Transcript Traitement numérique des images

TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES
Echantillonnage,
Filtrage numérique (convolution discrète)
Analyse en fréquence
(transformée de Fourier discrète)
1
échantillonnage (pixelisation)
g
g
g
g
g
g
de 4x4 à 128x128 pixels
2
3
attention à l’interprétation de l’échantillonnage
n’est pas un pavage de pixels
y
x
mais une « brosse » d’impulsions
variant en amplitude d’après la
théorie de l’échantillonnage,
l’image
y
x
4
interprétation fréquentielle de l’échantillonnage
la transformée de Fourier d’une brosse périodique d’impulsions de Dirac b(x,y)
est une brosse d’impulsions de Dirac B(u,v) dans le domaine des fréquences
dans le domaine spatial :l’échantillonnage correspond au produit de f(x,y) par b(x,y)
dans le domaine des fréquences : convolution de F(u,v) et de B(u,v)
la transformée de Fourier de l’image échantillonnée est périodique
pour reconstituer l’image continue dans le domaine spatial, il faut que
son support soit limité dans le domaine des fréquences
la fonction d’interpolation idéale est la tranformée de fourier inverse
de la fonction support dans le domaine des fréquences (carré en général)
5
Rappel du cas monodimensionnel :
- l’échantillonnage se traduit par la périodisation de la transformée de Fourier
- pour retrouver le signal initial, il ne faut pas que les répliques se chevauchent
0.4
0.2
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
128
Fréquence
6
4
2
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
128
Fréquence
- récupération du signal initial par filtrage passe bas
x(t ) 
sin  (t  n.Tech ) / Tech 
.x(nTech )

.(
t

n
.
T
)
/
T
n  
ech
ech


6
Rappel : la transformée de Fourier d’une suite régulière d’impulsions
(théorème de Shannon dans le cas monodimensionnel)
S(w)
1.5
s(t)
T.Fourier
0.5
1.5
0.5
.
w
.
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14 15
16
par transformée de Fourier
un produit dans le domaine spatial
devient une convolution
7
illustration du théorème d’échantillonnage
des signaux bidimensionnels
première étape
étude de la fonction d’échantillonnage
et sa transformée de Fourier
8
UNE BROSSE REGULIERE D IMPULSIONS
9
EST LE PRODUIT DE DEUX ‘‘LIVRES’’
=
x
y
y
x
x
l iv rey
l iv rex
y
x


( l iv reyl
 iv rex)
10
y
y
x
x
l iv rey
l iv rex
exemple avec
moins de pages
dans le livre
y
x
b ro sse
11
la transformée de Fourier de la brosse est la convolution des
transformées de Fourier des deux livres
(par transformation de Fourier, le produit devient une convolution)
T.Fourier
v
y
u
x
les transformées de Fourier des livres sont des peignes d’impulsions
leurs supports sont respectivement l’axe u et l’axe v
nous les nommons ¨PX(u,v) et PY(u,v)
LIVREX
l iv rex
v
v
*
u
u
LIVREX
LIVREY
12
la convolution de PY(u,v)
avec une des impulsions
(placée en u0) se traduit
par la création d’une réplique
de PY(u,v) translatée en u0
la convolution de PY(u,v) avec PX(u,v)
est la somme de toutes les répliques
de peignes décalées, c’est-à-dire une brosse
v
u
LIVREY
v
v
u
u
LIVREDE C
BRO SSE
13
deuxième étape :
utilisation de ce résultat pour interpréter
l’effet de l’échantillonnage spatial
dans le domaine des fréquences
14
dans le domaine spatial, l’échantillonnage d’une fonction f(x,y)
se traduit comme un produit de f(x,y)
par la fonction d’échantillonnage (la brosse)
y
y
x
f
avant échantillonnage
x




(g)
après échantillonnage
15
autre image où les variations sont plus rapides
(il y a plus de hautes fréquences)
y
y
x
x
f
avant échantillonnage




(g)
après échantillonnage
16
la transformée de Fourier de la fonction échantillonnée est la convolution
de la transformée F(u,v) de f(x,y) par la transformée de Fourier de la brosse
qui est elle aussi une brosse
la convolution par la brosse est la somme des répliques décalées à la
position de chacune des impulsions de la brosse
v
v
u


FDEC
u


G DEC
17
retrouver la fonction dans le domaine spatial est équivalent à
la retrouver dans le domaine des fréquences
v
v
u
u


G DEC


FDEC
il ne faut garder qu’une composante fréquentielle
il ne faut pas que les répliques décalées se chevauchent
18
ici le pas d’échantillonnage est trop grand et les répliques se chevauchent
il n’est pas possible de retrouver la fonction initiale par une simple sélection
v
v
u
u


FDEC


G DEC
19
v
v


FDE C
u


G DEC
u
sélectionner la réplique = effectuer un filtrage passe bas
20
DANS LE DOMAINE SPATIAL : produit par la « brosse » d’échantillonnage
DANS LE DOMAINE DES FREQUENCES :
convolution de la tf par une brosse d’impulsions
= répétition du spectre suivant la brosse
domaine spatial
domaine des fréquences
« spectre » de l’image initiale
(fonction continue de l’espace)
f
échantillonnage


FC
reconstruction
reconstitution de l’image initiale
par filtrage passe bas (interpolation)
« spectre » de l’image
échantillonnée
21
g


G
Remarque : il est possible de choisir des motifs de « pavage » différents
mieux adaptés aux caractéristiques spectrales de l’image à échantillonner
par exemple si le spectre de l’image est à
symétrie circulaire,
le support hexagonal permettra un pavage
plus compact que le support carré
ce qui se traduira dans le domaine spatial par
un échantillonnage en quinconce
plus économique que l’échantillonnage
sur un motif carré
22
effectuer le filtrage dans le domaine spatial
calcul de la réponse impulsionnelle du filtre par transformée
de Fourier inverse : c’est la transformée de Fourier inverse
d’un pavé (produit de deux créneaux monodimensionnels en u et v)
y
y
x
x
23
st
s
pour reconstruire l’image à partir de ses échantillons (pixels) il faut que
son support spectral soit limité à la moitié de la fréquence d’échantillonnage
dans les deux directions u et v ;
on en déduit (par transformée de Fourier
inverse de la fonction constante sur un support carré) la réponse impulsionnelle
du filtre interpolateur
interpolation idéale (voir le cours de traitement numérique du signal)
hh
.
24
NOTER LES
OSCILLATIONS
« Parasites »
25
.
application à la rotation
l’antécédent d’un pixel n’appartient pas à la grille !
calcul par interpolation de g ( p, q)  f ( p.cos   q.sin  , p.sin   q.cos  )
sin  .( p. cos   q.sin   m) sin  .(  p.sin   q. cos   n)
f ( p, q)   f (m, n).
.
 .( p. cos   q.sin   m)
 .(  p.sin   q. cos   n)
m n
( p.cos   q.sin  )
( p.sin   q.cos  )
q

p
26
impulsion « parfaite »
avant rotation
g h 2 55 0 .8  2 550
 .2
impulsion après rotation
on voit les oscillations
des fonctions sinc
gh
g h 2 55 0 .8  2 550
 .2
27
gh
échantillonnage
f ( x, y )   f (m, n).
m n
reconstruction par interpolation
sin  .( x  m) sin  .( y  n)
.
 .( x  m)
 .( y  n)
difficulté : somme infinie, la convergence n’est pas assurée !
combien faut il calculer de termes pour que le résultat ait une précision suffisante
(par exemple 10bits soit 1/1000)
approximation : par des fonctions prenant en compte un nombre plus réduit de
pixels dans le voisinage de l’échantillon traité
f ( x, y )   f (m, n).h( x  m, y  n)
m n
surfaces de Bézier
http://www.mathcurve.com/surfaces/beziersu/beziersu.shtml
28
reconstruction pratique
interpolation linéaire par morceaux
réponse impulsionnelle pyramidale
29
éventuellement interpolation plus élaborée
tenant compte des caractéristiques spécifiques
de l’image :
régions lisses, contours nets par exemple
30
FAUT IL RESPECTER
LES CONDITIONS DE SHANNON ?
apparition de franges sur les contours
31
inconvénient du filtre passe bas idéal :
les oscillations parasites (Gibbs, Fraunhofer, Airy)
32
transformée de Fourier discrète bidimensionnelle
pas de perte d’information : calculer autant de valeurs dans le domaine
des fréquences que dans le domaine spatial (transformée de Fourier inverse)
T 1 T 1
 u.x  v. y 
f ( x, y )  2 .   F (u, v). exp 2j.

T
T u 0 v 0


1
(expression de la transformée inverse)
chaque composante étant calculée par la transformée
F (u, v) 
T 1 T 1

x 0 y 0
 u.x  v. y 
f ( x, y) exp  2j.

T


valeurs discrètes (ici entières) de u et de v tout comme de x et de y
33
Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète
la transformée de Fourier discrète (signal échantillonné) est périodique
fréquence
d’échantillonnage
½ fréquence
d’échantillonnage
fréquence (0,0)
il est préférable de placer la fréquence (0,0) au centre
34
Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète
35
Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète
36
Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète
37
Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète
38
Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète
la transformée de Fourier discrète (signal échantillonné) est périodique
il est préférable de placer la fréquence (0,0) au centre
39
Calcul basé sur la transformée
de Fourier rapide monodimensionnelle
F (u, v) 
T 1 T 1

x 0 y 0
F (u, v) 
T 1 T 1
 
y 0 x 0
 u.x  v. y 
f ( x, y) exp  2j.

T


 u.x 
 v. y 
f ( x, y) exp  2j.
 exp  2j.

 T 
 T 
on commence par calculer la TF monodimensionnelle de chaque ligne
G (u, y ) 
T 1

x 0
 u.x 
f ( x, y ) exp  2j.

 T 
puis la TF monodimensionnelle de chaque colonne de ce tableau intermédiaire
T 1
v. y


F (u, v)   G(u, y ) exp  2j.

 T 
y 0
40
1. calcul de la transformée monodimensionnelle de chaque ligne de l’image et rangement
dans un tableau où la variable en abscisse est u et non plus x
y
G (u, y ) 
T 1

x 0
 u.x  y
f ( x, y ) exp  2j.

 T 
f (x,y)
G (u,y)
x
u
2. sur ce deuxième tableau, calcul de la transformée monodimensionnelle
colonne par colonne et rangement dans un tableau où la variable
en ordonnée est maintenant v
v
y
F (u,v)
F (u, v) 
T 1
y 0
u
 v. y 

T


 G(u, y) exp  2j.
G (u,y)
u
41
Convolution 2D par
transformée de Fourier / produit /
transformée de Fourier inverse
g ( x, y )   h( x  x' , y  y ' ) f ( x' , y ' )
x' y '
f ( x, y )
F (u , v )
h ( x, y )
H (u , v )
IMAGE
INITIALE
EFFET
g ( x, y )
G (u , v )
IMAGE
MODIFIEE
G(u, v)  H (u, v).F (u, v)
42
Convolution 2D par
transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse
T 1 T 1
 u.x  v. y 
F (u, v)    f ( x, y) exp  2j.

T


x 0 y 0
1 T 1 T 1
 u.x  v. y 
f ( x, y )  2 .   F (u, v). exp 2j.

T
T u 0 v 0


valeurs discrètes (ici entières) de u et de v tout comme de x et de y
échantillonnage spatial = périodisation de la transformée de Fourier
échantillonnage de la transformée = périodisation dans le domaine spatial
attention : tout se passe comme si
les images et leurs transformées étaient périodiques
43
Illustration avec la transformée de Fourier bidimensionnelle
Lorsqu’on effectue une convolution (nécessairement circulaire)
en utilisant la transformée de Fourier discrète, le résultat est une
fonction périodique dont la période est la dimension du signal (ici 128)
convolution de f et de g
le résultat de la convolution qui déborde en haut de l’image se
retrouve reproduit en bas du fait de la périodisation implicite
44
cos
cos
le résultat est réel (mais peut se déduire de la transformée de Fourier)
utilisée en compression jpeg et mpeg
45
application à des médaillons 8x8 ; compression par élimination des composantes
de très faible amplitude, et quantification grossière des amplitudes faibles
46
VISUALISATION DE MEDAILLONS 8x8 COMPRESSES JPEG
47
48
original ou
compression à 50%
compression
à 25%
http://www.egr.msu.edu/waves/people/Ali_files/DCT_TR802.pdf
49
transformée en ondelettes (wavelets) JPEG2000
antonini, barlaud, mathieu (traitement d’images SI5)
basses fréquences
horizontales
basses fréquences
verticales
filtrage
filtrage
hautes fréquences
verticales
hautes fréquences
horizontales
http://fr.wikipedia.org/wiki/Compression_Ondelette_(Images)
50
v ert
x   0  l ig nes( rou ge)  1
51
points communs entre la DCT et la compression par ondelettes
les hautes fréquences sont peu
énergétiques, il n’est pas nécessaire
d’utiliser beaucoup de bits pour les coder
1 bit
transformée
de Fourier


l og fc
 
0 bit
2bits
3bits et plus
52


 
 
signaux aléatoires bidimensionnels
les définitions et les propriétés fondamentales sont des extensions directes
de celles qui sont données en traitement du signal monodimensionnel
moyenne, variance
autocorrélation
densité spectrale
transformée de Fourier
de la fonction d’autocorrélation
stationnarité : invariance spatiale des propriétés statistiques
filtrage des signaux aléatoires
53
bruit blanc : échantillons indépendants
y
y
x
x
autocorrélation nulle
sauf à l’origine m=n=0
(valeur de la variance)
y
x
v
densité spectrale
constante mais
fluctuations
importantes
autour de cette
moyenne
constante
u
54