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Chapitre V
CONDUCTION MORTE EN
RÉGIME VARIABLE À
UNE DIMENSION
Conduction morte en régime variable
à une dimension
1- Présentation générale
p 1 T
2
T 
0
 a t
2T 1 T

0
2
x a t
On se limite à deux variables: une variable spatiale x et le temps t
Conduction morte en régime variable à une
dimension
1- Présentation générale
Classement des corps à
l’aide d’un critère proposé
par BIOT (relatif à leurs
comportement thermique)
Corps minces : la température peut y
être considérée comme uniforme.
Corps épais : la température est
fonction du point considéré et du temps
1- Présentation générale
1.1- Systèmes à température uniforme
Nombre de BIOT exprime le rapport de la résistance thermique interne
d’un corps (conduction) à sa résistance thermique de surface
(convection + rayonnement) dans la direction de propagation de la chaleur
L*
*
h
.
L
Bi  .S 
1

h.S
V : volume du solide sur la surface baignée par le fluide
L
S
*
L* : longueur caractéristique de l’ensemble solide-fluide
1- Présentation générale
1.1- Systèmes à température uniforme
Des expériences ont permis d’admettre le critère distinctif suivant:
Corps minces :
Bi < 0,1
(L* petit et/ou  grand).
Corps épais :
Bi > 0,1
(h grand et/ou  petit).
Conduction morte en régime variable à une dimension
2- Milieux thermiquement minces :
cas d’une trempe d’un corps métallique (voir TD)
Hypothèse: Tcorps = uniforme
(car: Rconduction < Rconvection)
Solide
T0
Fluide T
La quantité de chaleur transmise
au fluide par convection pendant
le temps dt = la diminution de
l’énergie interne du corps
Le bilan thermique s’écrit :
 h.S T  T dt   .V .cdT
Conduction morte en régime variable à une dimension
2- Milieux thermiquement minces :
cas d’une trempe d’un corps métallique (voir TD)
Solide
T0
Fluide T
dT
h.S T  T     .V .c
dt
T  T0 à t  0
Solution :
T  T  Ae
T  T  (T0  T )e
h. S

t
 .V .c
Bt
Conduction morte en régime variable à une dimension
2- Milieux thermiquement minces :
cas d’une trempe d’un corps métallique (voir TD)
Solide
T0
L’expression de la quantité de chaleur transmise
au fluide (depuis t=0 jusqu’à l’instant t) est :
Fluide T
h. S


t
Vc 

Q   dt   hS (t )dt  VcT0  T  1  e


0
0


t
t
Conduction morte en régime variable à une dimension
2- Milieux thermiquement minces :
Analogie électrique: décharge d’un condensateur E  E0 e
 1 
t

RC


La capacité thermique du système Cth=ρVc est initialement chargée à un
potentiel thermique T0-T. En ouvrant l’interrupteur l’énergie accumulée dans
la capacité thermique est dissipée dans la résistance thermique Rth=1/hS.
Corps à température uniforme:
Analogie électrique
La quantité 1/(RthCth), qui a la dimension d’un temps, est la constante de
temps du système.
Conduction morte en régime variable à une dimension
3- Milieux thermiquement épais: milieu semi-infini
3.1- Définition :
On appelle milieu semi-infini le milieu défini par le demiespace. (Exemple: le sol)
T0
T(x,t)
T1
x
L’équation de la chaleur s’écrit alors:
 T 1 T

0
2
a t
x
2
3.2- Transformation de LAPLACE
Démarche mathématique qui facilite la résolution de l’équation de
la chaleur.
La transformée de LAPLACE de la fonction T(x,t) est donnée par :


T ( x, p )   e
0
 pt
T ( x, t )dt
Quelques transformées de LAPLACE
L’équation de la chaleur s’écrit :
 T 1 T


0
2
a t
x
2
La transformée de Laplace de l’équation de la chaleur conduit à :
2


d T 1
 p.T  T0  0
2
a
dx
2
T0
d T p
 T 
2
dx
a
a
avec :
T0 = T(x,0)
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
Soit un mur semi-infini, initialement à une température uniforme T0
et dont la face est portée brusquement à une température T1
constante.
En effectuant le changement de variable: (x,t) = T(x,t) - T0
Le système donnant la répartition des températures s’écrit:
 T 1 T

0
2
a t
x
T ( x,0)  T0 à t  0
 2 1 

0
2
a t
x
 ( x,0)  0 à t  0
T (0, t )  T1 à t  0
 (0, t )  T1  T0 à t  0
2
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
En appliquant la transformée de LAPLACE on obtient:

d  p
  0
2
a
dx

T1  T0
 (0, p) 
p
2
dont la solution générale est :

 ( x, p )  A e
_
 kx
 Be
kx
k
p
a
Or : T(x,t) et sa transformée (x,p) sont finies donc: B = 0
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
La condition de température en x=0 impose: A=(T1 – T0)/p.
d’où:

 ( x, p )  (T1  T0 )
e
 kx
p
La solution originale (x,t) _est donnée par la transformée
inverse de la fonction (x,p):
d’où:
 ( x, t )  (T1  T0 )erfc(u ) avec u 
x
2 at
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
 x
Ainsi : T ( x, t )  T0  (T1  T0 )erfc

 2 at




a
c
La fonction erfc(u) est la fonction d’erreur complémentaire définie par:
erfc (u) = 1 – erf (u).
La fonction erf (u) est définie par:
erf (u ) 
2
u

0
e
 y2
erf(0)=0
Fonction d’erreur erf (u)
erf()=1
erf(-u)= -erf(u)
dy
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
T1
T1
_
Courbes T(t) pour diverses
valeurs de x (a fixé).
Courbes T(x) pour diverses
valeurs de t (a fixé).
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
La densité de flux qui traverse la face x = 0 (en surface) est:
T1  T0
c
 T 
 0      (T1  T0 )
b
t
t
 x  x 0
b c
effusivité thermique du matériau
[W.m-2.K-1.s1/2].
La densité de flux pénétrant dans le milieu est
proportionnelle à son effusivité b.
Lorsqu’un milieu subit une « poussée thermique »
(T1-T0), il échange une densité de flux thermique .
3.3- Mur semi-infini soumis à un saut de température
La densité de flux qui traverse la face x = 0 (en surface) est:
T u
x
 T 
 0      
avec : u 
u x
2 at
 x  x 0
u
1

x 2 at
T
erf (u )
  2 u  y2 
2
u 2
 (T1  T0 )
 (T1  T0 ) 
(T1  T0 )e
 e dy   
u
u
u   0



pour x  0:  0 
(T1  T0 )
at
(T1  T0 )
c
0 
(T1  T0 )  b
t
t
3.4- Mur semi-infini soumis à une densité de flux constante
T(x,t)
T
0
x

L’équation de la chaleur s’écrit :
 T
1 T

 0
2
a t
x
2
T ( x  0, t )
t
Avec les conditions aux limites :

 T ( x,0)  T0

 T (, t )  T0

T (0, t )
 0  
x

3.4- Mur semi-infini soumis à une densité de flux constante
On effectue le changement de variable suivant : (x,t)=T(x,t)-T0
L’équation de la chaleur s’écrit :
 2 1 

0
2
a t
x
Avec les conditions aux limites :

  ( x,0)  0

  ( , t )  0

 (0, t )
 0  
x

La transformée de Laplace de l’équation de la chaleur conduit à :


d 2 1
 p.   ( x,0)  0
2
a
dx
3.4- Mur semi-infini soumis à une densité de flux constante
d p

.


0
2
dx a
2
D’où :
 ( x, p )  A.e
 k .x
 B.e
 k .x
p
k 
a
2
La température garde une valeur finie quand x tend vers l’infini
donc B=0 et nous en déduisant que :
 ( x, p )  A.e
k .x
3.4- Mur semi-infini soumis à une densité de flux constante
En appliquant La transformée de Laplace à la condition sur le flux
 (0, t )
 0  
x
on obtient :  0   d ( x  0)
p
dx
0
A
 .k . p
0 e
 ( x, p ) 
 k. p
k .x
3.4- Mur semi-infini soumis à une densité de flux constante
La transformation inverse de Laplace conduit au résultat suivant :

 0  a.t
 ( x, t ) 
2.
.e
 


 x

 2. a .t



2

 x 

 x.erfc
 2. a.t 

2
 x 

 x
 0  a.t  2. a.t 
T ( x, t )  T0 
2.
.e
 x.erfc
 

 2. a.t






3.5- Plaque plane soumise à un saut de température
Cas d’une tôle métallique d’épaisseur 2ℓ de température initiale T0
uniforme qui se trouve plongée brusquement dans un bain
isotherme à température Cte T∞.
Par raison de symétrie le plan médian (x=0) n’est traversé par
aucun flux.
Les systèmes donnant T(x,t) et sa transformée de Laplace s’écrivent:

 2
2
  T ( x, t ) 1 T ( x, t )
d  ( x, p ) p d  ( x, p )


0

0; 0 x

2
2
 dx
a
dt
a t
 x


T (0, t )  T0


(

,
p
)



p

T (, t )  T p  T ; t  0
 
 T (0, t )
 d  (0, p)

0
0
 dx
 x
avec : (x,t)=T(x,t)-T0
3.5- Plaque plane soumise à un saut de température
Solution :
 ( x, p )  A.e
d
CF1 :
dx
k .x
 B.e
 k .x k 2  p
a
0  A B
x 0


 k
k
CF 2 :
Ae e
p
 k .x

x 0

 A
 k
k
pe e

 k ( x)

 k (  x )
e
e
e
e
 ( x, p )   
 
 k .
k .
 2 k .
p (e
e )
p (1  e
)
k .x
3.5- Plaque plane soumise à un saut de température
En développant en série le facteur :


1
n ( 2 nk )

( 1) e
 2 k .
1 e
n 0
Ainsi:
e  k ( x )  e  k ( x )
 ( x, p )   
p

 (1) e
n ( 2 nk )
n 0
La solution finale est de la forme:

 ( 2n  1)  x 
 ( 2n  1)  x  
T ( x, t )  T0
n
  erfc 
 

( 1) erfc 
T  T0
2 at
2 at




n 0


3.5- Plaque plane soumise à un saut de température
APPLICATION :
T0  50C

T p  T  400C

5 2 1
a

1
,
4
.
10
m .s

  3.10  2 m

Tôle métallique
d’épaisseur 2ℓ
Evolution de la température au centre de
d’une tôle maintenue à la température
constante sur ses deux faces.
La température au centre de la tôle est donnée par :

 2n  1 
T (0, t )  T0  2(T  T0 ) ( 1) erfc 
 
 2 at 
n 0

n