Теория пластин
Download
Report
Transcript Теория пластин
Теория пластин
Основные понятия и гипотезы теории изгиба
анизотропных пластин.
Перемещения и деформации тонкой пластины
Основные понятия и гипотезы теории
изгиба анизотропных пластин
Пластина- призматическое или цилиндрическое тело, толщина которого h
мала по сравнению с другими габаритными размерами.
Для исследования напряженно-деформированного состояния пластин
введем систему координат x,y,z так, чтобы ось z была перпендикулярна
пластине (Рис.1).
Рис.1 Пластина
Основные понятия и гипотезы теории изгиба
анизотропных пластин
Таблица 1 Классификация пластин
Пластина
h/b
Наибольший прогиб
Тонкая
Толстая
Гибкая
1/5 ... 1/80
Менее h /А
Менее hIA
Более hIA
1/3 ... 1/5
Классификация теорий расчета
Техническая теория
Теория толстых пластин
Теория гибких пластин
или мембран
Классификация, предложенная Б.Г.Галеркиным, представлена в Таблице
1.
Любая плоскость, перпендикулярная оси z, является координатной
плоскостью.
Пересечение боковой поверхности пластины с координатной
плоскостью называется контуром.
Координатная плоскость, сохраняющая свои размеры при
деформировании пластин, называется срединной плоскостью.
Перемещение точек пластины в направлении z называется прогибом.
Основные понятия и гипотезы теории
изгиба анизотропных пластин
Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент,
нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и
нормальным к срединной поверхности после деформирования пластины
(γyz=0, γxz=0) и длина его не изменится (εz=0).
Гипотеза недеформируемости срединной плоскости: , где u, ν –
перемещения точек плоскости пластины, zc – координата срединной
плоскости.
Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины,
параллельными срединной плоскости, позволяет пренебречь
напряжениями σz по сравнению с напряжениями σх и σy
Перемещения и деформации тонкой
пластины
Исследуем геометрическую сторону задачи об изгибе пластины. Следуя 1-й
гипотезе, рассмотрим соотношения Коши:
z
dw
0
dz
(1)
следовательно, прогиб w w( x, y)не зависит от координаты z,
w
w
0
yz z y
z
y
u w 0
u w
xz z x
z
x
w
z
f 1 x, y
y
u z w f x, y
2
x
(2)
Перемещения и деформации тонкой пластины
Для определения f1 и f2 воспользуемся 2-й гипотезой
w
0
z
f 1 x, y
c
y
0 z w f x, y
c
2
x
или
0 f1 x, y
0 f 2 x, y
(3)
(4)
Если выбрать систему координат x,y,z из условия zc=0; окончательно получим
w
z
y
u z w
x
(5)
Таким образом, все компоненты перемещения точки пластины выражаются через
функцию прогиба w и через z - расстояние до срединной плоскости.
Перемещения и деформации тонкой пластин
Из 6 геометрических соотношений Коши 3 уже использовали для .
Выпишем оставшиеся соотношения
z , xz , yz
u
2w
z 2 zK x
x
x
x
2w
z 2 zK y
y
y
x
u
2w
2 z
2 K xy
xy
y x
xy
где Kx, Ky, Kxy - кривизны. Таким образом, все компоненты тензора
деформации определяются через функцию прогиба w w( x, y)
(6)