Transcript Přednáška prof. Jiřího Cihláře

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Přírodovědecká fakulta Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem
katedra matematiky
Modely
60. ročník MO
Soustředění řešitelů
Kategorie A
Janov nad Nisou 2010
[email protected]
Tato akce je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky jako součást projektu
OPVK CZ.1.07/2.3.00/09.0121
„To je věda, seznamte se" – podpora systematické práce s žáky a studenty v oblasti vědy, výzkumu a vývoje.
O čem budeme dnes večer hovořit?
Seznámíme se například s:
 vlastnostmi aximatických systémů,
 axiomatikou přirozených čísel,
 konečnými geometriemi,
 problémem neeukleidovské geometrie,
 paradoxy v naivní teorii množin,
 a hlavně rolí modelů v matematice.
Axiomatická výstavba
matematiky
Eukleides (3. stol. př. n.l.)
Základy (Stoicheia)
•
•
•
•
13 knih
Definice
Postuláty (axiomy)
Problémy (tvrzení)
Budování matematických teorií
Jazyk teorie:
Zárodek obsahu:
Způsob dedukce:
Pak následují:
abeceda
termy
formule
axiomy
pravidla odvozování
definice
věty s důkazy
Teorii tvoří všechny principiálně odvoditelné věty.
Požadavky na matematické teorie
• bezespornost teorie
• nezávislost systému axiomů
• úplnost teorie (syntaktická a sémantická)
Proč musíme striktně požadovat bezespornost?
Jak dokázat bezespornost teorie?
Jak dokázat nezávislost axiomu na ostatních?
Co to znamená, že v jazyku teorie lze formulovat
nerozhodnutelná tvrzení?
Příklady axiomatických systémů
Teorie přirozených čísel
Jak vypadá jazyk této teorie?
Axiomy:
(x)(y) x ≠ y´
(x)(y) x´ = y´  x = y
(x) x + 0 = x
(x)(y) x + y´ = ( x + y )´
(x) x . 0 = 0
(x)(y) x . y´ = x . y + x
Dedukce:
( F(0)  (x) ( F(x)  F(x´) )  (x) F(x)
Co říkají axiomy sčítání?
(x) x + 0 = x
(x)(y) x + y´ = ( x+ y )´
+
0
1
2
0
0
1
2
1
2
3 …
y
y´
… …
x x
… …
x+y x+y´
…
Další sloupce
vyplňujeme
tak, že
zapisujeme
následovníky
čísel vlevo.
Co říkají axiomy násobení?
(x) x . 0 = 0
(x)(y) x . y´ = x . y + x
•
0 1 2 …
y
y´
x.y
x . y´
0 0
1 0
2 0
… …
x 0
… …
…
Čísla v dalších
sloupcích
vyplňujeme tak, že
k číslu vlevo
přičteme číslo z
předznamenání
řádku .
Příklad věty a jejího důkazu
Věta
Důkaz:
(x) 1 + x = x´
Formule F(x) bude 1 + x = x´ .
(i) Máme dokázat, že platí F(0) , tedy 1 + 0 = 0´ .
Proč to platí?
1 + 0 = 1 = 0´
(ii) Máme dokázat, že platí F(x)  F(x´) pro
libovolné x,
tedy jestliže 1 + x = x´ , pak 1 + x´ = (x´)´.
Proč to platí?
1 + x´ = (1 + x)´ = (x´)´.
■
Příklady definic dalších pojmů
Definujme třeba tyto relace mezi přirozenými čísly:
x  y  ( z ) x + z = y
xy  xy  xy
x  y  ( z ) x . z = y
Jaké věty pak můžeme dokazovat?
Jaké další pojmy můžeme definovat?
Eukleidovská geometrie
Hilbertův systém axiómů:
axiomy incidence
axiomy uspořádání
axiomy spojitosti
axiom rovnoběžnosti
Obsah eukleidovské geometrie je nám znám
(samozřejmě jen částečně) ze školní výuky.
Výrokový kalkul
Jak vypadá jazyk této teorie?
Axiomy:
(p(qr))((pq)(pr))
p(qp)
( p   q )  ( q  p )
Dedukce:
Pravidlo substituce
Pravidlo odloučení (modus ponens)
Příklady definic dalších pojmů
Definujme další operace mezi výroky:
pq
 ( p  q )
pq
 ( p   q )
pq  (p  q)  (q  p)
Pak můžeme dokazovat celou řadu známých vět.
Jak tyto dokázané věty souvisí s tautologiemi?
Model teorie v jiné teorii
Co je to model?
Teorie 1
Věty 1
Axiomy 1
Teorie 2
Věty 2
Věty 2
Axiomy 2
Co z existence modelu můžeme vyvodit?
Příklady modelů
Analytická geometrie v rovině
bod
…… uspořádaná dvojice reálných čísel x;y
přímka ..…. množina všech bodů, jejichž souřadnice
vyhovují rovnici ax + by + c = 0 ,
kde a  0  b  0
kružnice …. množina všech bodů, jejichž souřadnice
vyhovují rovnici (x – a)2 + (y – b)2 = 0
bod leží na přímce či kružnici …..
přímky jsou navzájem kolmé …..
Atd.
Jde o model geometrie v teorii reálných čísel.
Model přirozených čísel v teorii množin
0 …. 
Odpovídá-li přirozenému číslu x množina X,
pak číslu x´ odpovídá množina X  X .
1
2
3
4
…. 
….   ;  
….   ;  ;  ;  
…. atd.
Jak se „přeloží“, že x < y ?
Beltrami-Kleinův model
• Snahy Lobačevského o důkaz 5. EP sporem:
K ostatním axiomům se přidala negace axiomu o
rovnoběžkách a mezi důsledky se hledal spor.
• Spor se nedařilo nalézt !
Logických důsledků přibývalo,
vytvářely ucelený celek,
ale spor se neobjevoval.
• Ale objevil se model !
Co můžeme z jeho
existence vysoudit?
Konečné modely incidenční geometrie roviny
Modulární přístup k celým číslům
Na hodinách obvykle počítáme s modulem 12.
Co to znamená?
V celých číslech počítáme obvykle s nějakým
prvočíselným modulem p.
modul je p = 3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
modul je p = 5
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Jak se projeví modulární přístup v geometrii?
Základní idea:
Místo reálných čísel budeme uvažovat jen
„modulární celá čísla“.
• Kolik bodů bude v rovině a jaké budou mít
souřadnice při modulu 3, 5 nebo obecně p?
• Jak bude vypadat přímka, která má rovnici
X = A + t.u ?
Velký třesk v matematice
Spor v teorii množin ?!?!
Pro každou množinu můžeme jednoznačně
rozhodnout, zda do ní libovolný objekt patří či nepatří.
Pro libovolnou množinu x tedy můžeme rozhodnout,
zda platí x  x anebo naopak  ( x  x ).
Množiny, které nejsou prvky sebe sama, tedy pro něž
platí, že  ( x  x ), budeme nazývat normální.
Vytvořme množinu s takto: jejími prvky budou
všechny normální množiny a nic jiného, tedy
xs (xx).
Uvažujme, zda sama množina s je normální či není,
tedy zda platí s  s anebo  ( s  s ) .
Proč se otřásla celá stavba matematiky?
Modely a relativní bezespornost:
TM
TPČ
TRČ
EG
NG
Další potíže v logické výstavbě teorií
Český jazyk má jen konečný počet symbolů, přidejme
ještě do naší abecedy konečný počet aritmetických
symbolů.
Ze všech těchto symbolů můžeme sestavit jen konečný
počet sledů, které mají délku nejvýše 100.
Můžeme tak popsat jen konečně mnoho přirozených
čísel (nejmenší prvočíslo, 2 + 3, …).
Zbývá nekonečně mnoho těch, které takto popsat nelze.
Nejmenší přirozené číslo, které nelze popsat
sledem nejvýše 100 symbolů naší abecedy.
Rozvětvování teorií
Soumrak nad axiomatizací
Co to jsou nerozhodnutelná tvrzení?
Nerozhodnutelným tvrzením (pro určitou teorii)
nazýváme tvrzení, které v této teorii nelze ani
dokázat, ani vyvrátit.
Příklad: Pátý Eukleidův axióm o rovnoběžkách
V absolutní geometrii roviny je nerozhodnutelné:
Nechť je dán bod A a přímka p, která jím neprochází.
Bodem A lze vést jedinou přímku, která s danou
přímkou nemá žádný společný bod.
Situace v teorii množin:
H yp o té za ko n tin u a
n e p la tí
p la tí
ZÁK LADN Í
T E O R IE
M N O ŽIN
p la tí
n e p la tí
A xio m
výb ě ru
Nerozhodnutelná tvrzení v aritmetice
Zásadní výsledek Kurta
Gödela (1936):
Každý axiomatický systém
pro aritmetiku přirozených
čísel je principiálně neúplný.
Vše, co intuitivně víme o přirozených číslech,
se nedá axiomatizovat.
Závěr
Modely nám tedy umožňují prokázat:
 relativní bezespornost teorie,
 nezávislost axiomu na ostatních,
 nerozhodnutelnost tvrzení v dané teorii,
 a řadu dalších zajímavých věcí,
o nichž jsme nemluvili.
Děkuji vám za pozornost.