Уравнения равновесия гибкой пластины
Download
Report
Transcript Уравнения равновесия гибкой пластины
Теория пластин
Уравнения
равновесия гибкой пластины
Система разрешающих уравнений гибкой
пластины в перемещениях и в форме Кармана
Расчет пластины при произвольной ориентации
внешних нагрузок
Уравнения равновесия гибкой пластины
Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пластины (рис.1).
Рис.1. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины
Уравнения равновесия гибкой пластины
Проекция сил на ось x :
S xy
N x
N x dy N x
dxdy S xy dx S xy
dy dx 0
x
y
N x S xy
0
x
y
Проекция сил на ось y :
Проекция сил на ось z (рис. 2.):
N y
y
S xy
x
(1)
(2)
0
(3)
Уравнения равновесия гибкой пластины
Рис.2.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой
пластины
Уравнения равновесия гибкой пластины
Проекция сил на ось z, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка
малости и сокращая dxdy, получим
Qx Q y
2 w N x w
Nx 2
x
y
x x
x
2 w N y w
Ny 2
y y
y
2 w S xy w
S xy
xy y x
(4)
2 w S xy w
S xy
q 0
xy
х у
или с учётом (2) и (3)
Qx Q y
2w
2w
2w
N x 2 N y 2 2S xy
q 0
x
y
x
y
x
y
(5)
Уравнения равновесия гибкой пластины
Уравнения равновесия для моментов относительно осей x,y полностью
совпадают с уравнениями тонкой пластины:
M x M xy
Qx
x
y
M y
y
M xy
x
(6)
Qy
используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения(5)
2 M xy 2 M y
2M x
2
2
2
x
y
x
y
(7)
2w
2w
2w
N x 2 S xy
N y 2 q
xy
x
y
Соотношения (2), (3) и (7) образуют систему уравнений равновесия пластины.
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно
подставить в систему (2), (3) и (7) соответствующие выражения для
внутренних силовых факторов Mx, My, Mxy, Nx, Ny, Sxy.
Используем функцию напряжений Ф(x,y), определив её как
2
Nx 2
y
,
2
Ny
x 2
,
S xy
2
xy
(8)
при этом уравнения (2) и (3) удовлетворяются тождественно, а уравнение (7)
преобразуется к виду
2w
4w
2w
11 4 2 2 22 4
x
x y
y
где
2 2 w
2 2 w 2 2 w
q
2
2
2
2
2
x
y
x
y
y
x
x
y
(9)
212 2 66
(10)
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями
w,Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности
деформаций на серединной поверхности
2 0
2 0
2 x0 y xy 2 w
2w 2w
2
0
xy xy
y 2
x 2
x y 2
2
(11)
С другой стороны, тензор мембранных деформаций связан с тензором
мембранных напряжений соотношениями
(12)
где C٭ij – компоненты тензора податливости.
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Учитывая обозначения
(13)
через функцию напряжения Ф
(14)
Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций
(15)
Система разрешающих уравнений гибкой пластины в
перемещениях и в форме Кармана
Сопоставляя (11) и (15), получим уравнение совместности
деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов
(16)
Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных
(9) и (16) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины
относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнение
Кармана).
Расчет пластины при произвольной ориентации внешних
нагрузок
Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные
нагрузки q , p – составляющие соответственно нормальная и действующая в
плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично
построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб,
геометрические соотношения – соотношения Коши. В этом случае система
уравнений Кармана распадается на два независимых линейных уравнения, в
которых исключены нелинейные члены
(17)
из которых первое - техническая теория изгиба, второе - плоская задача теории
упругости.