Transcript Уравнения равновесия гибкой пластины

Теория пластин
Уравнения
равновесия гибкой пластины
 Система разрешающих уравнений гибкой
пластины в перемещениях и в форме Кармана
 Расчет пластины при произвольной ориентации
внешних нагрузок
Уравнения равновесия гибкой пластины
Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пластины (рис.1).
Рис.1. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины
Уравнения равновесия гибкой пластины
Проекция сил на ось x :
S xy 

N x 

 N x dy   N x 
dxdy  S xy dx   S xy 
dy dx  0

x

y




N x S xy

0
x
y
Проекция сил на ось y :
Проекция сил на ось z (рис. 2.):
N y
y

S xy
x
(1)
(2)
0
(3)
Уравнения равновесия гибкой пластины
Рис.2.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой
пластины
Уравнения равновесия гибкой пластины
Проекция сил на ось z, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка
малости и сокращая dxdy, получим
Qx Q y
 2 w N x w

 Nx 2 

x
y
x x
x
 2 w N y w
 Ny 2 

y y
y
 2 w S xy w
 S xy


xy y x
(4)
 2 w S xy w
 S xy

q 0
xy
х у
или с учётом (2) и (3)
Qx Q y
2w
2w
2w

 N x 2  N y 2  2S xy
q 0
x
y

x

y
x
y
(5)
Уравнения равновесия гибкой пластины
Уравнения равновесия для моментов относительно осей x,y полностью
совпадают с уравнениями тонкой пластины:
M x M xy

 Qx
x
y
M y
y

M xy
x
(6)
 Qy
используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения(5)
 2 M xy  2 M y
2M x
2


2
2

x

y
x
y
(7)
2w
2w
2w
 N x 2  S xy
 N y 2  q
xy
x
y
Соотношения (2), (3) и (7) образуют систему уравнений равновесия пластины.
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно
подставить в систему (2), (3) и (7) соответствующие выражения для
внутренних силовых факторов Mx, My, Mxy, Nx, Ny, Sxy.
Используем функцию напряжений Ф(x,y), определив её как
 2
Nx  2
y
,
 2
Ny 
x 2
,
S xy
 2

xy
(8)
при этом уравнения (2) и (3) удовлетворяются тождественно, а уравнение (7)
преобразуется к виду
2w
4w
2w
11 4    2 2   22 4 
x
x y
y
где
  2  2 w
 2  2 w  2  2 w 
q
  2
2
 2
2
2 

x

y

x

y

y

x

x

y


(9)
   212  2 66 
(10)
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями
w,Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности
деформаций на серединной поверхности
2 0
2 0
 2  x0   y   xy   2 w 
2w 2w
  2



0
xy  xy 
y 2
x 2
x y 2
2
(11)
С другой стороны, тензор мембранных деформаций связан с тензором
мембранных напряжений соотношениями
(12)
где C‫٭‬ij – компоненты тензора податливости.
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Учитывая обозначения
(13)
через функцию напряжения Ф
(14)
Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций
(15)
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Сопоставляя (11) и (15), получим уравнение совместности
деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов
(16)
Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных
(9) и (16) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины
относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнение
Кармана).
Расчет пластины при произвольной ориентации внешних
нагрузок
Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные
нагрузки q , p – составляющие соответственно нормальная и действующая в
плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично
построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб,
геометрические соотношения – соотношения Коши. В этом случае система
уравнений Кармана распадается на два независимых линейных уравнения, в
которых исключены нелинейные члены
(17)
из которых первое - техническая теория изгиба, второе - плоская задача теории
упругости.