Transcript fIIp_08
Pokročilá fyzika C803 fIIp_08 Optika III Co je za geometrickou optikou. http://webak.upce.cz/~stein/msfIIp14.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 7. 1. 2015 1 Hlavní body • • • • • • • • Polarizace světla Reflexe a refrakce – Fresnelovy vzorce Absorpce Optika tenkých vrstev Dopplerův jev Fourierovská analýza Interference a difrakce Vznik a použití rentgenového záření • Rentgenová spektroskopie • Rentgenová difrakce 7. 1. 2015 2 Polarizace světla I • Vektor elektrické intenzity může zaujímat libovolnou polohu v rovinách kolmých ke směru šíření vlny. Magnetická indukce leží ve stejných rovinách a je na elektrickou intenzitu v každém okamžiku kolmá. • Existuje ovšem řada jevů, které vedou ke speciálnímu chování vektoru elektrické intenzity. • Může mít například neustále stejný směr – říkáme, že vlna je lineárně polarizovaná. 7. 1. 2015 3 Polarizace světla II • Nejobecnější polarizace je eliptická a lze ji chápat vektor elektrické intenzity jako složený ze dvou kruhově polarizovaných na sebe kolmých polí. • Aby prostředí stáčelo rovinu polarizovaného světla, musí být jedna rotace alespoň částečně potlačena. • Polarizátory nebo polarizační filtry mohou být založeny na čtyřech principech: dichroismu, reflexi, dvojlomu a rozptylu. 7. 1. 2015 4 Polarizace světla III • Dichroismus je nesymetrická absorpce složek • • • • světla. Při reflexi se obecně odráží každá složka jinak. Dvojlom je založen na skutečnosti, že každá složka může mít v některých materiálech různou rychlost šíření, čili různý index lomu. U rozptýleného záření záleží na tom, odkud ho sledujeme. Nesymetrie v látkách vede ke stáčení polarizace. 7. 1. 2015 5 Současný odraz a lom • Dosud jsme studovali odraz a lom odděleně. Ukazuje se však, že k oběma jevům dochází současně. Prochází-li tedy záření rozhraním dvou prostředí s různou optickou hustotou, určitá část se vždy odrazí a určitá část může projít a láme se. • Konkrétní poměr odražené a propuštěné intenzity závisí na indexech lomu a úhlech dopadu. Vyjadřují jej Fresnelovy vzorce. 7. 1. 2015 6 Fresnelovy vzorce I • Předpokládejme, že světlo přichází z prostředí s indexem lomu ni pod úhlem i, část se odrazí pod úhlem r = i a část projde do prostředí s indexem lomu nt pod úhlem t: ni cos i nt cos t r ni cos i nt cos t nt cos i ni cos t r ni cos t nt cos i t t 7. 1. 2015 2ni cos i ni cos i nt cos t 2ni cos i ni cos t nt cos i 7 Fresnelovy vzorce II • Příklad : předpokládejme, že světlo přichází kolmo z vakua do prostředí s indexem lomu n , potom je reflektivita v obou polarizacích stejná a závisí jen na indexu lomu : r2 r2 (n 1) 2 (n 1) 2 • Reflektivita některých materiálů : voda sklo diamant 7. 1. 2015 n = 1.33 n = 1.5 n = 2.417 r2 = 0.02 r2 = 0.04 r2 = 0.17 8 Optika tenkých vrstev I • Dopadá-li záření na několik rovnoběžných vrstev, dochází k odrazu a lomu na každém rozhraní. Záření, které se celkově odrazí a celkově projde, závisí na tloušťce a materiálu jednotlivých vrstev a také dalších fyzikálních podmínkách. • V první řadě to má význam pro studium struktury povrchů materiálů. Tím se zabývá elipsometrie. Její dosah je od výzkumu polovodičů po biologii. 7. 1. 2015 9 Optika tenkých vrstev II • Velice významná oblast optiky tenkých vrstev je založena na magneto-optických jevech. Na nich je založena například technologie úschovy dat CDROM, DVD. Zde se řeší kompromis mezi hustotou záznamu a rychlostí přístupu. • Další důležitou oblastí je vývoj optických elementů požadovaných vlastností například pro neutrony nebo RTG záření, kde z principiálních důvodů nemohou existovat čočky. 7. 1. 2015 10 Absorpce záření I • Při průchodu reálnými látkami je záření vždy částečně absorbováno. Tedy elektromagnetická energie se částečně mění na jinou formu. • Experiment ukazuje, že prochází-li záření vrstvou tloušťky x, lze pro zeslabenou intenzitu napsat I(x) = Iof(x) • Uvažujeme-li dvě takové vrstvy, bude výsledná intenzita z jedné strany I(2.x) = Iof(2.x) a z druhé I(2.x) = I(x)f(x) = Iof 2(x) • Vlastnost f (2x) = f 2(x) má zjevně funkce exponenciální. 7. 1. 2015 11 Absorpce záření II • Alternativní odvození: Změna intenzity po průchodu látkou o tloušťce dx je úměrná této tloušťce a původní intenzitě: I ( x dx) I ( x) dI ( x) I ( x) dx • Zákon absorpce, zvaný obvykle Lambert-Beerův zákon, získáme vyřešením jednoduché diferenciální rovnice, se kterým jsme se již několikrát setkali : dI dx I 7. 1. 2015 12 Absorpce záření III • Prochází-li záření vrstvou tloušťky x lze tedy pro zeslabenou intenzitu napsat I ( x) I 0 e x • Parametr se nazývá lineární absorpční koeficient. Závisí samozřejmě na látce, na fyzikálních podmínkách, např. teplotě a tlaku , ale také na vlastnostech procházejícího záření. To dokonce do takové míry, že určitou dobu nebylo například jasné, že RTG paprsky jsou druhem EMA záření. 7. 1. 2015 13 Fourierova analýza I • Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnou periodickou vlnu. • Na tomto principu je založena Fourierova analýza. u ( x, t ) an cos( nt kx) n 7. 1. 2015 14 Fourierova analýza II • Ukážeme si například složení pilového a obdélníkového kmitu jako součtu (sawx.m) : u (t ) 1n sin( nt ) n n u (t ) (1) 1 2 n 1 sin[( 2n 1)t ] n • Čočka vytváří difrakční obraz (přímou Fourierovu transformaci) v ohniskové rovině a zpětně jej transformuje do reálného prostoru. (profft.exe) 7. 1. 2015 15 Dopplerův jev I • Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence. • Popišme pohyb : • • • • zdroje vlnění rychlostí v příjemce vlnění rychlostí u prostředí šíření rychlostí w rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než rychlost světla ve vakuu • všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné • zdroj vysílá vlny nebo pulsy s periodou T0 7. 1. 2015 16 Dopplerův jev II • Předpokládejme stojící zdroj v počátku a stojící prostředí (v = w = 0). Vlny v prostředí tedy mají vlnovou délku 0=T0c. Pozorovatel (napravo od počátku) se vzdaluje od zdroje rychlostí u > 0. • Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času. c • kdyby byl pozorovatel v klidu : f 0 0 7. 1. 2015 17 Dopplerův jev III • Když se pozorovatel pohybuje, vlny kolem něj neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí c - u. S použitím předchozího platí : fu c u c u c u fu f0 0 c f0 c • Pro vzdalujícího se pozorovatele (u > 0) je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se (u < 0) by frekvence byla vyšší. 7. 1. 2015 18 Dopplerův jev IV • Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli. • Během jedné periody T0 vyšle zdroj jednu vlnu. • V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od bodu, odkud vysílal začátek o T0v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T0c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T0(c-v). Proto : fv T0 c c T0 (c v) f v T0 (c v) f 0 T0 (c v) • Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se v>0 by byla frekvence opět vyšší. 7. 1. 2015 19 Dopplerův jev V • Pohybuje-li se jen prostředí, a to rovnoměrně, přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění : w T0 (c w) f w cw w f0 • Pohybuje-li se ale prostředí a pozorovatel, pohyb prostředí se projeví navíc : fw 7. 1. 2015 c wu w fw c w u c wu f0 cw f0 cw 20 Dopplerův jev VI • Podobně, pohybuje-li se prostředí a zdroj : f v 0 cw vw T0 (c w v) f 0 v c w v • Poslední dva vztahy jsou obdobné, jako jejich verze odpovídající nehybnému prostředí, akorát je jiná rychlost šíření. Můžeme tedy snadno napsat souhrnný vztah pro všechny možné vzájemné pohyby : f c wu uvw f0 c wv 7. 1. 2015 21 Dopplerův jev VII • Předchozí situace a úvahy lze přehledně shrnout: • Délka vlny v prostoru : x T0 (c w v) • Relativní rychlost vln, vnímaná pozorovatelem : cx c w u • Tedy pozorovatel vnímá frekvenci : fx c w u c wu fx x T0 (c w v) f0 c w v cx 7. 1. 2015 22 Dopplerův jev VIII • Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v. • Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdíl u - v. • Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně. • Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná. Souvisí s tím, že v případě pohybu jen pozorovatele nejsou vlny v prostoru deformovány. 7. 1. 2015 23 Dopplerův jev IX • Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom : f uv c u c v (v u ) v u v u 1 1 f0 cv cv cv c • tento vztah již symetrický je. • v – u je vzájemná rychlost, kladná při přibližování • platí i pro elektromagnetické vlny (světlo) 7. 1. 2015 24 Interference na tenké vrstvě I • Princip je stejný jako pro každou interferenci obecně: • Interferují spolu vlny odražené na horním a spodním povrchu. Je-li rozdíl vzdáleností těchto povrchů roven: • celistvému násobku vlnové délky – konstruktivně • lichému násobku poloviny vlnové délky destruktivně 7. 1. 2015 25 Interference na tenké vrstvě II Musíme uvažovat dva nové jevy: • Vlnová délka v materiálu vrstvy je jiná než ve vakuu. • Za určitých okolností se fáze vln při reflexi mění skokem. 7. 1. 2015 26 Interference na tenké vrstvě III • Experiment ukazuje, že vlna, procházející různými prostředími, má ve všech stejnou frekvenci. V těch, kde je menší rychlost šíření, musí být menší i vlnová délka: c f n n n v n n c v • Používáme-li bílé světlo, platí při určitém úhlu podmínka pro konstruktivní interferenci vždy pro určitou barvu – barevná interference. 7. 1. 2015 27 Interference na tenké vrstvě IV • Experiment ukazuje důležité vlastnosti reflexe: • Odráží-li se paprsek na rozhraní s opticky hustším prostředím mění se jeho fáze o . • Na rozhraní s prostředím opticky řidším se jeho fáze nemění. 7. 1. 2015 28 Interference na tenké vrstvě V • Důležitou aplikací interference na tenké vrstvě je pokrývání optických elementů antireflexní vrstvou. • při destruktivní interferenci, projde povrchem elementu více světla, místo ~ 96% cca 99%. • vrstva funguje správně jen pro určitou vlnovou délku obvykle 550 nm. • Existuje významné odvětví, které se zabývá vývojem optických elementů, založených na reflexi na vrstvách. 7. 1. 2015 29 Interference na tenké vrstvě VI • Jakou tloušťku t má mít antireflexní vrstva MgF2 s indexem lomu nv = 1.38 na skle ns = 1.5, aby pro zelený paprsek s vlnovou délkou 0 = 550 nm došlo při odrazu k destruktivní interferenci? • Oba odrazy jsou na rozhraních do opticky hustšího prostředí a otáčí se při nich fáze stejně, čili toto otočení nemusíme uvažovat. Potom se délka průchodu vrstvou (tam a zpět) musí rovnat lichému násobku poloviny vlnové délky, tedy: 2t = (2m+1) v/2 pro m = 0 t = v/4 = 0/4nv = 99.6 nm 7. 1. 2015 30 Difrakce I • Vlnová teorie předpovídá, že vlny se ohýbají kolem hran překážek a interferují ve stínu za nimi. • Teprve po pozorování difrakce byla plně uznána vlnová povaha světla. • Hlavní myšlenky jsou opět založeny na Huygensově principu. 7. 1. 2015 31 Difrakce II • Uvažujme difrakční obraz způsobený jednou úzkou a (velmi dlouhou) štěrbinou s šířkou a. • Každý bod štěrbiny je zdrojem rovinných vln, které se skládají na vzdáleném stínítku za ní. • Nalezněme podmínky pro konstruktivní a destruktivní interferenci: 7. 1. 2015 32 Difrakce III • Podmínka pro první minimum je: sin = /a • Vlna vycházející z bodu v polovině štěrbiny bude posunuta o /2 proti vlně vycházející od spodního okraje. Tyto vlny jsou v protifázi a tedy se vyruší. • Podobně pro každý bod v horní polovině štěrbiny existuje v polovině dolní, takový bod že vlny, vycházející z obou bodů se navzájem vyruší. 7. 1. 2015 33 Difrakce IV • Podmínka pro první maximum je: sin = 3/2 /a • Vlny vycházející ze dvou sousedních třetin se sice vzájemně vyruší, ale zůstává nevyrušené záření z třetiny další. Proto má intenzita maximum. • Podmínky pro maxima a minima vyšších řádů by se získaly obdobně. 7. 1. 2015 34 Difrakce V • Pozor podmínky jsou opačné proti podmínkám na dvojštěrbině. • K výpočtům intenzit je možné opět využít fázorů. • Štěrbinu můžeme rozdělit na velmi tenké proužky šířky y a najít fázový posun vln vycházejících ze sousedních proužků: = 2/ ysin . 7. 1. 2015 35 Difrakce VI • Výsledná intenzita bude druhou mocninou fázoru, který vznikne složením malých fázorů. • V případě minim zkompletují fázory celý kruh, takže součet je nula. Jinými slovy: ke každému fázoru existuje opačný fázor, který se s ním vyruší. • V případě maxim je součet fázorů maximální. 7. 1. 2015 36 Difrakční mřížka I • Jedná se v principu o mnoho paralelních štěrbin (vrypů). V současné době lze vyrobit mřížky s velkou hustotou štěrbin, řádově 104 na centimetr, které fungují na odraz i na průchod. • Podmínka pro hlavní maxima je stejná jako u dvojstěrbiny : • sin = m/d kde d je vzdálenost sousedních vrypů 7. 1. 2015 37 Difrakční mřížka II • Maxima na difrakčním obrazu vytvořeném mřížkou jsou mnohem ostřejší a užší oproti maximům vytvořeným dvojštěrbinou, i když leží na stejných místech. • Pro vysoká maxima je nutné, aby byly přesně ve fázi i vlny ze vzdálených štěrbin. I malý rozdíl způsobí destruktivní interferenci. 7. 1. 2015 38 Difrakční mřížka III • Difrakční mřížky se mohou použít k spektrálnímu rozložení světla (záření). Mřížkové spektrometry jsou lepší než hranolové, protože mají lepší rozlišení a lineární odezvu. • To má významný vliv pro spektroskopii. 7. 1. 2015 39 RTG Difrakce I • RTG paprsky jsou EMA záření s vlnovou délkou řádově 10-10 m. • Index lomu pro tyto vlnové délky je prakticky 1. • Vyrobit difrakční mřížku s dostatečně blízkými vrypy nelze. Jako difrakční mřížka však mohou sloužit krystalové roviny, na kterých leží atomy nebo molekuly. • Podmínku pro maxima vyjadřuje Braggova rovnice 2dsin = m 7. 1. 2015 40 RTG Difrakce II • Poloha maxim tedy nese informaci o krystalové struktuře zkoumané látky. • Další informace, která se interpretuje složitější dynamickou teorií, je v intenzitách. • Metody, založené na difrakci RTG záření, jsou důležité pro určování struktury látek. Existují rozdílné techniky pro monokrystaly, prášky i roztoky. 7. 1. 2015 41 Rozptyl I • Každý atom interaguje se elektromagnetickým zářením (světlem): Zhruba si lze představit, že se každý jeho elektron rozkmitá a stává se bodovým zdrojem záření. To poté interferuje podle rozložení elektronové hustoty. Je to obdoba Huygensova principu ve vakuu, které je ovšem homogenní. • Protože atomy mohou být různé a různě seskupeny, bude existovat jistá superpozice vln i u méně uspořádaných struktur. Bude ale pozorovatelná jen v v malých úhlech v blízkosti primárního paprsku. 7. 1. 2015 42 Rozptyl II • Rozptyl nese důležité strukturní informace • Intenzita rozptylu v atmosféře se chová jako 1/4: • Nebe je modré, protože modrá se rozptyluje nejvíce. • Zapadající slunce je červené protože modrá část spektra se rozptýlí a červená projde. Ze stejného důvodu je pro koncová světla automobilů zvolena červená barva. 7. 1. 2015 43 Vlnová omezení geometrické optiky I • Obraz vytvořený například čočkou je ve skutečnosti superpozicí difrakčních obrazů. Projeví se to například tím, že skutečný obrazem malého bodu není bod, ale difrakční kroužky. • Vlnové vlastnosti světla se projevují při velkém zvětšení nebo malých rozměrech optického systému. 7. 1. 2015 44 Vlnová omezení geometrické optiky II • Rozlišení optického systému je zhruba (úhlová) vzdálenost dvou bodů, které jsme ještě schopni rozlišit. • Uvažujeme-li vlastnosti difrakčních obrazců musí maximum, vytvořené prvním bodem padnout do minima, vytvořeného bodem druhým. 7. 1. 2015 45 Fresnelovy vzorce I • Interakci elektromagnetického záření s hmotou si můžeme zjednodušeně představit tak, že elektrické pole příchozího záření rozkmitává elektrony v látce. • Směr jejich kmitání odpovídá směru elektrické intenzity procházejícího záření a amplituda kmitů je úměrná velikosti této intenzity. • Kmitající elektrony jsou potom zdrojem nového elektromagnetického záření. Jeho elektrická intenzita závisí na průmětu amplitudy kmitajících elektronů do kolmice ke směru odkud záření pozorujeme, nebo-li průmětu směru šíření do směru pozorování. Fresnelovy vzorce II • Princip odvození ukážeme na jednoduchém případě, kdy paprsek s jednotkovou amplitudou dopadá z vakua na rovinné rozhraní jisté transparentní látky pod určitým úhlem i vzhledem k normále vytyčené v bodě dopadu. Jeho část se odrazí pod úhlem r = i a část projde do druhého prostředí a láme se pod úhlem t. • Všechny tři paprsky leží v rovině dopadu RD (PI). • Uvažujme nyní zvlášť paprsek polarizovaný kolmo k rovině dopadu KORD ( zvaný též , s, senkrecht, sagittal nebo TE) a paprsek polarizovaný v rovině dopadu PARD (zvaný též , p nebo TM). Složením těchto paprsků můžeme dostat paprsek s libovolnou polarizací. Fresnelovy vzorce III • Pro polarizaci KORD budiž a amplituda prošlého záření a b je amplituda záření odraženého. • Pro polarizaci PARD bude A amplituda prošlého a B amplituda odraženého záření. • Uvažujme nejprve odražený paprsek. Jeho elektrické pole v každé polarizaci je úměrné amplitudě kmitů prošlého záření. Podstatným rozdílem mezi oběma polarizacemi je, že z každého směru je vidět celý kmit KORD tedy b ~ a , ale u PARD závisí na směru pozorování a do směru odraženého paprsku B ~ A cos(i+t) Fresnelovy vzorce IV • Úměru můžeme napsat v KORD jako b = a a v PARD jako B = A cos(i+t), přičemž konstanta je stejná. Potom: B A cos(i t ) b Γa B A cos(i t ) b a • . [1] Fresnelovy vzorce V • Paprsek v látce v původním směru nepokračuje, čili má nulovou amplitudu. Kmity elektronů tedy vyruší původní paprsek a amplituda viděná z tohoto směru tedy musí být pro obě polarizace rovna -1. Podobně jako v předchozím případě tedy v KORD -1 = a a v PARD -1 = Acos(i-t) a konstanta je stejná. Potom: • A cos(i t ) A cos(i t ) 1 1 a a 1 a A cos(i t ) [3] • . [2] Fresnelovy vzorce VI • A s použitím [1] : B A cos(i t ) A cos(i t ) cos(i t ) •b a A cos(i t ) cos(i t ) [4] • Tato rovnice ilustruje zajímavou metodu na polarizování světla. Když totiž úhly splňují tzv. Brewsterovu podmínku (i + t) = 90°, je B = 0 (v PARD) a tedy veškeré odražené světlo polarizováno jen v rovině KORD. • • . Fresnelovy vzorce VII • Ze zákona zachování energie pro obě polarizace platí 1 B A • 2 2 1 b a 2 2 cos (i t ) 1 b 2 1 cos (i t ) 2 2 cos (i t ) 1 b 2 • . [5] 2 [6] Fresnelovy vzorce VIII • Rovnici lze vyřešit pro b2 a pomocí [4] i pro B2 : b 2 B 2 1 cos 2 (i t ) sin 2 (i t ) 2 1 cos (i t ) sin 2 (i t ) [7 ] tan (i t ) 2 tan (i t ) [8] 2 • . ^ Fresnelovy vzorce IX • Podrobnější analýza poskytne správné znaménko u amplitud transmise a reflexe. Přejděme též na běžné značení : sin( i t ) r b sin( i t ) • . tan( i t ) r B tan( i t ) 2 sin t cos i t a sin( i t ) 2 sin t cos i t A sin( i t ) cos(i t ) ^ Fresnelovy vzorce X • V obecném případě, kdy světlo přichází z prostředí s indexem lomu ni do prostředí s indexem lomu nt aplikujeme Snellův zákon a po (složitých) úpravách : ni cos i nt cos t r ni cos i nt cos t nt cos i ni cos t r ni cos t nt cos i • . t 2ni cos i ni cos i nt cos t t 2ni cos i ni cos t nt cos i ^ Polarizace světla – stáčení polarizační roviny Nahodile se měnící směr E Polarizované světlo Nepolarizované světlo Detektor Vzorek Polarizátor Analyzátor ^ Polarizační fólie Selektivní absorpce ^ Polarizace odrazem ni i π/2 nt Brewsterův úhel tan(i) = nt/ ni t ^ Činnost displeje – situace bez vloženého napětí polarizátor elektrody orientované molekuly ............................................... kapalný krystal analyzátor (bez elektrického pole) ^ Vytvoření hologramu Dělič paprsku Laser Zrcadlo Záznamové medium Referenční paprsek Čočka Zrcadlo 7. 1. 2015 60 Difrakce rentgenového záření na krystalu θ Δ/2 d Δ = 2d.sin θ = n.λ 7. 1. 2015 n = 1, 2, .. Braggova rovnice (1) 61 Svazek paprsků dopadající na krystal (I) Vystupující paprsky po difrakci na krystalu (II) (II) (1) (II) (1) (1) (2) (2) 7. 1. 2015 (2)62