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Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
et sa célèbre transformée
- Historique
- Les points fondamentaux
- Applications monodimensionnelles
- signaux temporels
- fonctions de transfert
- radiodiffusion, transmissions
- sons
- Applications multidimensionnelles
- images
- propagation d’ondes
interférométrie, holographie
- imagerie médicale
- Tomographie X
- Imagerie RMN
1
J. Le Roux, [email protected]
1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué
1793 Comité Révolutionnaire
1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique)
1798 Campagne d ’Egypte avec Bonaparte, Monge
(excellent organisateur)
1801 Retour à Polytechnique
1802 Nommé préfet de l’Isère (Champollion)
1804-1807 commence (?) à travailler
sur la propagation de la chaleur
mal reçu par la communauté scientifique
(n’a pas cité le travail de Jean Baptiste Biot...)
1810 Ouvrage : Description de l ’Egypte
1811 Prix (mitigé) pour son travail
sur la propagation de la chaleur;
le manuscrit n’est pas publié
1815 Préfet à Lyon, retour à Paris
(évite Napoléon au retour de l’île d ’Elbe)
1817 Académie des sciences
1822 Secrétaire de l’Académie des sciences;
Publication de la ‘théorie analytique de la chaleur’
1830 (16 Mai ?) Décès à Paris
J. Dhombes, J. B. Robert,
Fourier, créateur
de la physique-mathématique
Ed. Belin, 1998
2
home.nordnet.fr/~ajuhel/Fourier/Fourier.html
Le problème étudié par J. B. Fourier
• Résoudre une équation aux dérivées partielles :
trouver v(x,y) satisfaisant
 2v   2v  0
x2 y 2
et des conditions aux limites
• L’idée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes
f (x)  ak sin(2k x )
L
k
(série de Fourier)
• Comment trouver les ak ?
Orthogonalité entre fonctions
L
x
sin( 2p ) sin( 2q x )dx  0
L
0
L
L
x
a  sin( 2k ) f ( x)dx
k 0
L


3
Mathématiques
un dépaysement soudain
JP Bourguignon et al.
Fondation Cartier
Paris Oct. 2011
4
5
Les travaux qui s’en déduisent
•Transformée de Fourier Laplace


F ( )   f (t )e jtdt
F ( p)   f (t )e ptdt

•Transformée Inverse

1
f (t )  2  F ( )e jtd

• Extension aux signaux échantillonnés
T 1
F (k )   f
 j2 kt
T
(t )e
t0
•1965: Invention de la transformée de Fourier rapide
Cooley, Tukey, IBM
• Extension aux signaux multidimensionnels
(images, 3D,etc..) F(u,v)  f ( x, y)e j(ux  vy)dxdy

6
LA propriété fondamentale
Entrée
x(t )
Système linéaire
invariant en temps
h(t)
Sortie
y(t )
Convolution

y(t )   x(t  )h( )d

Transformée de Fourier
X( )
H( )
Y( )
Y( )  H( ). X ( )
Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence,
même si son amplitude et sa phase sont modifiées
7
Applications Signaux temporels (liste non exhaustive)
• Equations différentielles et filtrage
• Transmissions analogiques et numériques
• Interprétation de l ’échantillonnage des signaux
en vue du traitement numérique
• Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole
• Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée)
MP3= analyse de Fourier + filtrage numérique
• Identification des caractéristiques d’un système linéaire
par exemple suppression d ’échos, sismographie
signaux biologiques déformés
• Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusion
numérique (OFDM)
http://www.eskimo.com/~miyaguch/mp3info.html
8
Filtrage, annulation d ’écho, etc ... :
déformation linéaire par un canal de transmission
Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée
différemment suivant la fréquence :
trouver cette déformation et la compenser
Atténuation
Déphasage
2
0.10
0.09
0.08
1
0.07
0.06
0
0.05
0.04
0.03
-1
0.02
0.01
-2
-1.57233
-2.35696
-0.00307
-0.78770
1.56620
0.78157
Fréquence
3.13546
2.35083
-3.14159
-1.57233
-2.35696
-0.00307
-0.78770
1.56620
0.78157
Fréquence
3.13546
2.35083
9
Modulation d ’amplitude = translation en fréquence
exemple en communication numérique
1.2
1.2
0.8
0.8
0.4
0.4
-0.0
-0.0
-0.4
-0.4
-0.8
-0.8
-1.2
-1.2
30
80
130
30
80
8
0.8
0.8
5
-0.0
-0.0
2
-0.4
-0.4
2
-0.8
-0.8
-50
-1.2
0
8
16
24
32
e
1.2
0.8
0
50
-1.2
100
0
j1t
8
16
24
32
e
1.2
8
0.8
0.4
0.4
Bande de base
0.4
5
0.4
130
1.2
8
1.2
j 2 t
-50
0
50
100
8
modulation
5
5
-0.0
-0.0
-0.4
-0.4
2
2
-0.8
-0.8
-1.2
0
8
16
24
-50
32
1
0
-1.2
50
100
0
8
16
24
-50
32
2
0
50
100
1.2
0.8
8
Addition, transmission
0.4
5
-0.0
-0.4
2
-0.8
-1.2
0
8
16
24
-50
32
1.2
0
50
100
1.2
0.8
e
0.4
-0.0
 j1t
0.8
-0.0
2
-0.4
-1.2
-50
8
16
24
 j 2 t
5
2
-0.4
-0.8
0
e
0.4
5
démodulation
8
8
0
32
2  1
50
100
-0.8
1  2
-50
-1.2
0
8
16
24
32
0
50
100
1.2
8
1.2
0.8
filtrage
8
0.8
0.4
5
5
0.4
-0.0
-0.4
-0.0
2
2
-0.4
-0.8
-0.8
-1.2
0
8
16
24
32
-50
0
50
100
-50
-1.2
0
temps
fréquence
8
16
temps
24
0
50
100
32
fréquence
10
Interprétation de l’échantillonnage
Echantillonner un signal au pas t
c’est périodiser sa transformée de Fourier 2 / t
x (t )
1
0.5
0.4
0.3
0
0.2
0.1
-0.0
-0.1
-1
x ( kt )
100
700
1300
1900
-0.2
1
-256
-128
0
128
256
-256
-128
0
128
256
0.5
0.4
0.3
0.2
0
0.1
-0.0
-0.1
-0.2
-1
100
700
1300
1900
Pour un échantillonnage correct, pas
de composantes fréquentielles pour
Reconstruire le signal , c’est
éliminer les hautes fréquences par
filtrage passe bas
t
  / t  / t

   / t
x (t )  
k
t  kt
)

t
x ( kt )
t  kt
(
)
t
sin  (
11
Analyse de l ’amplitude des composantes d ’un signal vocal
Signal temporel
Représentation en fréquence
0.5
harmoniques (composantes
aux fréquences multiples de la
fondamentale)
-0.0
0.07
0.05
-0.5
t
0.03
200
600
1000
Unité=125 ms
0.01
0.0
5.2
10.4
15.6
20.8
26.0
31.2
36.4
41.6
46.8
52.0
57.2
62.4
0.5
0Hz
4000Hz
8000Hz
Fondamentale
à 129 Hz
-0.0
-0.5
t
600
620
640
660
680
700
720
740
760
780
800
Unité=125 ms
12
Données pour la reconnaissance de parole :
mesure de l’énergie dans une vingtaine de bandes de fréquences
(échelle mél)
0
20 000 Hz
13
Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniques
sont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) :
la H5 du fa est le la (H3 du ré) : accord mineur ?
accord majeur = harmoniques 3 et 5
(ré fa la)
ré fa# la
lg1 3   mo d l g 
t

t
log( 1 3)
log( 2)
 1 
lg1 1   mo d l g 

t

t
log( 1 1)
log( 2)
 1 

do
1
5
3
si
0.92
0.83
la
0.75
lgt
0.67
lg3t
sol
lg5t 0.58
lg7t
lg11t
fa#
0.5
fa
0.42
lg13t
mi
lg17t 0.33
0.25
ré
0.17
0.083
0
do0
1
ré 2
3
mi4
fa5
6
t
sol7
8
la 9
10
si11
do
12
do
14
http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf
fréquence
harmonique 8
notes jouées par un violon
temps
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectrogram_of_violin.png15
Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur)
en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme)
Freq.(8kHz)
Temps (1s)
Freq.
temps
16
Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons)
fréquence
temps
17
effet doppler :
le mouvement modifie
la fréquence observée
cosmologie
échographie doppler
circulation sanguine
Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88
18
Quelques applications de la transformée de Fourier discrète
Codage MP3
Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numérique
et transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques:
suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles
Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi
Codes correcteurs d’erreurs de Reed Solomon
(transmissions numériques, téléphone mobile, CD…)
F (k )   a kt f (t )
t
a : générateur d ’un corps de Galois (corps fini)
19
Principe du codage MP3
Filtrage des signaux
dans différentes bandes
de fréquences
T. Cos et
codage
T. Cos et
codage
T. Cos et
codage
T. Cos et
codage
T. Cos et
codage
T. Fourier
Sélection des
canaux utiles
(effet de masquage
1er codage
20
Rôle fondamental de la fréquence
en mécanique quantique
Les relations de Planck-Einstein
établissent un lien entre
la fréquence d'une onde lumineuse plane,
et l'énergie des photons associés à cette onde :
h constante de Planck,
fréquence de l'onde
21
Informatique Quantique :
implémentation de transformées unitaires
transformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiter
afin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcés
mettant en évidence la solution du problème
|0>
|0>
|u>
.
H
H
.
U
U
Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor
Trouver les facteurs premiers d’un nombre
Ramené à la recherche de la périodicité d’une fonction :
Dans le domaine des fréquences
Harmoniques d ’une fréquence fondamentale
Mise en évidence de pics régulièrement espacés
dans la transformée de Fourier
(c ’est une transformée unitaire)
22
http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/
La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256
23
http://www.nicolet.com/labsys/
Interférométrie et spectroscopie
24
http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/
La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256
25
http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf
D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy
at submillimeter wavelengths »
. http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf
http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf
26
Résultat de l ’analyse spectrale d ’un signal RMN
(résonance magnétique nucléaire)
pour une molécule d ’alcool éthylique
27
détection d’exo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale d’une étoile
(effet doppler : variation de longueur d’onde de la lumière en fonction de la vitesse) :
recherche d’un signal périodique en présence d’un bruit de mesure très important
28
effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de l’univers
Recherche de traces de vie extraterrestre
corrélation de deux analyses spectrales
mouvement périodique de planète
Interférométrie et spectroscopie
(effet doppler)
29
30
Infrared spectroscopy for food quality analysis and control
Par Da-Wen Sun
31
Fonctions multidimensionnelles (images)
(Optique de Fourier)
Traitement d’images
Propagation d’ondes, interférométrie
Tomographie par rayons x
Imagerie par résonance magnétique nucléaire
Cristallographie, analyse des structures moléculaires
32
sinusoïde bidimensionnelle caractérisée
par sa direction et la période
des oscillations dans cette direction
cos(ux  vy)
33
Traitement d ’antennes :
Retrouver par un réseau de capteurs (antenne)
la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques
34
Traitement d ’images
par exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy
Convolution de l ’image avec la transformée
de Fourier de l ’ouverture du télescope
Produit dans le
domaine des fréquences
Convolution dans le
domaine spatial
coupe
35
Quelques exemples de traitement
(Amplification des hautes fréquences
c ’est à dire des variations rapides)
• Correction d’effet de flou, de bougé
• Mise en évidence des contours
• Codage d’images JPEG et MPEG
(une variante de la transformée de Fourier, la
transformée en cosinus)
+ élimination ou codage plus sommaire des
hautes fréquences
36
Filtrage des bruits ( par exemple
lorsque le signal intéressant
est dans les basses fréquences)
37
FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)
38
FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)
39
Transformée en cosinus
et réduction de débit
en transmission
d ’images JPEG MPEG
40
Étude des équations aux dérivées partielles
Chebyshev and Fourier Spectral Methods
John P. Boyd University of Michigan
Décomposition des fonctions étudiées sur
une base, par exemple des sinusoïdes
multidimensionnelles ; Trouver l’amplitude
de chaque composante afin d’approcher au
mieux la solution de l’équation
41
f
Electromagnétisme, optique ondulatoire
l ’onde transmise ‘porte’ la transformée 2D de la source
(équations de Maxwell)
(Analyse des appareils d ’optique p.ex. lentilles, optique de Fourier)
Application en interférométrie et en holographie
42
(mécanique quantique)
Holographie = Enregistrement des interférences
formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses)
43
enregistrement des franges
d’interférence
éclairage de l’hologramme
l’observateur, en regardant
les franges voit « l’objet »
44
http://fr.wikipedia.org/wiki/Holographie
Interférométrie en imagerie astronomique
Antoine Labeyrie au plateau de Calern
Télescopes de l ’ESO à La Silla au Chili
Limitation du diamètre
faire interférer les signaux
provenant de deux télescopes
distance = fréquence = 
Mesure de l ’amplitude
et de la phase des interférences F()
Déplacement des télescopes:
Modification de 
Transformée de Fourier inverse f(x)
Problème : turbulence atmosphérique 45
46
http://fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optique
surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse
Observatoire de Paris (LESIA)
interféromètre IOTA (Arizona)
http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=7401
47
Cristallographie
Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module de
la transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on
retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse
48
Transformée de Fourier
49
http://www.afmb.univ-mrs.fr/IMG/pdf/introduction-cristallo.pdf
élément pour l’étude
de la structure des protéines
50
Tomographie
Reconstruire un objet à deux dimensions à partir de ses projections
51
52
LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS D’OBJETS TRANSLUCIDES
PERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS VOLUMES
Tomographie : formulation dans le domaine spatial

y
f ( x, y)
t

g(t , )   f (t cos   sin ,t sin   cos )d


x
v
Dans le domaine des fréquences
F ( cos , sin )  G( , )
Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de

u
g (t , )
On reconstruit F(u,v) à partir de G( , ) pour différentes valeurs de 
Puis on effectue une transformée inverse
53
Tomographie
54
55
Résonance magnétique nucléaire
Champ magnétique:
Faible aimantation du noyau
Possibilité d’utiliser les phénomène de résonance
A. Champ magnétique fixe B + champ tournant B
B
à la fréquence  (Onde radiofréquence 20 à 50 MHz)
B. Evolution libre, retour à l ’équilibre
Décroissance exponentielle oscillante de
l ’aimantation (~100ms) mesurée par une antenne
B
La fréquence des oscillations (quelques Hz) dépend de B
56
Imagerie par RMN
Fréquence du retour à l’équilibre (exponentielle amortie) de l’ordre du Hz
1.5
1.0
B fort
0.5
-0.0
-0.5
-1.0
0.0000
20.0588
10.0294
40.1176
30.0882
60.1765
50.1471
80.2353
70.2059
90.2647
2.0
B faible
1.2
0.4
-0.4
-1.2
-2.0
0.0000
20.0588
10.0294
40.1176
30.0882
60.1765
50.1471
80.2353
70.2059
90.2647
On choisit B(x,y,z) fonction linaire de la position, variable d ’une mesure à l ’autre
Le signal capté par une antenne est
 
t
sB (t )   m( x , y , z ) exp(
) exp jt (GB . r )dxdydz
T
 
B
B
B
G
.
r

x

y

z
avec
B
x
y
z
57
Imagerie par RMN
t fixé : une valeur de la transformée de Fourier tridimensionnelle
 
t
sB (t ) exp( )   m( x , y , z ) exp jt (GB . r )dxdydz
T
(t varie: valeur suivant un axe : même formulation que la tomographie)
Une image ou un volume complet : plusieurs mesures avec des directions
de gradient différentes
Quantité de molécules
d’hydrogène dans le
volume dxdydz
B
y
x
Variation linéaire du champ ‘fixe’ dans l’espace
Reconstruction par transformée inverse (précision du mm)
58
Image rmn
59
60
image irm de diffusion de molécules d’eau (le long des axones)
61
Conclusion
• Vaste champ d ’application
• Grâce au traitement numérique
• Grâce à l ’invention de la transformée de Fourier rapide
• Du point de vue mathématique
• Importance des systèmes linéaires invariants et de leur
effet sur les signaux sinusoïdaux
• Orthogonalité des fonctions sinusoïdales
• + la théorie des distributions (en particulier
la distribution de Dirac)
Copie des transparents:
http://www.essi.fr/~leroux/
http://www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html
62