Напряжения в анизотропной пластине
Download
Report
Transcript Напряжения в анизотропной пластине
Теория пластин
Напряжения
в анизотропной пластине
Понятие изгибной жесткости пластины и
определение моментов
Уравнение прогиба тонкой анизотропной
пластины
Напряжения в анизотропной пластине
Полагая материал пластины упругим и анизотропным, для вычисления
напряжений можно воспользоваться законом Гука. Пренебрегая компонентами
тензоров деформаций и напряжений, содержащих компоненту z, получим
x C11 x C12 y C16 xy ,
y C12 x C 22 y C 26 xy ,
(1)
xy C16 x C 26 y C 66 xy .
Если материал пластины ортотропный и оси ортотропии связаны с осями х и у,
тогда
(2)
C16 C26 0
и соотношения (1) примут вид:
x C11 x C12 y ,
y C12 x C 22 y ,
xy C 66 xy ,
(3)
Напряжения в анизотропной пластине
Подставляя в (3) геометрические соотношения, получим
2w
2w
x z C11 2 C12 2 ,
x
y
2w
2w
y z C 22 2 C12 2 ,
x
y
2w
xy 2C 66 z
.
xy
(4)
Компоненты напряженного состояния σх, σy, !!!! обуславливаются
функцией прогиба w(x,y) и изменяются по толщине пластины, т.е. зависят от
аргумента z, и будут приводить к изгибу и кручению пластины.
Понятие изгибной жесткости пластины и
определение моментов
Можно определить значения изгибающих и крутящего моментов
2w
2 w h3
M x x zz C11 2 C12 2 ,
x
y 12
h / 2
h/2
2w
2 w h3
M y y zz C12 2 C 22 2 ,
x
y 12
h / 2
h/2
(5)
2 w h3
xy zz C66
xy 6
h / 2
h/2
M xy
могут быть введены изгибные или цилиндрические жесткости
h3
11 C11
12
h3
22 C 22
12
h3
12 C12
12
h3
66 C 66
12
(6)
Уравнение прогиба тонкой анизотропной пластины
Для получения дифференциального уравнения прогиба рассмотрим равновесие
элемента пластины (рис.1).
Рис.1 Усилия и моменты, действующие на элемент срединной поверхности
пластины
Уравнение прогиба тонкой анизотропной пластины
На элемент действует внешняя распределенная нагрузка q. Действие внешней
нагрузки уравновешивается действием изгибающих и крутящего моментов и
перерезывающего усилия на контуре. Спроецируем силы на ось z:
Q y
Q
Qx dy Qx x dxdy Q y dx Q y
dy dx qdxdy 0
x
y
После упрощения:
(7)
Qx Q y
q 0
x
y
(8)
Составим уравнение для моментов относительно оси Y. Приведем подобные
слагаемые и отбросим члены третьего порядка малости:
M x M xy
Q 0
x
y
Аналогично для моментов относительно оси X имеем:
M y
y
M xy
x
Qy 0
(9)
(10)
Уравнение прогиба тонкой анизотропной пластины
Подставляя соотношения (9), (10) в (8), получим дифференциальное уравнение
прогиба тонкой анизотропной пластины:
2 M xy 2 M y
2M x
2
q 0
2
2
xy
x
y
(11)