Transcript Mat 265 Équations différentielles Transformées de Laplace : résumé

Mat 265 Équations différentielles
Transformées de Laplace : résumé
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15 juillet 2014
1. La table de transformées de Laplace : exemples d’utilisation
Même si l’on se limite aux É.D. à coefficients constants, la technique des transformées de
Laplace possède l’immense avantage de nous permettre d’avoir des « input » continus par
morceaux, voire même des impulsions. Dans ce texte, la correspondance f (t ) ↔ F ( s )
sera utilisée pour indiquer que la transformée de Laplace de f = f(t) est F(s) ou encore que
la transformée inverse de F(s) est f(t). On pourra aussi écrire, utilisant le symbole « £ »
pour désigner la transformée de Laplace, £[f(t)] = F(s). Il serait toutefois plus correct
d’écrire alors £[f](s) = F(s). D’ailleurs, une fonction « laplace » qui proviendrait d’un
système symbolique aurait une syntaxe du genre laplace(ex, var, vars) où « ex » est
l’expression de la variable « var » qu’on désire transformer et où « vars » est la variable
utilisée dans la transformée obtenue. Finalement, puisque la transformée de Laplace est
définie par une intégrale impropre dépendant d’un paramètre « s », la convergence n’est,
en général, assurée que pour des valeurs du paramètre choisies suffisamment grandes :
∞
F ( s ) = ∫ f (t ) e− st dt.
0
De plus, deux fonctions égales « presque partout » auront des transformées égales : il ne
sert donc à rien, lorsqu’une fonction est définie par morceaux, de se demander ce qu’elle
vaut aux extrémités des sous-intervalles. Des propriétés comme P22 et, plus
généralement, P26 sont très utiles ─ on réfère ici à la table utilisée en Mat 265, voir
http://luciole.ca/gilles/mat265/documents/trlaplac.pdf ─ et sont parmi les plus
importantes. Rappelons-les avant de faire un exemple :
P 22
f (t − a ) u (t − a ) ↔ e − as F ( s ),
P 26 g (t ) u (t − a ) ↔ e − as £ [ g (t + a )] .
Lorsqu’une fonction est définie par morceaux, il est alors facile de trouver sa transformée
de Laplace, s’aidant de l’écriture en terme de combinaisons linéaires de la fonction
échelon-unité u(t − a) et de P26. Voici un exemple :
Exemple 1 : trouvons la transformée de Laplace du signal défini par
si 0 < t < 1
6t

f (t ) = −2t + 8 si 1 < t < 4
0
si t > 4

Alors, on peut écrire, utilisant la technique de « cancellation », que
f(t) = 6t + (−2t + 8 − 6t) u(t − 1) + (0 − (−2t + 8)) u(t − 4)
= 6t +(8 − 8t) u(t − 1) + (2t − 8) u(t − 4)
= 6t − 8(t − 1) u(t − 1) + 2(t − 4) u(t − 4).
6 8 s 2 −4 s
− e + 2 e . On va vérifier cette
s2 s2
s
réponse en utilisant la fonction « laplace » sur Nspire CAS (librairie ETS_specfunc) :
Mais alors, simplement par P22, on a F ( s ) =
Figure 1
Note : Nspire CAS ne « comprend pas » ce qu’est u(t − 1) mais la librairie ETS_specfunc
prend en charge cette fonction (de même que la « fonction » de Dirac δ(t)). Si, par
exemple, on voulait tracer le graphique de l’expression définie par f à la figure 1, il faut
définir u(t) et après le graphique pourra se tracer :
Figure 2
Attention! On définit u(t) APRÈS avoir fait calculé la transformée (et on supprimera
cette variable si l’on veut encore calculer des transformées de Laplace). On copie
l’expression en x et la colle dans l’éditeur d’une fenêtre graphique en mode function : on
obtient le graphque de la figure 3.
2
Figure 3
Si quelqu’un n’a pas fait les mises en évidences et remarqué que P22 pouvait directement
s’appliquer, alors P26 donne aussi le résultat.
Le prochain exemple revient sur l’importance de la « fonction » de Dirac et la
convolution.
Exemple 2 : les propriétés P14 (Dirac) et P24 (convolution) sont les suivantes :
P14a δ (t − a ) ↔ e− as ,
t
P 24
f (t ) ∗ g (t ) ≡ ∫ f (τ ) g (t − τ ) dτ ↔ F ( s ) G ( s ).
0
Par conséquent, la solution au problème
ay′′(t ) + by′(t ) + cy (t ) = x(t ) u (t ),
y (0) = 0, y′(0) = 0,
est donnée par la convolution
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
avec h(t ) ↔
1
. On appelle h(t) la réponse impulsionnelle.
as + bs + c
2
En effet, si l’on applique la transformée de Laplace de chaque côté de l’É.D., nous
X ( s)
obtenons Y ( s ) = 2
= X ( s ) H ( s ) . De plus, on voit que si l’on choisit, au départ,
as + bs + c
x(t) comme étant δ(t), alors Y(s) = H(s), donc y(t) = h(t) est la « réponse à une
impulsion ».
3
Exemple 3 : la propriété de convolution est aussi très utile pour calculer ─ sans utiliser
le « package Laplace » mais s’aidant de sa calculatrice ─ une transformée inverse qui ne
se trouve pas dans notre table mais qui se présente sous la forme d’un produit. Par
exemple, soit à inverser l’expression
Z (s) =
s
(s
2
+9
2
) (s
2
+ 8s + 20
)
.
On peut très bien appliquer les fractions partielles avec la calculatrice mais il faudra
ensuite compléter des carrés et il sera beaucoup plus simple et rapide, dans ce cas-ci,
d’utiliser la convolution et d’écrire que Z(s) = F(s) G(s) où
F ( s) =
s
(s
2
+9
)
2
, G( s) =
1
.
s + 8s + 20
2
Les transformées inverses de F et G sont dans notre table (P35 et P29, après avoir
complété un carré) et il suffit alors d’utiliser l’intégrateur de la calculatrice et faire la
convolution de f(t) avec g(t) où
1
1
f (t ) = t sin(3t ), g (t ) = e−4t sin(2t ).
6
4
2. La transformée de Laplace pour analyser un système
L’un des gros avantages de la transformée de Laplace est la liberté que cette méthode
nous donne lorsqu’on veut analyser un système (mécanique, électrique, …). Pour fixer
les idées, considérons un problème de masse-ressort modélisé (comme dans les notes de
cours de Mat 265) par l’É.D.
m y′′(t ) + b y′(t ) + k y (t ) = f (t ),
y (0) = y0 , y′(0) = v0 .
Ici, y = y(t) désigne la position de l’objet à l’instant t ─ objet attaché au ressort ─, f = f(t)
est la force extérieure (qui peut être identiquement nulle), m la masse de l’objet, b la
constante d’amortissement (possiblement nulle) et k la constante de rappel du ressort.
Appliquant la transformée de Laplace à ce problème, nous en déduisons facilement, en
réappliquant la transformée inverse, que
 msy0 + mv0 + by0 + Lap( f ) 
y (t ) = Ilap 
.
ms 2 + bs + k


Ici, nous avons employé « Ilap » pour désigner la transformée de Laplace inverse et
« Lap » pour la transformée directe ─ une telle fonction provenant d’un système
symbolique peut demander un, 2 ou même 3 arguments mais puisque la plupart du temps
on utilise « t » comme variable de départ et « s » comme variable de la transformée, on
4
peut simplifier de cette façon. Par conséquent, une fonction du type « ressort » comme
la suivante s’avère fort utile en applications et pourra être utilisé sur une calculatrice TI
symbolique où le fichier contenant les transformées de Laplace est installé :
 m s yo + m vo + b yo + Lap( f ) 
Ilap 
 → ressort(m, b, k , f , yo, vo).
m s2 + b s + k


La fonction « ressort » donne donc la position de l’objet en fonction du temps.
Pour un circuit RLC, nous avons l’É.D.
LC vC′′ (t ) + RC vC′ (t ) + vC = E (t ), vC (0) = vc 0 , i (0) = i0 .
Mais alors, on a qu’à calquer sur la fonction « ressort » et se rappeler que vC′ (0) =
i (0)
:
C
io 

ressort  LC , RC ,1, E , vco,  → circuit( R, L, C , E , vco, io).
C

La fonction « circuit » donnera donc vC (t ) , le voltage aux bornes du condensateur dans
un circuit électrique, peu importe les conditions initiales. Si l’on veut le courant i(t),
alors i(t) = C vC′(t). Remarquons que si les conditions initiales sont toujours nulles (vC(0)
= 0 et i(0) = 0) et si l’on ne désire trouver que le courant i(t), alors on peut aussi procéder
comme suit : on a dans ce cas l’équation « intégro-différentielle »
t
L
di
1
+ Ri + ∫ i (τ ) dτ = E (t ).
dt
C0
En appliquant la transformée de Laplace de part et d’autre de cette dernière équation,
C s E ( s)
nous obtenons I ( s ) =
, E ( s ) désignant la transformée de Laplace de E(t).
2
LCs + RCs + 1
Exemple 4 : nous avons défini les fonctions « ressort » et « circuit » en passant par le
« package » Laplace. Sur Npsire CAS, on trouvera le fichier ETS_specfunc.tns en suivant
http://seg-apps.etsmtl.ca/nspire/documents/transf%20Laplace%20prog.pdf . Notre fichier
KIT_ETS_MB (voir https://cours.etsmtl.ca/seg/mbeaudin/) est l’endroit où ont été
définies les fonctions « ressort » et « circuit » et bien d’autres. Voici un exemple. On
cherche la valeur maximale de la solution de l’É.D.
2 y′′ + y′ + 2 y = f (t ),
y (0) = 0, y′(0) = 0,
On peut assimiler ce problème à un problème de masse-ressort où f serait la force
extérieure. Prenons ici une force continue par morceaux comme celle-ci :
0 si 0 ≤< 5

f (t ) = 1 si 5 ≤ t < 20 .
0 si t ≥ 20

5
On peut définir f comme étant u(t − 5) − u(t − 20). Pour le graphisme, on devra comme
tantôt définir ce qu’est u(t). Choisir « uu » plutôt que « u » peut être utile. Donc, en
posant
1 + sign(t )
→ uu(t ) (step(t )).
2
la solution, en mode exact, sort rapidement sur l’écran :
Figure 4
Reste à ouvrir une fenêtre graphique, copier et coller la solution (en remplaçant « t « par
« x » et en « overwritant » « u » par « uu » . On utilise ensuite le menu d’analyse de la
représentation graphique et trouve la valeur maximale :
Figure 5
6