değerler hesaplanır.
Fizikte kuramsal araştırmaların pek çoğu Monte Carlo
yöntemi kullanılarak yapılmıştır.
Yapılan araştırmalar, klasik yaklaşım uygulandığında çok
karmaşık olan problemlerin çözümü için Monte Carlo
yönteminin çok güçlü bir teknik olduğunu göstermiştir.




Problem analitik olarak hesaplanamayacak kadar karmaşık
sistemler içeriyorsa, sistemdeki rastgelelik ve olaya art arda
birçok farklı fiziksel olgunun karışması söz konusu ise, bu
durumda probleme kuramsal yaklaşım yalnızca Monte Carlo
yöntemi ile mümkündür.
Bir problemin çözümünde, probleme katılan her fiziksel
olguya ilişkin olasılık yasaları biliniyorsa, her olayın katkısı
Monte Carlo örnekleme teknikleri kullanılarak hesaplanıp
istenen sonuçlar elde edilir.
Tarihsel olarak Monte Carlo yöntemi kullanılarak yapılan ilk
büyük ölçekli hesaplamalar nötron saçılma ve soğurma
çalışmalarıdır.
Günümüzde modern bilgisayarların gelişimi ile Monte Carlo
yöntemi fiziğin hemen hemen tüm dallarında geniş
uygulama alanı bulmuştur
Temel Monte Carlo İlkesi

Bir deney veya ölçme bir olay olarak tanımlanabilir.

Bir olayın belli olasılıklarla ortaya çıkan çeşitli sonuçları
vardır.

Bu sonuçların her biri de bir olay olarak görülebilir.


Örneğin, elektronun bir ortamla etkileşmesi bir olay, bu
olayın sonuçlarından olan elastik saçılma, inelastik saçılma,
bremsstrahlung da birer olaydır.
Örnek olarak, elastik saçılmada elektronun belli bir 
açısına saçılması elastik saçılma olayının bir sonucudur.

Bir olayda n tane sonuç ortaya çıkmış olsun.

Sonuçların ortaya çıkma olasılıkları p1, p2, ......, pn olsun.



Gelişigüzel sayılar kullanarak bu olayı taklit etmek
isteyelim.
0 ile 1 arasında değer alan gelişigüzel sayı(q) ekseni Şekil 1
de görüldüğü gibi n tane bölgeye ayrılabilir.
Her bir bölgenin genişliği, o sonucun ortaya çıkma olasılığı
kadar olsun.
1. Sonuç
Bölgesi
0
2. Sonuç
Bölgesi
p1
3. Sonuç
Bölgesi
………………
p1+p2 p1+p2+p3
n. Sonuç
Bölgesi
p1+p2+..+pn
1
Şekil 1. Gelişigüzel sayı ekseninin n tane sonuç bölgesine ayrılması
Şekil 1 de sonuç bölgelerine ayrılmış gelişigüzel sayı ekseni
üzerinde

p1 olasılıkla belirlenen miktarı 1. sonuç,

p2 olasılıkla belirlenen miktarı 2. sonuç,


pn ile belirlenen miktarı n. sonuç olarak
ayrılmış olur.
Türetilen gelişigüzel bir sayı(q) hangi sonuç bölgesine
düşmüşse o sonucun meydana geldiği kabul edilir. Bir
başka deyişle,

0 < q < p1
ise 1. sonuç,

p1 < q < p1+p2
ise 2. sonuç,

p1+p2+ ...+pn-1 < q < pn
meydana geldiği kabul edilir.
ise n. Sonuç



Belirli bir deneyde(olayda) x sonucunun a  x  b aralığında
sürekli değerler aldığını ve ard arda ölçümlerde çeşitli x
değerlerinin ölçülme sıklık fonksiyonunun F(x) olduğunu
kabul edelim.
Monte Carlo yönteminin temel ilkesi 0-1 aralığında eşit
olasılıklarla sürekli değerler alan q sayılarını kullanarak eşit
olmayan olasılıklarla a-b arasında değerler alan x sayılarını
türetmektir.
Olayda sonucun x ile x+dx arasında olma olasılığı,
p( x ) dx 
F( x ) dx
b
(1)
 F( x ) dx
a
olur. Burada p(x) fonksiyonuna “Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu” denir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
b
 p( x ) dx  1
(2)
a
özelliğine sahiptir ve olasılıkların toplamının bire eşit olması koşulunu
sağlar.
“Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” veya “olasılık dağılım
fonksiyonu”,
x
P( x )   p( x ) dx 
(3)
a



şeklinde tanımlanır.
Bu “toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu” monoton artan
bir fonksiyondur ve P(x) fonksiyonu 0-1 aralığında
gelişigüzel değerler alır
P(a)=0 , P(b)=1 ’dir.






q, 0-1 arasında düzgün dağılımlı gelişigüzel sayı
olarak tanımlandığına göre P(x)’in değerleri q
değişkenine eşitlenebilir.
P(x) = q
(4)
ifadesinin tersine çözümü
x=P-1(q)
(5)
ifadesini verir.
Böylece 0-1 arasında düzgün dağılımlı q değerleri
kullanılarak a-b arasında F(x) dağılımlı x değerleri
elde edilir.
Reddetme Yöntemi



Temel Monte Carlo İlkesi Eşitlik (3) ün integralinin analitik
olarak alınabildiği ve bulunan ifadenin tersine çözümünün
analitik olarak yapılabildiği durumlarda kullanılabilir.
Bu koşullar sağlanamadığı zaman “reddetme yöntemi”
kullanılır.
Reddetme
yöntemi,
Temel
Monte
Carlo
İlkesi
uygulanabilen bir fonksiyon yardımıyla Temel Monte Carlo
İlkesi
uygulanamayan
bir
fonksiyonun
dağılımının
örneklenmesidir.

0  x  a aralığında N(x) sıklık fonksiyonu ile belirlenen bir
olay reddetme yöntemi kullanılarak örneklenirse c bir sabit
olmak üzere
M(x)=c
(6)
dağılımından yararlanılır. Temsili N(x) ve M(x) = c
dağılımları Şekil 2 görüldüğü gibi olsun.
sıklık
c
M(x) = c
M(x)
N(x)
N(x)
0
0
x
a
x
Şekil 2. Reddetme yöntemi ile örneklenecek N(x) dağılımı ve M(x)
düzgün dağılımı.
M(x)=c dağılımına Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa, olasılık
yoğunluk fonksiyonu
p( x) dx 
M ( x) dx
a

cdx
a
 M ( x) dx  c dx
0

cdx dx

ca
a
(6)
0
Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu
x
x
0
0
P( x)   p( x) dx  
dx x
 q
a a
(7)
q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere;
x=aq
ifadesi bulunur. Böylece 0 ile a arasında x türetilmiş olur.
(8)


Örneklenen x değerinin sıklığı M(x)=c ‘dir.
Bu sıklığın N(x) olma olasılığı
N(x)/M(x)

dir.
Elde edilen x değerinin kabul edilmesi için ikinci bir q sayısı
türetilerek
N( x )
q
M( x )
(8)
koşuluna bakılır. Koşul sağlanıyorsa x değeri kabul edilir, koşul
sağlanmıyorsa yeni bir x değeri türetilerek işlem tekrarlanır.
Böylece Şekil 2 de görüldüğü gibi M(x)=c dağılımının örneklenmesiyle
elde edilen düzgün dağılımlı x değerlerinden, x ekseni ile N(x)
arasında kalanları kabul edilip, diğerleri reddedilerek N(x) dağılımlı x
değerleri elde edilmiş olur.
Örnek:Beta(-) parçacıklarının
enerji dağılımlarının örneklenmesi



Beta parçalanmasında nükleer parçalanma
enerjisi, beta parçacığı, geri tepen ürün çekirdek
ve nötrino veya antinötrino arasında paylaşılır.
Bu durumda beta parçacıkları enerjileri
E = 0 dan bir maksimum enerji değeri
E = Em ye kadar sürekli bir enerji spektrumuna
sahiptirler.
Bu nedenle bir radyoaktif kaynaktan beta
parçacığı yayınlanırsa enerjisinin örneklenmesi
gerekir.
Bu spektrumun kuantum mekaniksel teorisi Fermi tarafından
geliştirilmiştir.
N (W )dW  ( P / 0 ) F ( Z , W ) (W 2  1)1/ 2 (W0  W ) 2 WdW
2
Burada
W = (E/m0 c2) +1
(10)
E enerjili beta parçacığının, elektronun durgun kütle enerjisi
biriminde toplam enerjisi,
W0 = (Em/m0 c2) +1
(11)
elektronun durgun kütle enerjisi biriminde maksimum toplam
enerjisi,
P2 geçiş için matris elemanının karesi
0 zaman sabiti
F(Z,W) - veya + ya bağlı ve nükleer yarıçap, nükleer yük,
 enerjisini içeren karmaşık, boyutsuz bir fonksiyondur.
N(W) dW ise W ile W+dW enerji aralığındaki beta
parçacıklarının sayısıdır.
(9)
Fermi fonksiyonu F(Z,W)
tarafından verilmiştir:
için yaklaşık bir ifade - için Konopinski (1966)
( P2 / 0 ) F(Z,W) = f Z c / v
(12)
Burada f bir sabit, Z ürün çekirdeğin atom numarası, v, - nin hızıdır. Işık hızı
biriminde elektronun hızı(=v/c) W ya bağlı olarak
= (W2-1)1/2 / W
(13)
şeklinde yazılabilir. Eşitlik (9),(12),(13) birlikte değerlendirildiğinde,
N(W) = f Z (W0-W)2 W2
(14)
ifadesi elde edilir. Eşitlik (14) ile verilen ifade W=W0/2 de maksimum değer alır.
Eşitlik (14) Dağılımın maksimum değeri Nm=N(W0/2) bölünerek 1’ e normalize
edilmiş enerji dağılımı ifadesi,
 W
N( W )  16
 W0
elde edilir.



2

W
1 

 W0 
2
(15)
Normalize edilmiş dağılımın maksimum değeri Nm=1 dir Beta parçacığının
kinetik enerjisi. 0 ile Em arasında q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere
E=q Em
(16)
eşitliğiyle örneklenir. Örneklenen E değeri Eşitlik (10) da yerine konularak W
değeri hesaplanır ve Eşitlik (15) ten N(W) bulunur. Yeni bir q sayısı çekilerek
q N(E) /Nm
(17)
koşuluna bakılır.Koşul sağlanırsa örneklenen E enerjisi kabul edilir koşul
sağlanmazsa reddedilir ve işlem yinelenir.
N(E)
Nm =1
1
Nm
N(E)
N(E)
0
0
E
Em
E
Şekil 3. Reddetme yöntemi ile beta parçacığının enerji dağılımının örneklenmesi
Tl-204 den yayınlanan Em=766 keV enerjili beta parçacıklarının
enerji dağılımı
N(beta parçacığı sayısı)
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Aralık No
Şekil 4. Beta parçacıklarının Monte Carlo Yöntemi ile elde edilen enerji dağılımı.
Nokta kaynak
Z
İzotropik bir nokta kaynaktan
yayınlanan bir radyasyon
ışınlarının yayınlanma doğrultusu
kutup açısı  ve azimut açısı  ile
belirlenir.
Detektör
Bir X,Y,Z koordinat sisteminin
başlangıç noktasında bulunan bir
nokta kaynak için  ve  açısının
(x2+y2)1/2
(x,y,z)
Rd
örneklenmesi gerekir.
 L
0
Nokta kaynak
D
Y

X
Şekil 5. Nokta kaynak-detektör düzeneği
Nokta kaynaktan detektöre yada incelenecek ortama 2 katı açısı içine
yönelen radyasyonun yayınlanma doğrultusu örneklenecekse simetri
özelliği gözönüne alındığında  açısı 00 ile 900 arasında değişir. Böylece
, 00 ile 900 arasında örneklenmelidir.
’nın 00 ile 900 arasında örneklenmesi
 açısına Temel Monte Carlo ilkesi uygulanırsa;
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
y
d
d
p() d  90

90
d



d
0
Olasılık dağılım fonksiyonu


1

P()   p()d   d   q
90 0
90
0
  q.90
Aynı yöntemle 00 ile 1800 arasında =180.q 00 ile 3600 arasında =360.q olarak
örneklenebilir.
x
Gelişigüzel Sayı Dağılımı
1' e normalize edilmiş sıklık
1
0,95
n=10000
n=100000
n=1000000
0,9
0,85
0,0-0,1 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8 0,8-0,9 0,9-1,0
q (0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı)
Şekil 6. 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı(q) dağılımı
0-90 arasında örneklenen  açısı dağılımı
0
1' e normalize edilmiş sıklık
1
0,95
n=10000
n=100000
n=1000000
0,9
0,85
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
 (0-90 0)
Şekil 7. 0 ile 900 arasında  açısı dağılımı
80-90
Azimut açısı ’nin 0 ile 2 arasında örneklenmesi
İzotropik nokta kaynak için yayınlanan radyasyonun  açısına göre dağılımları
düzgündür ve  açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir. Bu nedenle  açısı
 = q.360
eşitliği ile örneklenir.
Radyasyon ışınının ortama girme noktasının belirlenmesi
Yukarıdaki örnekte ortamın yada
detektörün bulunduğu kısma yönelen
radyasyonun doğrultman kosinüsleri
=sin cos
=sin sin
=cos 
D kaynak-ortam arasındaki uzaklık
olmak üzere kaynakla ortama girme
noktası arasındaki uzaklık
L0=D/ 
Radyasyonun ortama varış noktasının
koordinatları
x=L0 , y=L0  ,
z=L0 
ile hesaplanır.
Eğer ortam Rd yarıçaplı bir detektör ise
(x2+y2)1/2<Rd
koşuluna bakılır.
Koşul sağlanmışsa radyasyonun ortama
girdiği kabul edilir ve ortamda takip
edilir, sağlanmamışsa yeni bir ışın
doğrultusu örneklenir.
Z
Detektör
(x2+y2)1/2
(x,y,z)
Rd
 L0
Nokta kaynak
Y

X
D
Yüzey Dağılımlı Kaynak
Z
Radyasyonun düz bir
yüzey üzerinde homojen
olarak dağılmış
noktalardan yayınlandığı
kabul edilen kaynak
yüzey dağılımlı kaynak
olarak tanımlanabilir.
Uygulamada en yaygın
olarak kullanılan yüzey
dağılımlı kaynaklar disk
şeklindeki kaynaklardır.
Detektör
Rd
(x, y, z)

Disk
Rk
kaynak
ra
D
Y


(Xa, Ya, Za)
X
Şekil 8. Disk kaynak-detektör düzeneği
Disk şeklinde yüzeysel kaynaktan radyasyon ışınlarının
yayınlanma noktası ve yayınlanma doğrultusu iki farklı
yaklaşımla belirlenebilir.
1. Yaklaşım
Radyal olarak simetrik disk kaynakta kaynağın
tüm alanını göz önüne almaya gerek yoktur.
Çünkü simetri ekseninden yayınlanma noktasına
çizilen herhangi bir doğru parçası, simetri
ekseninden aynı uzaklıktaki tüm doğru parçaları
ile aynı geometriye sahip olduğundan bir tanesini
göz önüne almak yeterli olacaktır. Böylece iki
boyutlu kaynak tek boyuta indirgenmiş olur.
Bu doğru parçası üzerindeki aktivite düzgün
olarak(eşit) dağılmıştır. Herhangi bir yayınlanma
noktası simetri ekseninden ra uzaklığı ile
tanımlanabilir.
Rk
ra
Şekil 9. Disk kaynak
Rk kaynak yarıçapı,
q, 0 ile 1 arasında gelişigüzel sayı olmak üzere
ra nın değeri 0 ile Rk arasında
Temel Monte Carlo ilkesi uygulandığında,
0
p(r ) dr 
dr
Rk
 dr
dr

Rk
dr
Rk
r
ra
ra
1
P( )   p(r )dr   dr 
q
Rk 0
Rk
0
0
ra  q.Rk
Eşitliği ile örneklenir.
Z
Detektör

ra
r
rp
Rd
D 
ra
Kaynak
Rk
Y
X
Şekil 10. Disk kaynaktan radyasyonun yayınlanma doğrultusunun örneklenmesi
Kaynaktan yayınlanan ışınların
detektörün bulunduğu yöne
yönelenleri(yani 2 katı açısına
yönelenler) örneklenecekse  açısı 00 ile
900 arasında olacaktır. Böylece  açısı
  q.900
eşitliği ile örneklenir.
2 tepe açılı koninin tabanının yarıçapı
r  D. tan 

ra
eşitliği ile hesaplanır.
r
rp
D 
eşitliği ile örneklenir.
Verilen bir D değeri için (kaynakdetektör uzaklığı) yayınlanan ışınların
tüm mümkün doğrultuları 2 tepe açılı
koninin tabanının çevresiyle belirlenir.
Işının doğrultusu koninin simetri
ekseni çevresinde  açısıyla belirlenir.
 açısı 00 ile 3600 arasında eşit
olasılığa sahiptir. Böylece  açısı
  q.3600
Z
ra
Rk
X
Y
Z
Işının doğrultusunun detektörün ön
yüzeyinden geçen düzlemle kesiştiği
noktanın kaynak-detektör simetri
ekseninden (Z ekseni) uzaklığı rp ,

ra
2
eşitliği ile hesaplanır.
ra
Rk
Eğer
rp  Rd
Rd
D 
rp  r  r  2.ra .r. cos 
2
a
r
rp
ise
Işın detektöre ön yüzeyinden girecektir
ve ışın detektör içinde izlenecektir.
Koşul sağlanmazsa yeni bir ışın
belirlemek için işlem tekrar edilir.
X
Y
2. Yaklaşım
Disk kaynak, radyal olarak simetrik,
radyasyon ışınlarının homojen olarak
dağılmış noktalardan yayınlanabildiği Rk
yarıçaplı kalınlıksız düz yüzey olarak
kabul edilir.
Disk kaynaktan yayınlanan ışınların
yayınlanma noktası, simetri noktasından
olan ra uzaklığı ve  açısı ile
tanımlanabilir.
Bu yaklaşımda kaynak yüzey alanı göz
önüne alınır.
y
Rk
dr

ra
Şekil 11. Disk kaynak
x
Belli bir r değeri gelme olasılığı=
y
2 r dr
 Rk2
Rk
dr
2 r dr
Olasılık yoğunluk fonksiyonu= p(r ) dr 
R 2k

ra
ra
Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu=
Buradan ra yarıçapı
ra  R k q
q
 2 r dr 
0
R 2k
ra2
 2
Rk
olur.
eşitliği ile örneklenir.
Disk kaynak yüzeyi üzerinde ışının yayınlanma noktasının koordinatlarının
belirlenmesi için  açısının da örneklenmesi gerekir.
 açısı 00 ile 3600 arasında eşit olasılığa sahiptir ve düzgün dağılımlıdır. Böylece ,
  q.3600
eşitliği ile örneklenir.
x
Disk kaynaktan yayınlanan ışının
yayınlanma noktasının koordinatları,
Z
Xa= ra cos
Ya= ra sin
Za=0
Detektör
olur.
1-Eğer 2 katı açısı içinde detektöre
yönelen ışınlar göz önüne alınırsa
(Xa, Ya, Za) noktasından yayınlanan
Işınların doğrultusu nokta kaynakta
olduğu gibi örneklenir.
  q.90
0
  q.360
Doğrultman kosinüsleri
=sin cos
=sin sin
=cos 
belirlenir.
0
Rd
(x, y, z)

Disk
Rk
kaynak
ra
Y


X
D
(Xa, Ya, Za)
Z
Detektörün ön yüzeyinden geçen
düzlemle kaynak arasındaki uzaklık
L0 
D
cos 
eşitliği ile belirlenir.
Işının detektör ön yüzeyinden geçen
düzlem üzerine varış noktasının
koordinatları
Detektör
x=Xa+ L0  , y=Ya+ L0  , z=Za+ L0 
Rd
eşitlikleriyle hesaplanır. Varış
noktasının simetri eksenine(z ekseni)
uzaklığı rp =(x2+y2)1/2 ile hesaplanır.
rp
Eğer rp < Rd ise ışın detektöre
girecektir. Koşul sağlanmıyorsa yeni
bir ışının doğrultusunu örneklemek
için işlem tekrarlanacaktır.

Disk
Rk
kaynak
ra
D
L0
Y


X
(x, y, z)
(Xa, Ya, Za)
2-Eğer tüm uzaya 4 katı açısı içine yönelen ışınlar göz önüne alınırsa
 açısı 00 ile 1800 arasında  açısı 00 ile 3600 arasında örneklenmesi gerekir.
Hesaplamalarda cos değeri kullanıldığından doğrudan cos değeri örneklenebilir.
00 ile 1800 arasında cos nın örneklenmesi
d=sin d d birim katı açı ifadesine Temel Monte Carlo İlkesi uygulanırsa
q
2

0
2
0

0
0
 d   sin  d d


 d   sin  d d
tüm
uzay
q
1
(1  cos )
2


2  sin  d
0
4
1 
q
 sin  d
2 0
q
1

( cos ) 0
2
cos  1  2.q
 açısı 00 ile 900 arasında ise ışın detektörün bulunduğu 2 katı açısı içine
yönelmiş demektir, aksi halde detektörün bulunmadığı 2 katı açısı içine
yönelmiş olur.
İki yaklaşımın karşılaştırılması
Disk kaynakta örneklenen yarıçap dağılımı
1.yöntem
2.yöntem
0,
00
0, ,1
10
0, ,2
20
0, ,3
30
0, ,4
40
0, ,5
50
0, ,6
60
0, ,7
70
0, ,8
80
0, ,9
91
1, ,0
01
1, ,1
11
1, ,2
21
1, ,3
31
1, ,4
41
1, ,5
51
1, ,6
61
1, ,7
71
1, ,8
81
1, ,9
92,
0
N
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
r (yarıçap aralığı)
Şekil 12. Disk kaynakta örneklenen yarıçap dağılımı
Hacim Dağılımlı Kaynak
Z
Uygulamada kullanılan
hacim dağılımlı kaynaklar
genellikle silindir biçimli
kaynaklardır.
A-Silindirik Kaynak
Silindirik kaynak h
yüksekliğinde Rk yarıçaplı
ve koordinat sisteminin
başlangıç noktası şekildeki
gibi seçilmiş olsun
Rk
h
Y
X
Silindirik
kaynaktan
radyasyonun
1. Bölgede
gammanın
yayınlanma noktası ve yayınlanma
yayınlanma
koordinatları
vegibi aşağıdaki değişkenler
doğrultusunoktasının
silindik kaynakta
olduğu
yayınlanma
doğrultusunun
örneklenerek
belirlenir örneklenmesi
için sırasıyla aşağıdaki adımlar
Z
izlenmelidir.
1- Önce 0 ile h arasında yayınlanma
noktasının za koordinatı belirlenir.
Rk

za  h.q
h
za ra

2- 0 ile Rk arasında ra yarıçapı
örneklenir

Y
ra  Rk . q
00 ile
3600 arasında
3örneklenir.
 açısı
X
  q.3600
(x, y, z)
4- Radyasyonun yayınlanma noktasının
x,y koordinatları hesaplanır.
Z
xa  ra . cos
ya  ra .sin
Rk

5- Yayınlanan radyasyonun 4 katı
açısı içine tüm yönelişleri
örneklenecekse (xa,ya,za)
noktasından yayınlanan
radyasyonun kutup açısı
cos  1  2.q
eşitliği ile örneklenir.
6- Azimut açısı  00 ile 3600 arasında
örneklenir.
  q.3600
h
D
za ra


Y
X
(xa,ya,za)
Yayınlanan radyasyonun doğrultman kosinüsleri;
  sin  cos
  sin  sin 
  cos
eşitlikleriyle hesaplanır.
B- Marinelli Beaker
Genellikle gamma ışınlarının
deteksiyonunda kullanılan bu tür
hacimsel kaynakların
simülasyonunda kaynağı iki bölge
halinde düşünmek yararlı olur.
Z
r2
1
Birinci bölge h2 ve h1 arasında
kalan silindirik bölgedir.
İkinci bölge iç yarıçapı r1 dış
yarıçapı r2 olan h1
yüksekliğindeki bölgedir.
He iki bölgede gamma ışınının
yayınlanma noktasının
koordinatları ve yayınlanma
doğrultusu ayrı ayrı
örneklenmelidir.
r1
h2
h1
2
Y
X
1. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma
doğrultusu silindik kaynakta olduğu gibi aşağıdaki değişkenler
örneklenerek belirlenir
za  h1  h2 .q
za koordinatı h1 ve h2 arasında örneklenir
ra  r2 . q
  q.3600
Yayınlanma noktasının koordinatları hesaplanır
xa  ra . cos
ya  ra .sin
za  h1  h2 .q
4 katı açı içine yayınlanma için gammanın kutup açısı örneklenir.
cos  1  2.q
Azimut açısı  00 ile 3600 arasında örneklenir.
  q.3600
Yayınlanan gammanın doğrultman kosinüsleri;
  sin  cos
  sin  sin 
  cos
eşitlikleriyle hesaplanır.
2. Bölgede gammanın yayınlanma noktası ve yayınlanma
doğrultusu aşağıdaki adımlar izlenerek örneklenebilir.
Z koordinatının örneklenmesi
za  h1.q
r1 ve r2 arasında ra yarıçapının örneklenmesi
2 r dr
Belli bir r değeri gelme olasılığı=
 (r22  r12 )
r
r1
dr

2 r dr
Olasılık yoğunluk fonksiyonu=p(r ) dr  2
2
(r2  r1 )
ra
 2 r dr 
ra2  r1
Toplam olasılık yoğunluk fonksiyonu=q 
olur.
 2
2
2
2
(r2  r1 ) r2  r1
2
r1
Buradan ra yarıçapı
ra  q (r2  r1 )  r1
2
2
2
eşitliği ile örneklenir.
r2
00 ile 3600 arasında  açısı örneklenir.
  q.3600
Yayınlanma noktasının koordinatları hesaplanır.
xa  ra . cos
ya  ra .sin
za  h1.q
4 katı açı içine yayınlanma için gammanın kutup açısı örneklenir.
cos  1  2.q
Z
  q.3600
Yayınlanan gammanın
doğrultman kosinüsleri;
r2
1
r1
  sin  cos
  sin  sin 

h1
2
ra

  cos
h2
h2
Y
(xa,ya,za)
eşitlikleriyle hesaplanır.
X
KAYNAKLAR
S. YALCIN, O. GURLER, G. KAYNAK, O. GUNDOGDU
Calculation of Total Counting Efficiency of a NaI(Tl) Detector
by Hybrid Monte Carlo Method for Point and Disk Sources.
APPLIED RADIATION AND ISOTOPES,
Vol.65, No.10, pp.1179-1186, 2007
S. YALCIN, O. GURLER, O. GUNDOGDU, G. KAYNAK
Monte Carlo Simulation of Gamma-ray Total Counting Efficiency
for a Phoswich detector
RADIATION MEASUREMENTS, Vol.44, No.1, pp.80-85, 2009
U. AKAR TARIM, E. N. OZMUTLU, O. GURLER, S. YALCIN
The Effect of the Housing Material on the NaI(Tl) Detector Response
Function
JOURNAL OF RADIOANALYTICAL AND NUCLEAR CHEMISTRY, In
Press, 2012
U. AKAR TARIM, O. GURLER, E. N. OZMUTLU, S. YALCIN, O. GUNDOGDU, D.A.
BRADLEY, J.M. SHARAF
The Energy Spectrum of 662 keV Photons in a Water Equivalent Phantom
RADIATION PHYSICS AND CHEMISTRY, In Press, 2012
ÖZMUTLU, E.N. MONTE CARLO DERS NOTLARI
ÖZMUTLU, C., ORTAOVALI, A.Z. 1976. Calculation of Total and Full Energy
Peak Efficiencies of Ge(Li) and NaI(Tl) Detectors By Introducing The Mean
Chord Length. Nuclear Instruments and Methods 133 149-155
SHIMIZU, R., DING ZE-JUN. 1992. Monte Carlo Modelling of Electron-Solid
Interactions. Rep. Prog. Phys., Printed in the UK. 487- 531.
STRACHAN C. 1969. The Theory of Beta Decay. Pergamon Press, London
ZIKOVSKY, L., CHAH, B. 1988. A Computer Program for Calculating Ge(Li)
Detector Counting Efficiencies With Large Volume Samples. Nuclear
Instruments and Methods in Physics Research A263. p.483-486
AYDIN A., 1989. Hacimli Gamma Kaynağı İçin Detektör Duyarlılığı ve Cevap
Fonksiyonunun İncelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Uludağ Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü ,(Yayınlanmamış), BURSA. 71 s.
CENGİZ, A.1991. Elektron ve - Parçacıklarının Menzil, Enerji ve Açısal
Dağılımlarının Monte Carlo Yöntemiyle İncelenmesi. Doktora Tezi. Uludağ
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. BURSA. 76 s.
GEMİCİ, Ö. 1991. Sonlu Ortamlarda Bir veya Daha Çok Saçılma Yapmış
Gammaların Monte Carlo Yöntemiyle İzlenmesi, Doktora Tezi. Uludağ
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. (Yayınlanmamış), BURSA. 116 s.
HAASE, G., TAIT, D. AND WIECHEN, A. 1993. Monte Carlo Simulation of
Several Gamma-emitting Source and Detector Arrangements for Determining
Corrections of Self-attenuation and Coincidence Summation in Gammaspectrometry. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A329.
p.483-492
KONOPİNSKİ E.J. 1966.The Theory of Beta Radioactivity, Oxford University
Press,13.