Распространение тепла в тонкой, однородной пластине. Метод Фурье. Краевая задача с граничными условиями смешанного типа.

Сергей Мацкевич ИФО 3-2

Дифференциальное уравнение теплопроводности

 Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между температурой, временем и координатами.

 Коэффициент - - коэффициент температуропроводности

Краевые условия

 Начальные условия. Граничные условия.

1-го рода: 2-го рода: Смешанного типа:  Краевые условия. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу.

Прямоугольная пластина

 Рассмотрим тонкую, однородную, прямоугольную пластину. Здесь температура u зависит от двух координат – x,y. Найти температуру в любой точке пластины в любой момент времени.

 Рассмотрим два случая: 1.

2.

Пластина, контур которой поддерживается при нулевой температуре Пластина, два противоположных края которой поддерживаются при нулевой температуре, а два других теплоизолированы

Первая начально-краевая задача

Контур пластины поддерживается при нулевой температуре, а тепловой обмен между боковой поверхностью пластины с окружающей средой отсутствует.

Решение

 Задача сводится к отысканию решения уравнения при начальном условии при граничных условиях

Решение уравнения ищем методом Фурье где С учетом граничных условий получим решения: Тогда решение данной задачи имеет вид где

Тогда окончательный вид решения будет:

Краевая задача с граничными условиями смешанного типа

Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластинку размера axb, два противоположных края которой x=0 и x=a поддерживаются при нулевой температуре, а два других края y=0 и y=b теплоизолированы.

Решение

 Задача сводится к отысканию решения уравнения при начальном условии при граничных условиях

Решение уравнения ищем методом Фурье где С учетом граничных условий получим решения: Тогда решение данной задачи имеет вид где

Тогда окончательный вид решения будет:

Курсовая задача

Решить краевую задачу с граничными условиями смешанного типа, если в начальный момент времени температура равна Решение данной задачи имеет вид: где

Тогда окончательный вид решения будет:

График задачи

Для иллюстрации поведения температуры покажем график значений u(x,y,t) в момент времени t=60 и при T 0 =10, размер пластины 5х5 :

Заключение

В курсовой работе были рассмотрены следующие задачи: 1.

2.

3.

4.

5.

Первая начально-краевая задача Краевая задача смешанного типа Получено решение 1-ой начально-краевой задачи и с граничными условиями смешанного типа в общем виде Рассмотрена и решена неоднородная краевая задача со смешанными краевыми условиями Качественно решение продемонстрировано на графике