Transcript fIIfei_11

FIIFEI-11
Elektromagnetické vlny
Optika - geometrická optika.
http://stein.upce.cz/msfei13.html
http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_11.pptl
Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE
EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)
09. 12. 2013
1
Hlavní body
•
•
•
•
•
•
Úvod do optiky, vlastnosti světla
Vymezení geometrické optiky
Fermatův princip, optický systém
Reflexe a reflexní optika
Refrakce a refrakční optika, disperse
Optické přístroje
09. 12. 2013
2
Maxwellovy rovnice I
• Základní elektromagnetické principy lze
shrnout do čtyřech Maxwellových rovnic,
které existují v několika verzích, a vztahu
pro Lorentzovu sílu.
• V případě časově neproměnných polí se
rozpadají na dvě nezávislé dvojice popisující
elektrické a magnetické pole.
• Časově proměnná pole jsou spolu vázána a
tvoří jedno elektromagnetické pole.
09. 12. 2013
3
Maxwellovy rovnice II
 
Q
 E  ds 
0
 
d m
 E  dl   dt
 
 B  ds  0
 
d e
 B  dl   0 I   0 0 dt
09. 12. 2013
4
Maxwellovy rovnice III
• První rovnice je Gaussova věta, kterou
známe z elektrostatiky, říká, že :
• Existují zdroje elektrického pole – náboje.
• Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické
siločáry v kladných nábojích (nebo nekonečnu)
a končí v nábojích záporných (nebo
nekonečnu).
• Pole bodového náboje klesá jako 1/r2.
09. 12. 2013
5
Maxwellovy rovnice IV
• Druhá rovnice je Faradayův zákon
elektromagnetické indukce, který říká, že :
• Elektrické pole může vznikat také časovou
změnou pole magnetického. V tomto případě
není konzervativní a jeho siločáry jsou
uzavřené křivky.
• Není-li přítomno časově proměnné magnetické
pole, je elektrické pole konzervativní a existuje
v něm skalární potenciál.
09. 12. 2013
6
Maxwellovy rovnice V
• Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu,
která říká, že :
• Neexistují oddělené zdroje magnetického pole
– magnetické monopóly.
• Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky.
• Pole proudového elementu klesá jako 1/r2.
09. 12. 2013
7
Maxwellovy rovnice VI
• Čtvrtá rovnice je zobecněný Ampérův
zákon, který říká, že:
• Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo
časovými změnami elektrického pole.
• Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky.
09. 12. 2013
8
Maxwellovy rovnice VII
• Shrnutí:
• V M. rovnicích a rovnici pro Lorentzovu sílu je
veškerá informace o elektromagnetismu.
• Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých
důsledků, z nichž některé byly předpověděny:
• Existuje jedno elektro-magnetické pole. Pouze ve
speciálním statickém případě není první dvojice rovnic
propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické
pole mohou být uvažována zvlášť.
• Existují elektromagnetické vlny.
09. 12. 2013
9
Rovinné elektromagnetické vlny
• Důležitým typem řešení MR jsou rovinné lineárně
polarizované. Pohybují-li se ve směru +x,
rychlostí c, mohou být pole popsána :
E = Ey =E0sin(kx - t)
B = Ez =B0sin(kx - t)
•
•
•
•
•
•
E a B jsou vefázi

vektory c, E, B tvoří pravotočivý systém
Mohou existovat s různou polarizací
vlnové číslo : k = 2/
úhlová frekvence :  = 2/T = 2f
rychlost vlny : c = f = /k
09. 12. 2013
10
Přenos energie
• Pro EMA vlny šířící se obecným směrem platí
vektorová definice Poyntingova vektoru:

1  
S
( E  B)
 0

• Pochopitelně je S paralelní s c.

• S(t) je energie proudící v určitém okamžiku.
Obvykle nás ale zajímá intenzita záření, což je
časová střední hodnota <S>.
09. 12. 2013
11
Vytváření EMA vln
• Protože měnící se elektrické pole vytváří pole
magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole
vytvořena, existují dál nezávisle a šíří se od svého
zdroje rychlostí světla do prostoru.
• Může to být ilustrováno na jednoduché dipólové
anténě a střídavém generátoru.
• Rovinné vlny existují jen daleko (ve srovnání s
vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle
klesající dipólové pole.
09. 12. 2013
12
Spektrum EMA vln I
• Ukazuje se, že zdánlivě nesrovnatelné jevy,
jako jsou radiové vlny, tepelné záření,
viditelné světlo, ultrafialové záření,
rentgenové záření, paprsky gama a záření
kosmické jsou elektromagnetické vlny s
různou vlnovou délkou a energií.
09. 12. 2013
13
Spektrum EMA vln II
• Velmi rozdílné jevy jsou způsobeny stejnými
EMA vlnami, majícími ‘pouze’ jinou frekvenci:
•
•
•
•
•
•
•
Radiové vlny  > 0.1 m
Mikrovlny 10-1 >  > 10-3 m
Infračervené záření 10-3 >  > 7 10-7 m
Viditelné záření 7 10-7 >  > 4 10-7 m
Ultrafialové záření 4 10-7 >  > 6 10-10 m
Rentgenové záření 10-8 >  > 10-12 m
Gama a kosmické záření 10-10 >  > 10-14 m
09. 12. 2013
14
Rozhlas a TV
• Ve vysílači je vlna určité nosné frekvence napřed
modulována přenášeným signálem. Obvykle to
bývá amplitudově AM nebo frekvenčně FM.
Potom je zesílena a přes anténu vyslána do
prostoru.
• Přijímač musí mít anténu citlivou buď na
elektrickou nebo magnetickou složku vlny.
• Jeho důležitou částí je ladící obvod, v němž se
vybírá správná frekvence přijímaných vln.
09. 12. 2013
15
EMA záření v látkách I
• Řešení MAX může být obecně dosti složité.
• V nevodivých látkách jsou řešením též
elektromagnetické vlny, které se ale šíří menší
1
c
rychlostí než ve vakuu
v


 r r
• Poměr c/v se nazývá index lomu. Téměř u všech
dielektrik (vyjma feromagnetik) je r  1 a platí
Maxwellův zákon
c
n    r r   r
v
09. 12. 2013
16
EMA záření v látkách II
plyn
vodík
vzduch
CO2
elthylén
09. 12. 2013
nexp
1.00013
1.000294
1.000482
1.000692
r
1.00013
1.000293
1.000450
1.000699
17
EMA záření v látkách III
[nm]
650
88
37
8
4
0.00126
0.000589
09. 12. 2013
voda nexp  r  8.94
8.88
8.89
8.10
8.97
9.50
1.32
1.33
18
Shrnutí vlastností EMA vln
• Řešení Maxwellových rovnic bez proudů a nábojů
•
•
•
•
vyhovuje obecným vlnovým rovnicím.
Ve vakuu se EMA vlny šíří rychlostí světla
c = 3.108 m/s. Šíření v látkách je pomalejší a je
určeno hodnotou permitivity
při dané frekvenci.


 
Vektory c( S), E, B tvoří pravotočivý systém
Amplituda magnetické indukce je c-krát menší než
amplituda elektrické intenzity, ale energii nesou obě
pole stejnou!
Pro elektromagnetické vlny platí princip superpozice.
09. 12. 2013
19
Typicky vlnové vlastnosti
• Na EMA vlny lze aplikovat Huygensův
princip (Christian 1629-1695):
• Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým
zdrojem kulových vln.
• Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln.
• Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je
obálkou kulových vln.
• V případě překážek dochází k interferenci a
difrakci.
09. 12. 2013
20
Dualismus vln a částic
• Elektromagnetické vlny projevují řadu
vlnových vlastností, ale s rostoucí frekvencí
a tedy zkracující se vlnovou délkou se u
nich výrazněji projevují vlastnosti částicové
- korpuskulární.
• Ukazuje se, že energie je kvantovaná a
jeden foton nese energii danou Planckovým
zákonem:
hc
E  hf 

09. 12. 2013
21
Optika
Původně se zabývala vlastnostmi a
použitím světla.
Nyní je mnohem obecnější
09. 12. 2013
22
Úvod do optiky I
• Již od nepaměti si lidstvo klade otázku: Co je
světlo?
• První důležité objevy byly uskutečněny ve staré
Číně a v Antice, cca před třemi tisíci lety. Nyní se
naše znalosti dvojnásobí téměř každý rok. Ale
nejhlubší poznání se mění pomalu a původní
otázka zůstává nezodpovězená.
09. 12. 2013
23
Úvod do optiky II
• Dlouhou dobu se věřilo tomu, že světlo je proud jakýchsi
mikroskopických částic. Tzv. korpuskulární teorie, založená
na této představě, byla podporována například Isaacem
Newtonem (1642-1727). Tento genius ‘dovršil’ lidské
poznání v několika oblastech (mechanika, gravitace…).
• Přes obrovskou autoritu, kterou měl i po své smrti, se
objevily experimenty, které jasně ilustrovaly vlnové
vlastnosti světla.
• Zhruba před sto lety se zjistilo, že světlo je přecejen proud
částic, ovšem velmi zvláštních, protože se nemohou zastavit
a chovají se podle vlnového jízdního řádu.
09. 12. 2013
24
Úvod do optiky III
• Existují dvě skupiny experimentů. Jedna podporuje teorii
korpuskulární, druhá částicovou. Každá z nich podporuje
jednu z těchto představ.
• Problém, zda světlo jsou vlny nebo částice se ukázal hlubší,
než se původně zdálo a zůstal nevyřešen. Protože světlo
nejsou ani klasické vlny ani klasické částice.
• Vlnové vlastnosti byly geniálně shrnuty Jamesem Clerkem
Maxwellem (1831-1879).
• Nyní v řadě aplikací postačuje považovat světlo za
elektromagnetické vlny s vlnovou délkou 400 – 700 nm.
09. 12. 2013
25
Úvod do optiky IV
• Přenos energie, podobně jako absorpce a emise se
uskutečňují po jistých minimálních kvantech –
fotonech. Jsou to částice s celočíselným spinem,
tzv. bosony, u nichž není omezení na počet částic
ve stejném stavu – laser.
• Nicméně pohyb světla přes optické elementy jako
čočky, otvory a štěrbiny je řízen vlnovými
vlastnostmi světla.
09. 12. 2013
26
Úvod do optiky V
• Ukazuje se, že dualismus vln a částic je základní
vlastností mikrosvěta a přijmutí myšlenky, že
mikroskopické objekty mohou být částice a
„současně“ vlny, je základem kvantové
mechaniky. Ta je zatím nejlepší teorií mikrosvěta,
která byla do současnosti vybudována. Její
pochopení bohužel vyžaduje značné úsilí,
především proto, že je nutné se vzdát představ z
normálního makrosvěta.
09. 12. 2013
27
Úvod do optiky VI
• Díky dualismu vln a částic se značně rozšířila
oblast zájmu a působení optiky. V současné době
se zabývá nejen viditelným světlem, ale obecně
vlnami a to nejen elektromagnetickými, ale i
částicovými. Významná část optiky se například
zabývá zaostřováním typicky částicových objektů
jako jsou elektrony nebo neutrony.
09. 12. 2013
28
Hranice geometrické optiky I
• Přestože je optika široká a složitá disciplína, pro
mnoho praktických aplikací lze uvažovat první
přiblížení – geometrickou optiku. V ní lze jevy
popisovat čistě geometricky pomocí paprsků, které
dědí určité vlastnosti vln:
• přímočaré šíření
• nezávislost
• reciprocita
• Geometrická optika přestává být dobrou teorií v
okamžiku, kdy začnou hrát významnou roli
částicové nebo vlnové vlastnosti světla.
09. 12. 2013
29
Hranice geometrické optiky II
• Typicky vlnové vlastnosti začínají hrát roli, když
je velikost optických elementů srovnatelná s
vlnovou délkou světla. Tato situace nastává vždy u
radiových vln a mikrovln. V optice viditelného
světla je jeho vlnový charakter limitním faktorem
pro rozlišení optických přístrojů.
• Částicové vlastnosti elektromagnetických vln se
projevují hlavně u vyšších energií. Viditelné světlo
je bohužel právě na hranici.
09. 12. 2013
30
Hranice geometrické optiky III
• Popis geometrickou optikou může být
použit tam, kde lze vlnovou délku záření
považovat za nulovou, rychlost za
nekonečnou a energii za malou vzhledem k
použitým materiálům (lze například
zanedbat fotoelektrický jev) .
• Tyto podmínky obvykle splňuje viditelné
světlo nízkých intenzit.
09. 12. 2013
31
Základy geometrické optiky I
• Prvním důležitým předpokladem je, že se světlo šíří ve
formě paprsků. To jsou obecně křivky, podél nichž se šíří
zářivá energie. V izotropních a homogenních materiálech
jsou paprsky přímkami, které jsou kolmé k vlnoplochám.
• V dané aproximaci mohou být tyto křivky studovány čistě
geometricky.
• Předměty principiálně emitují záření, které pozorujeme.
Příčiny emise mohou být různé. V GO obvykle uvažujeme,
že předměty ‘odrážejí’ dopadající záření.
09. 12. 2013
32
Základy geometrické optiky II
• Je relativně snadné „stopovat paprsky“ (ray
tracing), tedy sledovat jejich průchod optickým
systémem a vlnoplochy a ostatní parametry
zobrazení mohou být rekonstruovány dodatečně.
• Paprsky se řídí zákonem reciprocity: prochází-li
paprsek (jednoduchým) optickým systémem
jedním směrem, může procházet přesně po stejné
dráze i směrem opačným. To je jeden z důsledků
Fermatova principu.
09. 12. 2013
33
Fermatův princip I
• Fermatův princip je vhodný základ pro
vysvětlení jednoduchých, ale i těch
nejsložitějších optických jevů. Říká:
Světlo z bodu S do bodu P musí procházet
po optické dráze, která je stacionární vůči
variacím dráhy.
09. 12. 2013
34
Fermatův princip II
• Vyplývá to z vlnových vlastností záření, kde lze
ukázat, že vlny pohybující se po dráhách blízkých
skutečnému chodu paprsku, s ním musí být téměř
ve fázi.
• Často platí zjednodušená formulace, že skutečná
dráha je ta, po níž putuje paprsek nejkratší dobu.
• V homogenním a izotropním prostředí se jedná o
nejkratší dráhu, což odpovídá přímočarému šíření
světla.
09. 12. 2013
35
Ideální optický systém I
• Optickým systémem se snažíme zaostřit všechny
paprsky vycházející z určitého bodu S v
předmětovém prostoru do jediného bodu P v
prostoru obrazovém.
• Je-li toho dosaženo, říkáme že zobrazení je pro
body v těchto prostorech ostré neboli stigmatické.
• Ideální optický systém by ostře zobrazoval určitou
třírozměrnou podmnožinu předmětového prostoru
do jisté třírozměrné oblasti prostoru obrazového.
Vzhledem k reciprocitě jsou oba prostory
záměnné.
09. 12. 2013
36
Ideální optický systém II
• Vlastnosti reálného optického systému by se měly
ideálnímu co nejvíce přibližovat.
• Navíc by mělo být snadné určit chod paprsků a
díky jednoduché parametrizaci by měla existovat
jednoduchá rovnice popisující vztah předmětu a
obrazu.
• Optické systémy jsou založeny na odrazu (reflexi),
lomu (refrakci) nebo difrakci záření.
09. 12. 2013
37
Odraz světla I
• K nalezení zákona odrazu na rovné ploše
použijme Fermatův princip:
• Bod S bude zdroj radiálně se šířících paprsků a
bod P bodem pozorování. Protože oba body jsou
ve stejném prostředí (homogenním a izotropním),
musí být odražený paprsek nejkratší ze všech
možných. Najdeme jej, pomocí triku, kdy si
promítneme jeden z bodů za zrcadlo a využijeme
shodnosti vzniklých trojúhelníků.
09. 12. 2013
38
Odraz světla II
• Z jednoduché geometrie plyne, že úhel odrazu se
rovná úhlu dopadu. V optice se podle konvence
(obvykle) měří úhly od příslušných normál.
• Zákon platí pro každý element plochy.
• Je-li zrcadlící plocha konečné velikosti hladká, je
reflexe spekulární a z bodu P vidíme ostrý obraz bodu
S. Není-li plocha hladká je reflexe difúzní (papír,
Měsíc). Tu nelze použít k zobrazování, zato však nese
jistou informaci o struktuře povrchu.
09. 12. 2013
39
Reflexní optika I
• Využití reflexe je jednou z možností konstrukce
optických systémů. V tomto případě různé druhy
zrcadel k vytváření obrazu jistého předmětu.
• Obraz může být buď reálný, pokud jím přímo
prochází paprsky nebo zdánlivý (virtuální), pokud
pozorovatel pouze vidí paprsky přicházející od
obrazu.
• Využití reflexe má v současnosti velký význam v
rentgenové a neutronové optice a astronomii.
09. 12. 2013
40
Reflexní optika II
• Optické elementy obvykle umisťujeme vůči
optické osu tak, že je tato osou jeho symetrie.
• Místo, kde elementem optická osa ‘prochází’, se
nazývá optický střed. (Pozor na satelitní antény!)
• Dopadnou-li na ideální zrcadlo paprsky
rovnoběžné s optickou osou, tedy předmět je v
nekonečnu, je obrazem jediný bod ohnisko.
• Je-li zrcadlo duté neboli konkávní, je ohnisko reálné a
paprsky jím skutečně prochází.
• Je-li zrcadlo vypuklé neboli konvexní, je ohnisko
virtuální a paprsky z něj zdánlivě vychází.
09. 12. 2013
41
Reflexní optika III
• Optické vlastnosti ideálního zrcadla lze tedy
popsat jediným parametrem ohniskovou
vzdáleností f, tedy vzdáleností ohniska od
optického středu podél optické osy.
• Ideální zrcadlo by mělo být parabolické,
tedy mít tvar rotačního paraboloidu.
09. 12. 2013
42
Reflexní optika IV
• V současné době je principiálně možné vyrobit
parabolická zrcadla a pro speciální aplikace se to
skutečně dělá. Vyrobit příslušný tvar s potřebnou
přesností, která musí být minimálně srovnatelná s
vlnovou délkou světla, je ovšem velice obtížné a
drahé. Ve většině případů se proto používají snáze
vyrobitelnější a tedy i podstatně levnější zrcadla
sférická (kulová). Ta mají ovšem principiálně –
sférickou vadu a jsou použitelná pouze pro
paraxiální paprsky, což jsou paprsky v těsné
blízkosti optické osy.
09. 12. 2013
43
Reflexní optika V
• Vzdálenosti předmětová, obrazová a
ohnisková: do, di, a f musí vyhovovat
zrcadlové zobrazovací rovnici:
1/do + 1/di = 1/f
• Tu lze jednoduše odvodit z geometrie.
• Stejná rovnice platí i pro konvexní zrcadla,
ale jejich ohnisková vzdálenost je záporná.
09. 12. 2013
44
Reflexní optika VI
• Dalším parametrem zobrazení je příčné zvětšení,
které definujeme:
m = hi/h0 = - di/do
• V současné době se vyvíjí řada optických systémů,
založených na reflexi: hvězdářské dalekohledy,
rentgenová a neutronová optika a optická vlákna,
založená na totálním odrazu na jednoduché nebo
mnohonásobné vrstvě. V daných oblastech je
použití čoček neefektivní nebo dokonce nemožné.
09. 12. 2013
45
Refrakce I
• Další důležitý základní optický jev je lom záření neboli
refrakce. K lomu dochází, prochází-li paprsky rozhraním z
jedné fáze do druhé a tyto fáze se liší optickou hustotou.
Refrakce je vždy doprovázena reflexí.
• Čím je materiál opticky hustší, tím je v něm menší rychlost
šíření světla.
• Optickou hustotu charakterizujeme absolutním indexem
lomu: n = c/v, kde c je rychlost světla ve vakuu a v
rychlost světla v příslušné látce (fázi).
• Vzpomeňte si na Maxwellův zákon :
c
n    r r   r
v
09. 12. 2013
46
Refrakce II
• Pro odvození zákona lomu můžeme opět
použít Fermatova principu.
• Nalezení paprsku, který doputuje nejrychleji
z bodu S do P, je podobný problém, jako
hledání časově nejkratší cesty při
zachraňování tonoucího člověka, vezmemeli v úvahu, že běžíme rychleji než plaveme.
09. 12. 2013
47
Refrakce III
• Použijeme obecnější formulace Fermatova
principu, která říká, že správný paprsek je
stacionární. Jinými slovy to znamená, že doba letu
sousedního velice blízkého paprsku bude přibližně
stejná.
• Ať je bod S v prostředí, kde se paprsek šíří
rychlostí v1 = c/n1 a bod P v prostředí, kde se šíří
rychlostí v2 = c/n2.
09. 12. 2013
48
Refrakce IV
S
E
n1
φ1
C
X
n2
F
EC/v1 = XF/v2
XCsinφ1/v1 = XCsinφ2 /v2
n1 sinφ1 = n2 sinφ2
φ2
P
Refrakce V
• Budiž SCP hledaný paprsek, který putuje nejkratší
dobu a SXP nějaký blízký sousední paprsek. Má-li
být doba jeho letu stejná, musí dobu, kterou ztratil
v jednom prostředí, nahnat v prostředí druhém:
EC/v1 = XF/v2
• Použijeme: EC = XCsin1 and XF = XCsin2 a
dosadíme za rychlosti v1 a v2.. Dostaneme Snellův
zákon:
n1sin1 = n2sin2
09. 12. 2013
50
Refrakce VI
• Zřejmě čím je prostředí opticky hustší a tedy rychlost
šíření v něm nižší, tím je refrakční úhel v něm menší
a paprsek v něm letí po kratší dráze.
• Prochází-li paprsek z opticky hustšího do opticky
řidšího prostředí, láme se od kolmice.
• Pro úhel sin2 = n1/n2 se paprsek láme pod úhlem
90°, pohybuje se podél rozhraní a do druhého
prostředí neproniká. Jedná se o kritický úhel lomu.
09. 12. 2013
51
Refrakce VII
• Když paprsek dopadá z opticky hustšího
prostředí pod větším než kritickým úhlem,
neprojde do druhého prostředí, ale dojde k
totálnímu odrazu do prostředí původního.
• Jevu totálního vnitřního odrazu se využívá
ve vláknové optice.
09. 12. 2013
52
Disperze I
• Průhledné látky mají zajímavou vlastnost:
Rychlost světla v nich a tedy i jejich index lomu
závisí na vlnové délce procházejícího záření.
• Znamená to, že světlo (záření) každé vlnové délky
se láme pod trochu jiným úhlem.
• Geometrická optika tedy neplatí přesně u refrakce
ani v prvním přiblížení. Problém ale obvykle řeší
korekcemi v rámci g.o.
09. 12. 2013
53
Disperze II
• Jev disperze komplikuje vývoj optických systémů.
• Na druhé straně dává možnost rozkládat viditelné
světlo a blízké IČ a UV záření do různých
vlnových délek, což má velký význam například u
spektroskopických metod. Ty lze provádět i u
nesmírně vzdálených objektů a např. z Dopplerova
jevu zjišťovat navíc jejich relativní pohyb.
• I romantická duha je způsobena mimo jiné
disperzí.
09. 12. 2013
54
Refrakční optika I
• Refrakce se využívá ke konstrukci optických
prvků a systémů.
• Máme-li bod S v prostředí n1 a bod P v prostředí
n2 > n1 můžeme použít Fermatův princip, k
nalezení tvaru rozhraní, aby se všechny paprsky,
vycházející z bodu S lámaly do bodu P, čili oba
body byly konjugované nebo optický systém by
byl vůči nim stigmatický.
09. 12. 2013
55
Refrakční optika II
• Porovnáme-li některý paprsek, který se láme s
paprskem na optické ose, která oba body přímo
spojuje, najdeme vztah :
l1n1 + l2n2 = s1n1 + s2n2
• Je také ihned vidět, že čočka z opticky hustšího
materiálu musí být konvexní.
• Vztahu přesně odpovídá plocha čtvrtého řádu,
zvaná karteziánský ovoid.
• Tuto plochu lze v paraxiální oblasti aproximovat
plochou sférickou.
09. 12. 2013
56
Refrakční optika III
• Posuneme-li jeden z bodů S nebo P do
nekonečna, bude výsledná plocha řádu
druhého, buď eliptická nebo hyperbolická.
• Na tomto principu se konstruují čočky optické prvky, které umožňují, aby předmět
i obraz byly ve stejném prostředí.
09. 12. 2013
57
Refrakční optika IV
• Ideální čočky mohou mít například obě plochy
hyperbolické nebo jednu planární.
• Přestože v současnosti je principiálně možné
asférické plochy vyrobit, je podstatně levnější je
aproximovat plochami sférickými.
• Podobně, jako tomu bylo u zrcadel, sférické čočky
mohou být úspěšně použity pouze v paraxiální
oblasti v těsné blízkosti optické osy.
09. 12. 2013
58
Tenká čočka I
• Důležitou aproximací jsou takzvané tenké čočky.
• Mohou být charakterizovány jediným parametrem,
ohniskovou vzdáleností f. Je to vzdálenost
optického středu od ohniska F, což je bod ve
kterém se sbíhají paprsky přicházející rovnoběžně
s optickou osou.
• Vlastnosti tenké čočky jsou z obou stran stejné.
09. 12. 2013
59
Tenká čočka II
• K porozumění funkce optických přístrojů je dobré
vědět, že rovnoběžné paprsky se za čočkou sbíhají
v jednom bodě, i když nepřichází rovnoběžně s
optickou osou. Každému směru přísluší určitý bod
v ohniskové rovině a ohnisko je speciálním
případem.
• Oftalmologové a optici charakterizují čočky
pomocí “síly nebo optické mohutnosti” P = 1/f ,
vyjadřované v dioptriích 1D = 1m-1.
09. 12. 2013
60
Tenká čočka III
• Pro tenké čočky lze odvodit vztah (lensmaker’s
equation), který dává do souvislosti poloměry
křivosti ploch, index lomu a ohniskovou
vzdálenost čočky :
D=1/f = (n-1)(1/R1 + 1/R2)
• Musí se dodržet znaménková konvence.
• Je patrné, že v této aproximaci, je ohnisková
vzdálenost na obou stranách čočky stejná, i při
různých poloměrech křivosti.
09. 12. 2013
61
Tenká čočka IV
• Podobně jako u zrcadel, čočky mohou být
spojné a rozptylky a zobrazení může být
skutečné nebo zdánlivé.
• K nalezení obrazu k danému předmětu
požíváme dvou ze tří speciálních paprsků.
Dvakrát můžeme využít vlastnosti ohniska a
navíc skutečnosti, že paprsky procházející
optickým středem se nelámou.
09. 12. 2013
62
Tenká čočka V
• Lze odvodit zobrazovací rovnici čočky, která dává
do souvislosti předmětovou, obrazovou a
ohniskovou vzdálenost určitého zobrazení :
1/do + 1/di = 1/f
• a definovat příčné zvětšení jako poměr výšky
obrazu ku výšce předmětu, přičemž se musí
respektovat znaménková konvence :
m = hi/ho = - di/do
09. 12. 2013
63
Kombinace čoček
• Postupujeme od čočky nejbližší předmětu :
• Zobrazíme předmět pouze nejbližší čočkou.
• Obraz vytvořený první čočkou považujeme
za předmět pro druhou čočku.
• Provedeme zobrazení pouze druhou čočkou a
obdobně postupujeme s čočkami dalšími.
• Optické přístroje obvykle obsahují několik
čoček např. kvůli kompenzaci barevné vady.
09. 12. 2013
64
Lidské oko I
• Na lomu se nejvíce podílí (rohovka cornea
n = 1.376), čočka obstarává jen jemné doostření.
• Kvalita zaostření a hloubka ostrosti závisí na
zorničce, obě jsou lepší při menší apertůře (při
větším osvětlení), protože propustí jen paraxiální
paprsky. Podobného efektu lze částečně docílit
zacloněním předmětu nějakou hranou.
• Blízký bod normálního oka je 25 cm, daleký bod
je nekonečno.
09. 12. 2013
65
Lidské oko II
• Důvodem krátkozrakosti (myopie) je obvykle dlouhé oko.
Daleký bod není v nekonečnu a pacienti vidí špatně na
dálku, ale dobře na blízko. Při čtení si kladou předmět
blíže než do konvenční vzdálenosti. Krátkozrakost lze
korigovat rozptylkou.
• Důvodem dalekozrakosti (hypermetropie, hyperopie,
presbyopie) je krátké oko nebo ztráta pružnosti čočky,
která se vyvíjí také s věkem. Pacienti nedokáží zaostřit oko
na blízké předměty a při čtení si kladou předmět dále než
do konvenční vzdálenosti. Dalekozrakost lze korigovat
čočkou spojnou.
09. 12. 2013
66
Lidské oko III
• Relaxované oko je zaostřeno na nekonečno. Proto
okuláry některých přístrojů vytvářejí paralelní
paprsky.
• Jiné optické přístroje vytvářejí virtuální obraz v
konvenční optické vzdálenosti 25 cm. Příkladem
jsou především brýle a mikroskopy. Do nich nebo
jejich okuláru je nutné se dívat z přesné vzdálenosti.
Existují na to opěrky očí. Bez opěrek je správné
použití stereo-mikroskopu velice obtížné.
09. 12. 2013
67
Lupa
• Lupa se užívá :
• buď je předmět v ohniskové rovině a pozorujeme jej
relaxovaným okem.
• nebo je oko těsně u čočky (alias Sherlock Holmes) a
virtuální obraz se vytváří přibližně v konvenční optické
vzdálenosti.
• Zvětšení souvisí se zvětšením zorného úhlu.
Objekty nám totiž připadají tak velké, pod jakým
úhlem se nám jeví na sítnici.
09. 12. 2013
68
Dalekohled I
• Jednoduchý Keplerův hvězdářský dalekohled má
dvě čočky, které mají společnou ohniskovou
rovinu. Tedy obrazová ohnisková rovina objektivu
(téměř) splývá s předmětovou rovinou okuláru,
který má kratší ohniskovou vzdálenost.
• Úhlové zvětšení je dáno poměrem ohniskových
vzdáleností fobj/foku.
• Existují dalekohledy s přímým obrazem Galileův,
který má společnou zadní ohniskovou rovinu.
nebo s více čočkami.
09. 12. 2013
69
Dalekohled II
• Velice důležité jsou zrcadlové dalkohledy,
například Newtonův, Cassegrainův a
mnoho jiných :
• velká zrcadla se snadněji vyrábí a podpírají
• zrcadla nemají barevnou vadu
09. 12. 2013
70
Mikroskop
• Princip mikroskopu může být opět ukázán na
jednoduchém typu se dvěma čočkami :
• Objektiv, který má nyní velmi krátkou ohniskovou
vzdálenost, vytváří skutečný obraz. Ten je
pozorován okulárem, tak že výsledný obraz se jeví
jako zdánlivý v konvenční optické vzdálenosti.
• Dobré mikroskopy, podobně jako jiné kvalitní
optické přístroje, bývají značně komplikované,
protože je nutné kompenzovat optické vady čoček.
09. 12. 2013
71
Fresnelova čočka
• Na konci 18. století vznikla potřeba vyrábět velké
spojné čočky pro námořní majáky. Augustin Jean
Fresnel (1788-1827) přišel s myšlenkou, že
důležité je zakřivení povrchu čočky a vyvinul
plochou čočku se zónami příslušné křivosti.
• Fresnelovy čočky nejsou vhodné pro kvalitní
zobrazování. Zato však znamenají značnou úsporu
materiálu, mají nižší absorpci a snadněji se
mechanicky upevňují – světlomety, semafory…
09. 12. 2013
72
Jevy za hranicí geometrické
optiky
• Při návrhu optických systémů vyšší kvality je
•
•
•
•
•
•
žádoucí až nutné brát v úvahu další jevy, zejména :
disperzi - rychlost šíření závisí na frekvenci
současný odraz a lom
absorpci - světlo se v látkách pohlcuje
polarizaci
interferenci / difrakci / rozptyl - vlnové vlastnosti
nelineární jevy - při vyšších intenzitách / energiích
09. 12. 2013
73
Polarizace odrazem
S
E
n1
φ1
C
X
n2
F
φ2
09. 12. 2013
P
74
Zobrazovací rovnice I
ho
do  f
ho
do




hi
f
hi
di
do  f
1
1
1
1




do f
di
f
do
di
^ ^
Zobrazovací rovnice II
hi
di  f
hi
di




ho
f
ho
do
di  f
1

di f
do
• .
^
Lom na kulovém rozhraní I
d1
d2
Lom na kulovém rozhraní II
Budeme studovat lom na kulovém rozhraní dvou oblastí v
paraxiální oblasti.
Paprsek vychází s bodu O v prostředí n1, láme se v bodě P na
kulové ploše s poloměrem křivosti R se středem v bodě C do
bodu I v prostředí n2.
Z trojúhelníků PIC:  =  + 2; OPC: 1 =  + 
V paraxiální oblasti platí :
Snellův zákon : n11 = n22
S použitím výšky h bodu P od optické osy:
 = h/d1;  = h/R;  = h/d2
Po jednoduché úpravě vymizí úhlové závislosti :
n1  n2  ( n2  n1 )  
n1
n2
n2  n1


d1
d2
R
^
Lensmaker’s equation I
Q
R2
R1
Lensmaker’s equation II
Studujeme lom paprsku přicházejícího z vakua na dvou
kulových rozhraních ohraničujících oblast n v paraxiální
oblasti.
Paprsek přichází paralelně s optickou osou. Láme se v bodě
A1, ležícím v přední kulové ploše se středem C1 a poloměrem
R1, do oblasti n a v bodě A2, ležícím v zadní kulové ploše se
středem C2 a poloměrem R2, se znovu láme do ohniska F.
Zavedeme odklon při prvním lomu:  = 1 - 2
Z trojúhelníků C2A2F: 4 =  +  ; A1A2Q: 3 =  + 
V paraxiální oblasti platí :
Snellův zákon : 1 = n2 ; 4 = n3
S použitím výšek h1a h2 bodů A1 a A2 :
1 = h1/R1;  = h2/R2;  = h2/f
V poslední rovnici uvažujeme velmi tenkou čočku.
Lensmaker’s equation III
Můžeme tedy postupně psát :
  3   
4
n
 1   2 

n


n
 1 
1
n
Vyjádříme-li úhly pomocí výšek :
h2
h2
h2
h1
h1




R2
nR2 nf
R1 nR1
Uvážíme-li že pro velmi tenkou čočku přibližně platí : h1=h2,
dostaneme po drobných úpravách nakonec :
1
1
1
 ( n  1)(

)
f
R1 R2
Lensmaker’s equation IV
Jaká je ohnisková vzdálenost čočky podle obrázku, vyrobené
ze skla n = 1.50 ?
Je nutné si uvědomit, že nyní je R2 záporné. Po dosazení :
1
1
1
 (0.5)(

)  1.15  f  0.87
f
0.224 0.462
^
Brýle (pro krátkozrakého) I
Jaké brýle předepíšeme krátkozrakému člověku, který čte
ostře ve vzdálenosti 20 cm ?
Brýle musí vytvořit z předmětu, umístěného do konvenční
vzdálenosti a = 25 cm, přímý, zdánlivý obraz ve vzdálenosti
20 cm, kde ho pacient vidí ostře. Tedy a b =  20 cm :
1
1
1


 1 D
f
0.25
0.2
^
Brýle (pro dalekozrakého) II
Jaké brýle předepíšeme dalekozrakému člověku, který čte
ostře ve vzdálenosti 50 cm?
Brýle musí vytvořit z předmětu, umístěného do konvenční
vzdálenosti a = 25 cm, přímý, zdánlivý obraz ve vzdálenosti
20 cm, kde ho pacient vidí ostře. Tedy a b =  50 cm :
1
1
1


 2 D
f
0.25
0.5
^