Transcript 相似三角形性质

ξ10.5
问题1
两个三角形相似，除了对
应边成比例、对应角相等之外，还可
以得到许多有用的结果．例如，在图
中，ABC
和 ABC是两个相似三
角形，相似比为k，其中AD、AD分别为
BC 边上的高，那么AD、
BC、
AD  之间有
什么关系？
如图:△ABC和△
A’B’C’ 相似,相似比是K,其
中AD和A’D’分别是BC,B’C’
边上的高,那么AD比A’D’等于
相似比吗?
由此可以得出结论：
相似三角形对应高的比
等于相似比．
一个三角形有三条重要线段：
高、中线、角平分线
________________
如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
ABC ∽ ABC 
1
相似比为
2
对应高的比
1
AD

AD __________
2 _
B′
（1）
A
B
D
C
A′
D
C′
ABC ∽ ABC 
1
相似比为
2
对应中线的比
1
AD

2
AD __________
_
B′
（2）
A
B
C
D
A′
D
C′
ABC ∽ ABC 
1
相似比为
2
对应角平分线的比
1
AD

AD __________
2 _
（3）
A
B
C
D
A′
B′
D
C′
两个相似三角形的对
应中线比、对应角平分线
比等于相似比吗？
结论： 相似三角形对应高的
比，对应中线的比，对应
角平分线的比等于相似比
C
A
C’
B
A’
B’
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，
相似比为k,则△ABC与△A’B’C’的
周长比和面积比分别等于什么？
怎么来说明？
• 如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
AB
BC
CA
• 那么


k
AB BC  C A
• 于是
AB  kAB, BC  kBC , CA  kC A
• 所以
AB  BC  CA
kAB  kBC   kC A

k
AB  BC   C A
AB  BC   C A
归纳： 相似三角形周长的
比等于相似比。
类似的，我们不难得到：
两个相似多边形的
周长之比等于相似
比。
问题2
图中(1)、(2)、(3)分别是
边长为1、2、3的等边三角形，
相似吗？
(2)与(1)的相似比＝____，
(2)与(1)的面积比＝____;周长比＝
(3)与(1)的相似比＝_ __，
(3)与(1)的面积比＝ ___;周长比＝
相似三角形面积比等
于相似比的平方。
类似的：
两个相似多边形的面积之
比等于相似比的平方。
例题赏析
例1、如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似，
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
1
S ADE
16
(3)
 _______
.
D
E
S
ABC
B
C
例2 如图，在△ABC
中，点D，E分别在AB，AC
上，DE平行于BC，AD：DB
＝3：2，求四边形DBCE与
A
△ADE的面积比。
D
B
E
C
例题赏析
例3、如图，在
ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
(2)若∆AEF的面积为5
1

CD
2
AE
2
k
cm ，
2
20
cm
则∆CDF的面积为______.D
S AEF
1 2
( ) ，
S CDF
2
S CDF  20.
5
S CDF
1
 ，
4
C
F
A
E
B
典型例题
例4、如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF
的位置，它们重叠部分（即图中阴影部
分）的面积是△ABC的面积的一半，若
AB=2，求此三角形移动的距离BE的长。
F
C
G
D
A
B
E
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,
2∶ 3
那么相似比为_________,对应角的
2∶3
角平分线的比为______.
2．两个相似三角形的相似比为
0.25
0.25, 则对应高的比为_________,
对应角的角平分线的比为0.25
1
_________.
3．两个相似三角形对应中线的比
4
1
，则相似比为______,对应高的
4
为1
比为______
.
4
练一练:
1、如果两个三角形相似，相
似比为3：5，则对应角的角
平分线的比等于 3：5
。
练一练:
2、相似三角形对应边的比值为0.4，
那么相似比为
，对应角
2：5
的角平分线之比为
，周长的比
2：5
2：5
为
，
面积的比为 4：25 。
3、两个相似多边形的面积之
比为1：4，周长之差为6，
则这两个相似多边形的周长
6和12
分别为__________
4、如图在平行四边形ABCD中，
AE:AB=1:2
(1) △ AEF与△ CDF的周长之比
1:2
______
(2)若△ AEF的面积为8，则△ CDF
32
D
的面积_____
C
j
F
A
E
B
5、如图，在正方形网格上有
△A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个
三角形相似吗？如果相似，求
出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
B2
A1
练一练:
B1
A2
C2
C1
拓展提升
• 如图、把三角形ABC沿AB边平
移到三角形ABC的位置，它们
的重叠部分（阴影部分）的面
积是三角形ABC面积的一半。
若AB= 2，求此三角形平移的距
离AA
小结：
通过这节课的学习，
你有什么收获？
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
对应高的比、对应中线的比、对
应角平分线的比都等于相似比；
面积比等于相似比的平方。
A
B
DEF
A′
C
B′
D′ E'F'
C′
作业：
习题10.5
1，2，3
拓展训练
1、已知两个等边三角形的边长之比为
2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则
较小的等边三角形的面积为多少？
拓展训练
2、平行四边形ABCD与平行四边形 ABC D 相似，
已知AB＝5，对应边 AB ＝6，平行四边形
ABCD的面积为10，求平行四边形 ABCD
的面积.