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ELG3575
4. Propriétés des signaux
d’énergie et de puissance et
transformée de Hilbert
Signaux d’énergie
• Si x(t) est un signal d’énergie avec énergie moyenne normalisée
Ex :
– y(t) = x(t)×Ae-j2pfot est aussi un signal d’énergie avec Ey =
A2Ex ;
– z(t) = x(t)×Acos2pfot est aussi un signal d’énergie avec Ez =
(A2/2)Ex ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t))
• Y(f) = AX(f-fo). Donc Gy(f) = |Y(f)|2 = |AX(f-fo)|2 = A2Gx(f-fo). Ey
est donnée par :

E y  A2
G ( f  f
x

o )df
Signaux d’énergie
• Remplaçons f-fo par f’ et on obtient :

E y  A2

G x ( f )df   A 2 E x

• Pour z(t) = x(t)×Acos2pfot , il faut noter que z(t) peut être
exprimé comme:
z(t ) 
A
2
x(t )e j 2pfot  A2 x(t )e  j 2pfot
Signaux de puissance
• De la même façon, nous pouvons démontrer que si x(t) est un
signal de puissance ave puissance moyenne normalisée Px :
– y(t) = Ax(t)e-j2pfot est aussi un signal de puissance avec Py =
A2Px ;
– z(t) = x(t)×Acos2pfot est aussi un signal de puissance avec
Pz = (A2/2)Px ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de
x(t)).
Symétrie de la fonction d’autocorrélation
• Si x(t) est un signal réel, sa fonction d’autocorrélation est une
fonction paire.
• Supposons que x(t) est un signal d’énergie et que x(t) = x*(t),
jx(-t) est donnée par :

j x (t ) 

x(t ) x * (t  t )dt

• Remplaçons t-t par t’ et on obtient :

j x (t ) 



x(t 't ) x * (t ')dt' 
 x(t 't ) x(t')dt'  j

x (t )
• De la même façon nous pouvons démontrer que Rx(t) = Rx(-t) si
x(t) est réel.
Symétrie de la densité spectrale
• Si x(t) est un signal réel, sa densité spectrale est une fonction
paire.
– Nous savons que sa fonction d’autocorrélation est une
fonction paire.
– Sa densité spectrale est la transformée de Fourier de la
fonction d’autocorrélation.
– La transformée de Fourier d’une fonction paire est toujours
une fonction paire.
Symétrie de la densité spectrale
• Supposons que x(t) est un signal de puissance réel avec
fonction d’autocorrélation Rx(t).
• Sa densité spectrale de puissance est :
SX ( f ) 

 j 2pft
R
(
t
)
e
dt
 x


S x ( f ) 

R x (t )e  j 2p (  f )t dt

• Remplaçons t par -u et on obtient





S x ( f )   R x (u)e  j 2p (  f )( u ) du 

R x (u)e  j 2p ( f )(u ) du  S x ( f )
Multiplication par cos(2pfot)
• Supposons que x(t) est un signal d’énergie et que y(t) =
Ax(t)cos(2pfot) (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de
x(t)).
• La fonction d’autocorrélation de y(t) est :

j y (t )  A 2

x(t ) x * (t  t ) cos(2pf o t ) cos(2pf o (t  t ))dt

2 

A

2

2
A2
*
x(t ) x (t  t ) cos(2pf ot )dt 
2



x(t ) x * (t  t ) cos(2pf o (2t  t ))dt

A
A2
*

cos(2pf ot ) x(t ) x (t  t )dt 
j x (t ) cos(2pf ot )
2
2


Multiplication par cos(2pfot)
• Similairement, si x(t) est un signal de puissance, la fonction
d’autocorrélation de y(t) = Ax(t)cos(2pfot) est :
•
•
A2
R y (t ) 
R x (t ) cos(2pf o t )
2
(pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).
Alors Gy(f) = (A2/4)Gx(f-fo)+(A2/4)Gx(f+fo) si x(t) est un signal
d’énergie et Sy(f)= (A2/4)Sx(f-fo)+(A2/4)Sx(f+fo) si x(t) est un
signal de puissance.
Réseaux transformateurs de phase et la
transformée de Hilbert
•
•
•
•
•
Un signal x(t) est l’entrée d’un réseau transformateur de phase.
La sortie est le signal d’entrée déphasée par une constante q.
Supposons que x0(t) = Acos(2pf0t) est l’entrée a ce réseau.
La sortie y0(t) = Acos(2pf0t+q).
Si nous changeons la fréquence de l’entrée, c'est-à-dire que
l’entrée devient x1(t) = Acos(2pf1t), la sortie est y1(t) =
Acos(2pf1t+q).
• Alors le montant de déphasage est indépendant de la
fréquence.
Réponse en fréquence du réseau
transformateur de phase
 ( f  f0 )
• Pour x(t) = Acos(2pf0t), X(f) = A2  ( f  f 0.)  A
2
• La sortie y(t) = Acos(2pf0t+q) a une transformée de Fourier Y(f)
= A2 e jq  ( f  f 0 )  .A2 e  jq  ( f  f 0 )
• La réponse en fréquence du réseau transformateur de phase
est :
 e jq , f  0
H ( f )    jq
e , f  0
La transformée de Hilbert
• La transformée de Hilbert est un transformateur de phase où q =
-90o.
• Pour un signal x(t), sa transformée de Hilbert xh(t) est x(t)
déphasée par -90o (-p/2 radians).
• La transformée de Fourier du signal xh(t) est Xh(f) qui est
donnée par :
e  jp / 2 X ( f ), f  0
X h ( f )   jp / 2
X ( f ), f  0
e
  j sgn(f ) X ( f )
La transformée de Hilbert
• La transformée de Hilbert est donnée par :
• xh(t) = F{-jsgn(f)X(f)} = x(t)*1/pt



x( )
d 
p (t   )




x(t   )
p
d
Exemples
• Trouvez la transformée de Hilbert de
– x(t) = Acos(2pfot) et
– y(t) = sinc(t)
• SOLUTION (a)
X( f ) 
Xh( f ) 
A
A
  f  fo    f  fo 
2
2
 jA
jA
  f  fo    f  fo 
2
2
alors
La transformée de Hilbert de x(t) est alors xh(t) =F-1{Xh(f)}
= Asin(2pfot).
Exemples
• SOLUTION (b)
– Y(f) = P(f). La transformée de Fourier de la transformée de
Hilbert de y(t) est Yh(f) = -jsgn(f)P(f).
Yh(f)
j
0.5
-0.5
f
-j
– -jsgn(f)P(f) = -jP(2(f-¼)) + jP(2(f+¼)), alors yh(t) =
p
p
  
j t
j t
j
j
2
sinct / 2e
 sinct / 2e 2  sinc t sin p t
2
2
2
2