Transcript diapos chap 4

4. La transformée en z
Un formalisme adapté au filtrage et à l’analyse en fréquence
des signaux échantillonnés et à l’automatique numérique
Définition
X ( z) 

 x(t ) z
t
t  
x(t) signal étudié
z variable complexe
t entier : pas d’échantillonnage égal à 1
Im(z)
problèmes liés à la convergence :
importance du domaine de définition
en général une couronne incluant
le cercle de rayon 1
Re(z)
1
lien avec la transformée de Fourier
z  exp j
j
X (e ) 

 x(t )e jt 
t  
1
Exemple
t  0 : x(t )  b
t
b 1
t  0 : x(t )  at

t t
x(t)
1.2
a 1

0.6
.
t t
X ( z)   a z   b z  1
t 0
0
10
5
0
5
10
15
20
(entier)
t 0
Im(z)
convergence si
a  z  1/ b
séries géométriques

 g  1
 gt 1 g  g2  g3  
t 0
X ( z) 
1
1  a.z 1

1
1 g
Re(z)
|a|
1 1/|b|
1
1
1  b.z
(fractions rationnelles)
t
a et b peuvent être complexes 2

H ( z)   at z t
H ( z) 
t 0
h(t )  0
1
1  a.z 1
h(t )  a t
t
associée à une équation récurrente (filtrage)
y(t )  a. y(t  1)  x(t )
équivalente numérique de l’équation différentielle
linéraire à coefficients constant du premier ordre
y
 c. y (t )  x(t )
t
3
t  0 : h(t )  a t
t  0 : h(t )  0
H ( z) 
Effet de la valeur de a
1
1  a.z 1
très amorti :
peu amorti
a proche de zéro
a proche de 1
1
1
a  0.5
a
t
0.5
0
a
0
50
t
a négatif
a  0.95
t
t
0.5
0
Im(z)
0
50
a>1
Re(z)
10
a  1.02
a
0
50
100
oscillations à
½ fréq. d’éch.
t
100
t
1
0
1
100
|a|
1
a
a  0.98
t
5
0
0
50
100
t
exponentielle
divergente si a>1
4
h(t )  a t . cos(w0 .t   ) pour t  0
t 0
0
h(t )
a 1
1
0
t
.
1
20
0
convergence si
H ( z) 
20
40
60
80
100
120
Im(z)
az
cos( )  a.z 1. cos(0   )
1  2a. cos(0 ).z 1  a 2 .z  2
Re(z)
|a|
1
fractions rationnelles : pôles et zéros
racines du dénominateur et du numérateur
5
h(t )  a t . cos(w0 .t   ) pour t  0
t 0
0
1
0
.
1
20
0
20
40
60
80
100
120
t
associée à une équation récurrente (filtrage)
y (t )  2a. cos(0 ). y (t  1)  a 2 . y (t  2)  x(t )
équivalente numérique de l’équation différentielle linéaire
à coefficients constant du deuxième ordre de la forme
2 y
y
  .   . y (t )  x(t )
2
t
t
6
Argument des pôles et fréquence des oscillations H ( z ) 
1
1  2a. cos(0 ).z 1  a 2 .z  2
Im(z)
Im(z)
Re(z)
1
Re(z)
1
Oscillations rapides
(hautes fréquences)
Oscillations lentes
(basses fréquences)
4.0
2.5
2.8
1.4
1.6
0.3
0.4
-0.8
-0.8
-1.9
-2.0
-3.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t
7
Module des pôles et amortissement
pôles proches de l’origine
H ( z) 
1
1  2a. cos(0 ).z 1  a 2 .z  2
pôles près du cercle de rayon 1
Im(z)
|a|
Im(z)
|a| Re(z)
1
Re(z)
1
Très oscillant
Très amorti
1.3
1.3
1.0
0.8
0.7
0.3
0.4
-0.2
0.1
t
-0.2
-0.7
t
-1.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
8
1
1  2a. cos(0 ).z 1  a 2 .z  2
Module des pôles et stabilité
H ( z) 
pôles intérieurs au cercle 1
pôles extérieurs au cercle 1
Im(z)
Im(z)
|a|
|a|
1 Re(z)
Re(z)
1
instable (divergence)
stable (convergence)
20
1
a  1.03
a  0.95
t
a  cos( 0.5 t )
t
0
1
t
a  cos( 0.5 t )
0
t
20
0
50
t
100
0
50
100
t
9
Quelques propriétés immédiates de la transformée en z
La transformée d’une séquence de durée finie
L
X ( z )   a t z t
t 0
est un polynôme
Le retard de k échantillons est associé à z -k
La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=0
est une constante
X ( z )  x(0)
La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=1
est
X ( z )  x(1) z 1
10
Transformée d’une convolution discrète
y(t ) 


  
  
 x( )h(t   )   h( ) x(t   )
(commutativité)
Y ( z)  H ( z) X ( z)
Même démonstration que dans le cas de la transformée
de Fourier d’une convolution
11
Transformée d’une convolution discrète
y(t ) 

 x( )h(t   )
  
Y ( z)  H ( z) X ( z)
cf : produit de polynômes
 x  x  z 1  x  z 2    h  h  z 1  h  z 2 
2
2
 0 1
 0 1

x0h0  x0h1  x1h0z 1  x0h2  x1h1  x2h0z 2  x1h2  x2h1z 3  x2h2z 4
les coefficients du produit
s’obtiennent en calculant une
convolution discrète
y (t ) 
2
 x( )h(t   )
 0
12
Inversion de la transformée en z
x(t ) 
1
2 j.
t
C X ( z) z
dz 1

z 2



X (e j )e jt  d
C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1
(expression donnant l’amplitude de l’harmonique d’une série de Fourier)
dans les cas simples : décomposition en fractions rationnelles
du premier degré : le signal x est une somme d’exponentielles
X ( z) 
1
1  a.z 1
alors
x(t )  at
pour
t0
x(t )  0
pour t  0
(a peut être complexe)
la transformée inverse d’un polynôme est une séquence de durée finie
Attention au domaine de convergence !
En traitement du signal ce domaine contient le cercle de rayon 1
13
fréq.
Lien avec la transformée de Fourier
graduation linéaire en angle
du cercle de rayon un
correspond à une graduation
linéaire de l’axe des fréquences

/2
Im(z)
/2
/4
3/4


/4
Re(z)
/4
3/4
/2
/4
/2
Lien avec la transformée de Laplace
l’intérieur du disque de rayon 1
se transforme dans le demi plan
partie réelle négative

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signal à temps continu
x(t)
signal échantillonné
échantillonnage
y(n)=x(t) pour n=t
transformée en z
n
t
transformée de Fourier
Y(z)
f
g
Im(z)
Re(z)
Y(z)
périodisation
z=ej
X()
X()
-

X()= Y(ej)
-


-


enroulement sur le cercle 1 15