Transcript Polynomické fraktály

LOGISTICKÉ SYSTÉMY
10/14
Osnova přednášky
Fraktální logistické sítě
 Úvod do fraktálů
 Základy fraktální geometrie
 Stavba fraktálu
 IFS fraktály
 TEA fraktály
 L-systémy
 Logistické fraktály
Úvod do fraktálů






Konec 19. století - zvláštní matematické konstrukce,
které se značně lišily od ideálních matematických
objektů: podivné matematické výjimky.
Později se ukázalo, že mnohem přesněji popisují
objekty reálného světa.
Cantorova množina, neobsahující žádný izolovaný bod,
ale ani žádnou úsečku, Kochova křivka nekonečné
délky, ohraničující konečnou plochu, Peanova křivka,
vyplňující celou rovinu a mnoho dalších.
Roku 1918 popsali Gaston Julia a Pierre Fatou
konstrukci tzv. Juliových množin, konstruovaných
iterací polynomů.
60. léta Benoit B. Mandelbrot představil Mandelbrotovu
množinu.
Tyto matematické objekty dostali své jméno když v roce
1975 publikoval Mandelbrot revoluční knihu Fraktály.
Úvod do fraktálů





Přesná matematická definice fraktálu dosud není
známa, ale charakteristickou vlastností fraktálů je
soběpodobnost, nebo soběpříbuznost.
Pokud se podíváte na objekt klasické euklidovské
geometrie jste schopni určit měřítko ve kterém objekt
vidíte u fraktálů to není možné, této vlastnosti se říká
invariace vzhledem ke změně měřítka.
S tím souvisí soběpodobnost (resp.. soběpříbuznost)
fraktálů, kdy objekt vypadá stejně (příp. podobně) jako
jeho zvětšená část.
má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován
opakovaným použitím jednoduchých pravidel.
Uplatnění: počítačová grafika, předpovídání počasí,
mechanika tekutin, předpovídání cen akcií, logistické
fraktální sítě
Krása statisticky soběpodobných fraktálů spočívá v křehké harmonii mezi
pravidelností a nahodilostí. Stejně jako krása přírody. V lese nepanuje
chaos, přestože je každý strom jedinečný. Proto se nám les zdá krásnější
než sídliště se svojí umělou pravidelností i než smetiště, které je úplně
chaotické“
Základy fraktální geometrie
 Termín fraktál použil poprvé matematik Benoît Mandelbrot v roce 1975.
 Pochází z latinského fractus – rozbitý.
 Kořeny fraktální geometrie:
 1872 K. Weierstrass - spojitá funkce, která nemá v žádném bodě derivaci.
 B. Mandelbrot (70. léta 20.stol) ukázal, že se jedná o “špičku ledovce”
teorie, pomocí které lze popsat jak geometrický vzhled našeho světa ale
i dynamické sytémy
 Fraktály jsou nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika
zkoumá.
Základy fraktální geometrie
 Euklidovská geometrie, není schopna popsat
jednoduše takové struktury jako kapradí nebo
džungle.
 Euklidovská geometrie dokáže jednoduše
pospat základní útvary jako je kruh, čtverec,
koule, trojúhelník a další. Např. pravoúhlý
trojúhelník je úplně popsán pomocí Pythagorovy
věty.
Základy fraktální geometrie
Jak ale popsat tzv. Pythagorův strom?
V Euklidovské geometrii nesmírně složité
U fraktální geometrie problém odpadá.
Pythagorův strom
Základy fraktální geometrie
Benoit B. Mandelbrott
(*1924 Varšava)
• analytik IBM
• Netradiční matematické přístupy
• Analýza pohybu cen bavlny.
– Cena se nedala předpovědět, ale objevovala se
zde stejná posloupnost změn v různých měřítkách
zobrazení.
• Telekomunikační vedení.
• Tisícileté záznamy o stavu vody v Nilu.
Základy fraktální geometrie
 V roce 1975 kdy se začaly objevovat podobné
úvahy i ve fyzice konečně vydal knihu, kterou
označil za manifest a soubor kauzistik.
 Fraktálům dal jméno vybrané z latinského
slovníku svého syna, kde narazil na slovo
fractus, odvozené od slovesa zlomit. V angličtině
i ve francouzštině toto slovo zní fractal.
 Fraktály jsou množiny, jejichž geometrický motiv
se opakuje v základním tělese až do nekonečna.
Nekonečno je nutné chápat jen matematicky,
jelikož ve fyzikálním světě vždy existují hranice,
za kterými opakování končí.
Stavba fraktálu
Fraktály dělíme na:
 Soběpodobné – většinou jen čisté matematické struktury, se kterými
se lze setkat jen při matematických konstrukcích. Jejich
charakteristickým znakem je, že se v nich opakuje původní originální
motiv mateřského tělesa. Kterýkoliv výsek je přesnou kopií
původního tělesa.
 Soběpříbuzné – útvary, se kterými se setkáváme každý den, aniž
bychom si to uvědomovali. Jsou to například mraky, lesy, hory, vodní
hladina, obyčejný květák, ale dokonce i takové objekty, jako je
obličej ap. Pro ně je charakteristické, že kterýkoliv výsek je sice
“blízký”, není ale přesnou kopií původního tělesa. Není tedy sobě
“podobný”, ale jen “příbuzný”.
 Fraktál má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován
opakovaným použitím jednoduchých pravidel
Stavba fraktálu
 Nezávisle na fraktální geometrii vznikla zhruba v
téže době tzv teorie deterministického chaosu.
 Nezávisle na různých místech se vytvořilo nové téma
ve vědě: hledání řádu v chaosu.
 Efekt motýlích křídel
 Fraktální geometrie studuje tvary tak členité jako
třeba hory, pobřeží, mraky, elektrické výboje,
stromy, špinavé skvrny a podobně. Odtud plyne
její praktické využití v počítačové grafice a
simulacích ale i logistice!
Hausdorffova dimenze
 Dimenze vypovídá o struktuře objektu
 Základní dvě dimenze:
 Topologická a fraktální (Hausdorffova)
Topologická dimenze
• Topologická dimenze určuje minimální počet parametrů potřebných
k přesnému určení polohy v daném prostoru. Říkáme, že dva
prostory mají stejnou topologickou dimenzi, existuje-li mezi nimi
vzájemně jednoznačné zobrazení.
• Bod má topologickou dimenzi 0, přímka 1, rovina 2 atd.
• To že má přímka nebo křivka dimenzi 1 neznamená, že je
zobrazována v jednorozměrném prostoru. Dimenze přímky nám
říká, že polohu bodu na přímce přesně určuje jeden reálný parametr.
Hausdorffova dimenze
FRAKTÁLNÍ (HAUSDORFFOVA) DIMENZE
 Pokud měříme běžné objekty (např. obvod kruhu) měřidlem o délce r, tak
zkracováním měřidla (zpřesňováním měřítka) získáváme stále přesnější hodnotu,
která se blíží skutečné délce tím více, čím je měřítko menší. Výsledná délka
konverguje ke konečné hodnotě.
 Existují ale objekty, pro které toto neplatí.
 Při měření délky pobřeží Bretaně zjistil L. F. Richardson, že tato délka závisí na délce
měřidla. Naměřená délka rostla se zmenšujícím se měřidlem a nekonvergovala ke konečné
hodnotě.
 Richardson také určil empirický vztah K = CrD kde r>0 je délka měřidla (kroku), C je
konstanta úměrnosti a K=Nr je celková délka aproximace pobřeží , kde N je počet kroků.
Význam konstanty D si Richardson nedokázal vysvětlit.
 Benoit Mandelbrot zjistil že se jedná o novou tzv. hausdorffovu dimenzi. Hodnoty této
dimenze určují členitost daného objektu. Pro geometricky hladké je hausdorffova dimenze
rovna dimenzi topologické. Dostáváme se tak k přesnější definici fraktálu. Tuto definici
formuloval Mandelbrot
 Fraktál je množina či geometrický útvar, jehož Hausdorffova dimenze je
větší než dimenze topologická.
 Rozdíl mezi topologickou a fraktální dimenzí určuje členitost útvaru, čím je
rozdíl větší tím je útvar členitější.
Hausdorffova dimenze
Výpočet Hausdorffovy dimenze
 Mějme úsečku délky 1, kterou rozdělíme na N stejných dílků. Délka
jednoho dílku bude r = 1/N. Pokud budeme stejným způsobem dělit
čtverec rozměry jednoho dílku budou r = (1/N)1/2.Pro krychli
dostaneme r = (1/N)1/3.
 Obecně: r = (1/N)1/D, resp., N=(1/rD) kde D je fraktální dimenze
objektu.
D
log N
1
log
r
 Př: Hausdorfova dimenzi čtverce o straně 1. Pro každou hranu
zvolíme r=1/2, je zřejmé, že N=4. Po dosazení do vzorce dostáváme:
D
log 4 log 4

2
1 log 2
log
1
2
 Hausdorfova dimenze čtverce je stejná jako dimenze topologická.
Podle Mandelbrotovy definice tedy čtverec není fraktál.
Hausdorffova dimenze
Shrnutí:
 K "měření" fraktálů nelze použít prostředky
klasické geometrie.
 Proto se jako míra členitosti definuje tzv.
Hausdorffova dimenze.
 Pokud zkoumaný objekt obsahuje n kopií sebe sama
zmenšených na jednu k-tinu je Hausdorfova dimenze
rovna
D = log(n) / log(k)
Základní typy fraktálů
•
•
•
•
•
Iterační funkční systémy (IFS)
Polynomické fraktály (TEA)
L-systémy
Dynamické fraktály
Náhodné fraktály
IFS fraktály
Nejjednodušší fraktály
Konstrukce pomocí tzv. afinní transformace
Po vynásobení matic dostáváme následující vztah.
x,y …
x'‚y' …
r1 …
r2 …
původní souřadnice,
transformované souřadnice.
zvětšení ve směru osy x,
zvětšení ve směru osy y,
j, ϑ … otočení souřadnice x a y,
e, f … posun podél os x a y posouvá.
IFS fraktály
Cantorovo diskontinuum.
Začneme s úsečkou libovolně zvolené délky. Tu rozdělíme
na třetiny a prostřední část smažeme. Získáme tak dvě
úsečky, s nimiž postup opakujeme. Kdybychom totéž
opakovali až donekonečna, získali bychom množinu
nekonečně mnoha bodů, jejichž celková délka by byla 0.
To je Cantorovo diskontinuum.
Taková množina obsahuje dvě kopie sebe sama zmenšené
na třetinu.
IFS fraktály
Cantorovo diskontinuum.
Začneme s úsečkou libovolně zvolené délky. Tu
rozdělíme na třetiny a prostřední část smažeme.
Získáme tak dvě úsečky, s nimiž postup
opakujeme. Kdybychom totéž opakovali až
donekonečna, získali bychom množinu
nekonečněmnoha bodů, jejichž celková délka by
byla 0. To je Cantorovo diskontinuum.
Taková množina obsahuje dvě kopie sebe sama
zmenšené na třetinu.
IFS fraktály
Cantorovo diskontinuum.
Prvních šest aproximací Cantorova diskontinua
Hausdorffova dimenze Cantorova diskontinua je tedy
D = log 2 / log 3 = 0.6309
Topologická dimenze je 0
Cantorovo diskontinuum je tedy fraktál
IFS fraktály
Sierpinského koberec

Základním objektem je čtverec. Čtverec rozdělíme na 9 menších čtverců, prostřední čtverec
odstraníme. Tento postup opakujeme se zbylými osmi čtverci atd.
Hausdorffova dimenze Sierpinského koberce je tedy
D = log 8 / log 3 = 1.893
Topologická dimenze je 1
Sierpinského koberec je tedy fraktál
IFS fraktály
Sierpinského trojúhelník

Základním objektem je trojúhelník (nejčastěji rovnoramenný). Sestrojením středních příček
rozdělíme trojúhelník na 4 shodné trojúhelníky, odstraníme prostřední. Totéž opakujeme na zbylé
trojúhelníky.
Hausdorffova dimenze Sierpinského trojúhelníku je tedy
D = log 3 / log 2 = 1.585
Topologická dimenze je 1
Sierpinského trojúhelník je tedy fraktál
IFS fraktály
Kochova vločka
•
Základem je Kochova křivka, jež vznikne nekonečným opakováním
jednoduchého postupu. Na začátku je prostá úsečka (v případě Kochovy
vločky rovnostranný trojúhelník tvořený třemi takovými úsečkami). V
každém kroku se pak provede následující:
1.
2.
3.
4.
•
•
Úsečka se rozdělí na třetiny.
Nad prostřední třetinou se sestrojí rovnostranný trojúhelník.
Základna trojúhelníka (bývalá prostřední třetina úsečky) se odstraní.
Tím se z původní úsečky stane křivka složená ze čtyř úseček (resp. z
trojúhelníka se stane šesticípá hvězda) a postup se rekurzivně opakuje s každou
takto vzniklou úsečkou.
Kochova křivka vznikne jako limita při opakování tohoto postupu do
nekonečna. Její délka je nekonečná, neboť se v každém kroku prodlouží
vždy o třetinu – ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé. Z toho
vyplývá, že v kroku n bude délka křivky (4/3)n délky původní úsečky,
Kochova křivka je spojitá, ale v žádném bodě nemá tečnu.
IFS fraktály
První čtyři iterace Kochovy vločky vzniklé ze 3 Kochových křivek
Hausdorffova dimenze = log 3/ log 2 = 1,26186
IFS fraktály
Peanova křivka
 Peanova křivka vzniká podobně jako křivka Kochova. Vycházíme z
úsečky, kterou rozdělíme na třetiny, Prostřední třetinu nahradíme
sedmi shodnými úsečkami o délce 1/3.
Hausdorffova dimenze Peanovy křivky je tedy
D = log 9 / log 3 = 2
Topologická dimenze je 1
Vzhledem k hodnotě D, Peanova křivka úplně vyplňuje část roviny stejně
jako čtverec, má ale také nekonečně mnoho dvojitých bodů. Následující
obrázek ukazuje způsob konstrukce Peanovy křivky. Zakroužkované jsou ve
skutečnosti totožné (dvojitá body).
IFS fraktály
Peanova křivka
IFS fraktály
Mengerova houba
 Výchozím objektem fraktálu je krychle, tu rozdělíme na 27 shodných krychliček,
odstraníme sedm prostředních krychliček (ty které nesousedí s žádnou stranou).
Všimněte si, že z původních stran zbyly Sierpinského koberce, ale i každá další
vzniklá strana je Sierpinského kobercem.
Hausdorffova dimenze Mengerovy houby je D = log 20 / log 3 = 2,727
IFS fraktály
Větvička, sněhová vločka
 Zadáno tabulkami afinních transformací
IFS fraktály
Stochastické fraktály
 Stochastické prvky v parametrech afinních transformací
 U afinní transformace se uvede pravděpodobnost jejího použití.
 Tak vznikají soběpříbuzné fraktály, která se více podobají reálným
objektům.
 V počítačové grafice se využívají například ke generování skalních útesů.
Polynomické fraktály (TEA)
Nejvíce podílely na popularizaci fraktálů.
Mají estetický význam a právě proto jsou tak populární.
Polynomické fraktály vznikají v rovině komplexních čísel.
Vznikají opakovaným výpočtem komplexní funkce, kdy
za proměnnou dosazujeme výsledek minulého kroku
(iterace).
 Polynomické fraktály jsou množiny komplexních čísel,
pro které hodnoty funkce postupně konvergují ke
konečné hodnotě.
 Fraktální není celá množina, ale jen její hranice, která




má topologiskou dimenzi 1 a fraktální dimenzi 2.
Polynomické fraktály (TEA)
 Juliovy množiny vznikají tak, že zvolíme komplexní c,
která charakterizuje množinu. Pro každé komplexní číslo
z zjistíme, zda neustálým přičítáním c hodnota z
nediverguje, pokud nediverguje bod patří do Juliovy
množiny. V praxi stačí proces opakovat dokud absolutní
hodnota z nepřesáhne 2. Pokud se tak nestane ani po
několika iteracích bod patří do Juliovy množiny. Čím více
iterací provedeme, tím bude zobrazení přesnější.
Polynomické fraktály (TEA)
Juliovy množiny
Polynomické fraktály (TEA)
Mandelbrotova množina
 Ke každému bodu množiny je přiřazena právě jedna Juliova
množina, tedy za c dosadíme z0 (zkoumaný bod). Juliovy množiny
jsou přiřazeny tak, že bod Mandelbrotovy množiny je parametrem c
pro Juliovu množinu.
Polynomické fraktály (TEA)
Další TEA
Program ChaosPro 3.3
L - Systémy
• Botanik A. Lindenmayer
– Simulaci vývoje mnohobuněčných organismů
• Hilbertova křivka
– Hilbertovu křivku vytvoříme z neúplného čtverce (má
pouze tři strany). Každou tuto stranu si rozdělíme na
tři části. Prostřední část modifikujeme tak, že na
střední části vykreslíme další čtverec směrem dovnitř
původního neúplného čtverce. U bočních stran na
nejkrajnějších částech opět vykreslíme čtverce
stejným směrem jako u prostřední části. Tato pravidla
aplikujeme na každý nově vzniklý neúplný čtverec.
– Hausdorffova dimenze Hilbertovy křivky je rovna 2.
L - Systémy
1. Iterace Hilbertovy křivky
2. Iterace Hilbertovy křivky
3. Iterace Hilbertovy křivky
Logistické fraktály
• Přírodní logistické sítě – princip „všechno
nebo nic“ – dělení se nevyplácí (složitost v
rozvodných uzlech)
– Strom – jeden kmen (rozvod mízy)
– Savec – jedna aorta (rozvod krve)
• Fraktální struktura - soběpříbuzné
Zákazník (list)
Zdroj (kořen)
Logistické fraktály
On-line studijní materiály
Internet:
http://www.fractals.webz.cz
http://martin.hinner.info/math/Fraktaly/
http://hyperkrychle.cz/fractals.html