Transcript Лекция 3 «Теория пластин

Теория пластин
Условия на контуре пластины
 Типичные краевые условия
 Изгиб анизотропной пластины по модели
Тимошенко

Условия на контуре пластины
При постановке краевой задачи для уравнения изгиба тонкой пластины
необходимо сформулировать дополнительное условие на контуре пластины
(рис.1). Уравнение стационарное, четвертого порядка в частных
производных, поэтому для математической формулировки граничных
условий необходимо на контуре задать две функции, для каждой точки
контура.
Рис.1 Контур пластины
Типичные краевые условия

Заделанный край: прогиб и угол поворота в точке на границе равны нулю:
w| A  0
 w 
  0
 dn | A

(1)
Шарнирное опирание: прогиб и изгибающий моменты равны нулю:
w| A  0
M s| A

2w
2w 
 0
   nn
  ns
2
2 
n
s  | A

Обычно предполагается, что шарнирная опора является идеально жесткой,
т.е. прогиб вдоль контура тождественно равен нулю, тогда
2w
 0 , и следовательно
s 2
,
w
0
s
(2)
Типичные краевые условия
Так как коэффициенты жесткости Δnn≠0, то граничные условия могут быть
сформулированы следующим образом
w| A  0
 2w 
 2   0
 dn  | A

(3)
Свободная от закрепления граница, на которой нет напряжений и где
следовало бы приравнять нулю моменты и перерезывающие усилия:
M s| A  0
M n| A  0
Qn| A  0
(4)
Типичные краевые условия
Рис. 2 Расчетная схема Максвелла на свободной границе
Типичные краевые условия
Для приближенного удовлетворения граничных условий была предложена
следующая расчетная схема – схема Максвелла (рис.2), где граничные
условия формулируются для изгибающего момента М=0 и приведенного или
суммарного перерезывающего усилия
M ns 

Q

 n
 0
ds  | A

(5)
Используя известное соотношение
Qn 
M n M ns

n
s
(6)
и выражая моменты через прогибы, можно получить граничные условия для
свободного края.
Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко

Теория С.П. Тимошенко. Пусть нормали при деформировании пластин
остаются прямолинейными и длина их не изменяется, но после
деформирования нормаль поворачивается на некоторый угол:
z 
следовательно,
w
0
z
u
w
  xz 
z
x
(7)
(8)
Так как нормаль остается прямолинейной, то правая часть от z не зависит:
 xz   xz x, y 
(9)
и, учитывая, что перемещение на серединной поверхности отсутствует,
аналогично
w 

u    xz 
z
x 

(10)

w 
 z
v    yz 

y


(11)
Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко
Для определения поля перемещений необходимо знать w(x,y) и функции углов
поворота нормалей γxz(x,y) и γyz(х,у). Получим соотношение деформаций:

u
2w
x 
  2 z  xz z
x
x
x
 yz
v
2w
y 
 2 z
z
y
y
y
 xy
 w   xz  yz 
 z
 2 z
 

xy  y
x 
(12)
2
Напряжения на пластинке определим, используя закон Гука:
 x  C11 x  C12 y
 y  C12 x  C22 y
 xy  C66 xy
 xz  C55 xz
 yz  C44 yz
(13)
Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко
Внутренние усилия Мх,Му,Мхy,Qx,Qy; связаны с полями напряжений и
перемещений соотношениями:
 yz  h 3

 xz
2w
2w  

M x    x zdz   11 2  12 2    C11
 C12


x

y
12

x

y

 

h / 2
 yz 


2w
2w  

  11 2  12 2    11 xz  12

x

y

x

y

 

h/2
h/2

My 
y
zdz  ...
h / 2
  xz  yz 
 w

 2 66
  66 

xy
x 
 y
2
M xy
h/2
Qx 

xz
dz  C 55 h xz
h / 2
h/2
Qy 

h / 2
yz
dz  C 44 h yz
(14)
Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко
Решая систему трех линейных дифференциальных уравнений в частных
производных относительно неизвестных функций прогиба w(x,y) и углов
поворота γxz(х,у) и γyz(х,у), получим решение задачи об изгибе пластинки по
модели С.П.Тимошенко.
По этой теории часто рассчитывают толстые пластинки. Теория
позволяет проводить оценку прочности на расслоение.