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Télédétection et
Traitement des images
La résolution
Cours QI : Résolution 1/188
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Mauvaise restitution des détails
Cours QI : Résolution 2/188
Bonne restitution des détails
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Introduction (2/8)
 Qu’est-ce



que la résolution ?
la réponse n’est pas facile : terme vague pour lequel on rencontre
plusieurs « définitions »
capacité d ’un système imageur à restituer l’information contenue
dans le paysage observé ( par exemple, la netteté)
quelques « définitions » usuelles :




pouvoir séparateur : distance mini pour séparer 2 objets voisins (lignes, points ....)
taille du détecteur élémentaire projeté au sol et/ou pas d ’échantillonnage
champ de vue instantané (IFOV en anglais) : taille angulaire du détecteur
élémentaire
nombre maximal perceptible de paires de lignes par unité de longueur d’un motif
périodique ( = fréquence spatiale maximale perceptible)
Cours QI : Résolution 3/188
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Introduction (3/8)
 Traduction



quantitative de notions subjectives :
Détecter  moindre résolution
Reconnaître  haute résolution
Identifier des objets présents dans une image  très haute résolution
 Difficile
car dépendant de l’application
 Ne peut se résumer à un chiffre car interviennent :

Les performances instrumentales



la capacité de l ’instrument à restituer les détails les plus fins
le niveau de bruit (cf. radiométrie des images)
La grille d’échantillonnage
Cours QI : Résolution 4/188
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Introduction (4/8)
 Effet
d’une mauvaise restitution des contrastes
FTM élevée
Cours QI : Résolution 5/188
FTM moyenne
FTM faible
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Introduction (5/8)
 Trop
de bruit peut noyer un détail haute fréquence
Aucun bruit
Cours QI : Résolution 6/188
Bruit important
Bruit très important
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Introduction (6/8)
 Echantillonnage
inadapté à l’instrument
Image bien échantillonnée
Cours QI : Résolution 7/188
Image sous-échantillonnée
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Introduction (7/8)
 Point

« résolution RADIOMETRIQUE » :



important de vocabulaire :
capacité à distinguer deux zones étendues de réflectances voisines
exprimée en pas de quantification ou en unité physique
« résolution SPATIALE » :


restitution fidèle des détails du paysage (netteté des images + échantillonnage correct)
exprimée en mètres
Cours QI : Résolution 8/188
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Introduction (8/8)
 Comment



aborder la notion de résolution ?
on passe en revue les différents éléments constituant le système
on privilégie le comportement vis à vis des variables d’espace
en simplifiant :



radiométrie  comportement du système face à un paysage uniforme
résolution spatiale  comportement du système face aux variations spatiales suivant x
et y du paysage
résolution = couplage des deux
 Démarche



adoptée :
Analyse de la chaîne Image : modélisation des différents contributeurs physiques
On aboutira à un modèle où la convolution joue un rôle central
Analyse plus aisée dans le domaine de Fourier : TF(h*g)=TF(h).TF(g)
Résolution mesurée dans le plan de Fourier
Cours QI : Résolution 9/188
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Plan de l’exposé (1/2)
 Analyse






Vue d’ensemble
L’atmosphère
Le télescope
Les détecteurs
Le reste de la chaîne de prise de vue
Le modèle de prise de vue dans le domaine spatial
 Passage


de la chaîne image
au domaine fréquentiel
Le modèle de prise de vue dans le domaine de Fourier
Les fonctions de transfert des éléments de la chaîne et la fonction de
transfert globale
Cours QI : Résolution 10/188
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Plan de l’exposé (2/2)
 Effet


de l’échantillonnage
Rappels théoriques (1D)
Cas de la grille image (2D)
 Adaptation
échantillonnage / instrument
 Traitement des images



Interpolation des images
Déconvolution des images
Débruitage des images
 Bibliographie
 Annexe
: Rappels d’analyse de Fourier
Cours QI : Résolution 11/188
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Analyse de la chaîne image
Cours QI : Résolution 12/188
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Analyse de la chaîne image (1/25)
Vue d’ensemble
 Cas
typique : système pushbroom type SPOT
Paysage L
Image I
Instrument
détecteurs
optique
(x,y) continus
L(x,y) continu
Cours QI : Résolution 13/188
(x,y) continus
I(x,y) continu
électronique
CAN
(x,y) échantillonnés
I(x,y) continu
n bits
(x,y) échantillonnés
I(x,y) quantifié
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Analyse de la chaîne image (2/25)
Vue d’ensemble
 Chacun
des éléments constituant la chaîne instrumentale est
assimilé à un système linéaire et spatialement invariant


linéarité :
invariance spatiale :
I(aP1 + bP2) = aI(P1)+bI(P2)
I(Pdécalé) = (I(P))décalé
 L’effet
de chaque contributeur i est alors modélisable par un
produit de convolution avec une fonction hi appelée réponse
impulsionnelle :
Si(e) = e*hi
 hi est par définition l’image d’un point par le contributeur i, en
général une tache
 La réponse impulsionnelle globale est le produit de convolution
des réponses impulsionnelles des divers contributeurs
Cours QI : Résolution 14/188
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Analyse de la chaîne image (3/25)
L’atmosphère
 Les


phénomènes et leur impact :
absorption gazeuse  atténuation, pas d’impact sur la résolution
diffusion par les molécules et les aérosols




lumière issue du sol n’atteignant pas le télescope : atténuation
lumière n’ayant pas rencontré le sol : fond
lumière issue de l’environnement du point visé : fond ou dégradation de la résolution
turbulence  modification de l’indice de réfraction :


scintillement : bruit
flou : dégradation de la résolution
Cours QI : Résolution 15/188
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Analyse de la chaîne image (4/25)
L’atmosphère
 La

diffusion :
la contribution de l’environnement fait intervenir une fonction radiale
décroissante hdif dont le rayon du support S est l’ordre du km
Lenv ( x , y ) 
 L
sol
( x 0 , y0 ) hdiff ( x  x 0 , y  y0 )dx0 dy0  Lsol * hdiff ( x , y )
S

effet de fond pour les échelles inférieures à  100 m :
hdiff ( x  x 0 , y  y0 )  hdiff ( x 0 , y0 )
Lenv ( x , y ) 
 L
sol
( x 0 , y0 ) hdiff ( x 0 , y0 )dx0 dy0  constante
S

effet de flou pour les échelles supérieures à  100 m
Cours QI : Résolution 16/188
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Analyse de la chaîne image (5/25)
L’atmosphère
 La



turbulence :
variations d’indice  déformation de la surface d’onde  trajet non
rectiligne de la lumière  effet d’environnement
on peut reprendre le formalisme vu pour la diffusion
la contribution de l’environnement fait intervenir une fonction radiale
décroissante hturb dont le rayon du support S est l’ordre de quelques
centimètres



 effet négligeable aux échelles supérieures ou égales à 20 cm
 effet de flou aux échelles inférieures ou égales à 20 cm
l’impact est d’autant plus fort que la turbulence est loin de la source


 fort en astronomie
 faible pour l’observation de la terre
Cours QI : Résolution 17/188
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Analyse de la chaîne image (6/25)
L’atmosphère
 Rôle

de la distance entre la source et les turbulences :
Source loin des turbulences (astronomie) :
Turbulence
Le front d’onde
varie localement
selon la turbulence
source
Cours QI : Résolution 18/188
capteur
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Analyse de la chaîne image (7/25)
L’atmosphère

Source près des turbulences (observation de la terre) :
Turbulence
Le front d’onde
varie assez peu
localement
source
Cours QI : Résolution 19/188
capteur
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Analyse de la chaîne image (8/25)
Le télescope
 Cf

cours diffraction et optique de Fourier :
le télescope est un système linéaire vis à vis des luminances (lumière
incohérente) et spatialement invariant




l’image d’un point lumineux est une tache même pour un télescope parfait du fait de la
diffraction : sa réponse impulsionnelle hopt(x,y)
la connaissance de hopt(x,y) suffit pour caractériser le télescope :
 paysage = somme de points lumineux pondérés juxtaposés
 image = somme pondérée des réponses impulsionnelles juxtaposées
plus hopt est large, moins l’instrument est résolvant
dans le cas réel, d’autres phénomènes que la diffraction vont contribuer
à élargir hopt : aberrations, défauts de réalisation ....
Cours QI : Résolution 20/188
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Analyse de la chaîne image (9/25)
Le télescope
 Notations





i_géom = image prévue par l ’optique géométrique
i = image réelle
P = paysage
hopt = réponse impulsionnelle
g = grandissement
 Optique

:
géométrique :
i _ géom( x , y)  P (gx , gy)
i_geom représente le paysage au grandissement près
 Optique
de Fourier :
i( x, y)   i _ géom( x0 , y0 ).hopt ( x  x0 , y  y0 )dx0 dy0
 (i _ géom* hopt )(x, y)

LISSAGE de i_geom par la réponse impulsionnelle
Cours QI : Résolution 21/188
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Analyse de la chaîne image (10/25)
Le télescope
 Analogie
avec l ’électronique :
Temps t (seconde)
Position x,y (mètre)
fréquence f d’une sinusoïde temporelle (hertz)
fréquence spatiale (fx,fy) d’un motif périodique (mètre-1)
stationnarité
invariance spatiale
réponse impulsionnelle h(t)
tache image h(x,y)
Cours QI : Résolution 22/188
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Analyse de la chaîne image (11/25)
Le télescope


Point lumineux en entrée de l’instrument

physiquement : « impulsion » optique

mathématiquement : dirac d(x,y)
Résultat dans l’image:



physiquement : réponse à un point lumineux = tache image
mathématiquement : h(x,y)* d(x,y)=h(x,y)
Normalisation de la réponse impulsionnelle

entrée = paysage uniforme de luminance
L
 

sortie = image uniforme de niveau L.
 h
opt ( x  u,
 

 
y  v )dudv  L.
 h
opt ( x,
y)dxdy
 
normalisation de h pour que sortie = entrée lorsque le paysage est uniforme
 
 h
opt ( x,
y)dxdy  1
 
Cours QI : Résolution 23/188
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Analyse de la chaîne image (12/25)
Le télescope
 Interprétation

physique (suite) :
correspondance entre tache image et surface contribuant au niveau du
pixel dans l’image :
Voisinage de B contribuant
à la mesure en B ’
Image du point A = tache centrée sur A ’
A’ = image géométrique de A
B
A’
B’
A
Cours QI : Résolution 24/188
Altitude
Focale
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Analyse de la chaîne image (13/25)
Le télescope
 Exemple
: réponse impulsionnelle d’un télescope à pupille
circulaire limité par la diffraction

théorie : réponse impulsionnelle = |TF(circ(r))|² = fonction d’Airy
1
Cours QI : Résolution 25/188
TF
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Analyse de la chaîne image (14/25)
Les détecteurs
 Surface

photosensible du détecteur élémentaire
rectangle de côtés px et py
entre détecteurs élémentaires = x
 Distance entre les lignes = y
 Distance


y=Vsol .te,
en général on règle te (temps d’échantillonnage) pour que x= y
x
px
py
y
Cours QI : Résolution 26/188
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Analyse de la chaîne image (15/25)
Les détecteurs
 Intégration




sur la surface élémentaire :
Luminance équivalente L
Surface du détecteur Sd
Quantité de charges Q
Q( x0 , y0 ) ~
 L( x, y)ds
Sd
cette quantité peut s’écrire comme un produit de convolution avec une
fonction hdétecteur,valant idéalement 1 sur sa surface photosensible et 0 en
dehors.
 
Qs ( x0 , y0 ) ~
  L( x, y)h
( x  x0 , y  y0 )dxdy  L * hdétecteur( x0 , y0 )
détecteur

*
Cours QI : Résolution 27/188
Convolution
(1D)
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Analyse de la chaîne image (16/25)
Les détecteurs
 Intégration


sur la surface élémentaire
hdétecteur est la réponse impulsionnelle associée au détecteur
détecteur parfait



tout le détecteur est photosensible
la sensibilité est constante sur toute la surface photosensible
un détecteur n’a pas d’influence sur ses voisins
hdétecteur idéal = 1 sur la surface normalisée du détecteur, 0 à l’extérieur
hdétecteur idéal = produit séparable d’une fonction porte en x par une fonction porte en y

détecteur réel


un détecteur influe sur ses voisins (diffusion des charges)
h détecteur réel ne vaut pas strictement 0 à l’extérieur du détecteur
Cours QI : Résolution 28/188
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Analyse de la chaîne image (17/25)
L’effet de filé
 Déplacement


un bougé durant la prise de vue introduit du flou
cas général d’un satellite défilant :



durant le temps d’intégration : effet de filé
satellite défilant sur paysage fixe = paysage défilant et satellite fixe
effet = moyennage du paysage dans la direction de défilement
cas particulier du pushbroom



défilement orthogonal à la ligne détectrice : vitesse sol V, temps de pose ti Dist=Vti
en général ti = te
moyennage du paysage dans la direction y sur une distance égale à Vti
L filé ( x0 , y0 ) 
Vti / 2
 L( x , y
0
0
 y )dy
Vti / 2

convolution avec une fonction porte 1D de la variable y, de largeur Vti
Cours QI : Résolution 29/188
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Analyse de la chaîne image (18/25)
L’effet de filé
 Illustration
du filé: effet de flou monodimensionnel
Mire horizontale floue
référence
Cours QI : Résolution 30/188
Filé vertical 5 pixels
Contour vertical flou
Filé horizontal 5 pixels
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Analyse de la chaîne image (19/25)
Echantillonnage du signal continu
 Signal

du détecteur voisin :
valeur du pixel (i,j+1)
valeur du même produit de convolution pris au point (x0+x,y0)
 Signal

valeur du pixel (i,j)
résultat d’un produit de convolution en (x0,y0)
 Signal

issu d’un détecteur :
sur la ligne suivante : valeur du pixel (i+1,j)
valeur du même produit de convolution pris au point (x0,y0+y)
y
x
Cours QI : Résolution 31/188
Colonne j
Colonne j+1
Ligne i
Ligne i+1
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Analyse de la chaîne image (20/25)
Echantillonnage du signal continu
 En
sortie détecteur, l’image correspond donc au produit de
convolution obtenu pris sur une grille:
S  A.L * hatm * hopt * hdétecteur * h filé ( x, y)  d ( x  jx, y  iy)
i, j
NB: dans tout ce qui suit, les réponses impulsionnelles sont normalisées (intégrale = 1)
A est le coefficient d ’étalonnage absolu( conversion luminance / compte numérique )
Cours QI : Résolution 32/188
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Analyse de la chaîne image (21/25)
le reste de la chaîne de prise de vue
 Les
phénomènes linéaires intervenant après l’échantillonnage
par le détecteur



ex : diffusion, inefficacité de transfert
peuvent être restitués par des réponses impulsionnelles élémentaires
convolution discrète
 Regroupement
des réponses impulsionnelles élémentaires avant
le peigne représentant l’échantillonnage :

Commutativité de l’échantillonnage et de la convolution discrète
Cours QI : Résolution 33/188
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Analyse de la chaîne image (22/25)
le reste de la chaîne de prise de vue
 L’amplification,
la mise en forme du signal ne joue que sur
l’amplitude globale du signal et ne modifie pas la réponse
impulsionnelle
 La
chaîne d’acquisition ajoute au signal convolué/échantillonné
différents bruits (cf radiométrie)
Cours QI : Résolution 34/188
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Analyse de la chaîne image (23/25)
modèle de prise de vue dans le domaine spatial
 Notations
:

h1, h2 … hn réponses impulsionnelles élémentaires normalisées

h = h1*h2*…*hn réponse impulsionnelle globale normalisée

A : coefficient d’étalonnage absolu

 d(x  jx, y  iy)  P eignede diracassociéà l'échantillonnage
i, j
 Modèle
:
image A. paysage* h( x, y)  d ( x  jx, y  iy)  bruit
i, j
Cours QI : Résolution 35/188
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Analyse de la chaîne image (24/25)
modèle de prise de vue dans le domaine spatial
 Exemple


: SPOT
pas d’effet lié à l’atmosphère
télescope : hopt(x,y)  tache d’Airy =

2J 1  






x 2  y2
F
x y
2
F

D 


(plan focal)
2
D
 y 
 x 
1

intégration détecteur : hdétecteur( x, y ) 
  rect
rect
p 
px p y
 px 
 y
filé : h filé ( x, y)  1 rect y .d x 
Vti
 Vti 
réponse impulsionnelle globale = hopt* hdétecteur*hfilé
Cours QI : Résolution 36/188
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Analyse de la chaîne image (25/25)
résumé
 L'instrument
est assimilé à un système linéaire et spatialement
invariant
 L’effet
de chaque élément de la chaîne instrumentale i est alors
modélisable par un produit de convolution avec une fonction hi
appelée réponse impulsionnelle
 Les
détecteurs provoquent un échantillonnage
 Au
final : sortie = entrée*(réponse impulsionnelle).peigne
Cours QI : Résolution 37/188
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Passage
dans le domaine fréquentiel
Cours QI : Résolution 38/188
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Le domaine fréquentiel (1/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
dans le domaine spatial  produits de convolution
 Passage dans le domaine de Fourier pour :
 Modèle


transformer ces produits de convolution en produits simples
interpréter plus facilement le modèle en termes de fréquences spatiales
 Modèle

dans le domaine fréquentiel :
on l’obtient par Transformation de Fourier du modèle dans le domaine
spatial :
j
i 

T Fimage   T Fpaysagef x , f y  Hf x , f y *  δ f x  , f y  
Δx
Δy 
i, j 
Cours QI : Résolution 39/188
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Le domaine fréquentiel (2/18)
Les fréquences spatiales
y
y
x
x
sin2f 0 x 
sin2f 0 xcosθ  ysinθ
constantea 0
Hautefréquence2D
δ(x)1(y)
Domaine spatial
1
δf x  f 0   δf x  f 0 
2i
fy

 
 
1  '
δ f  f 0  δ f  f 0'
2i

Domaine de Fourier
continu: a 0 .δ
4 pics δ en HF
1(fx )δf y 
fy
fx
Cours QI : Résolution 40/188
fx
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Le domaine fréquentiel (3/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
 fx,fy
sont des fréquences spatiales et s’expriment en mètre-1
 H(fx,fy)
= fonction de transfert globale, produit des fonctions de
transfert élémentaires :

 |H

H(fx,fy) = H1(fx,fy).H2(fx,fy). … Hn(fx,fy)
(fx,fy) |=Fonction de Transfert de Modulation (FTM)
d ( fx 
i, j
j
i
,y )
x
y
Cours QI : Résolution 41/188
peigne de pas  1 ; 1    fex; fey 
 x y 
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Le domaine fréquentiel (4/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
 fex

et fey sont les fréquences d’échantillonnage (m-1)
fx
et
fex
fy
fey
 Propriétés
sont des fréquences spatiales normalisées
:
 

H(0,0) = 1 puisque par normalisation
  h( x, y)dxdy  1


Hors traitement, FTM(fx,fy) = fonction décroissante

h(x,y) réelle et paire  H(x,y) réelle et paire

Attention ! par abus de langage on confond souvent FTM et Fonction de
transfert .
Cours QI : Résolution 42/188
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Le domaine fréquentiel (5/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
 Interprétation



physique de la FTM :
mire sinusoïdale de période a variant selon x  fréquence pure fx=1/a
(contraste image de la mire) / (contraste de la mire) = FTM(fx=1/a, fy=0)
d’où FTM élevée  bonne restitution des contrastes  netteté
FTM faible  mauvaise restitution des contrastes  flou
Cours QI : Résolution 43/188
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Le domaine fréquentiel (6/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
Entrée
Sortie
instrument
A
A’
Si on fixe le contraste A et que l’on mesure le contraste A’ à chaque fréquence,
la courbe A’/A est la FTM
Cours QI : Résolution 44/188
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Le domaine fréquentiel (7/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
Image
en entrée
le contraste diminue lorsque la fréquence augmente
Image
filtrée
Cours QI : Résolution 45/188
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Le domaine fréquentiel (8/18)
Le modèle dans le domaine de Fourier
 Effet
de la FTM sur l’image : restitution des contrastes
“Bonne” FTM : image nette
Cours QI : Résolution 46/188
“Mauvaise” FTM : image floue
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Le domaine fréquentiel (9/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM

de l’atmosphère :
1
Diffusion :
0,9
SPOT
FTM
0,8
0,7
0,6
0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Fr é que nce ( k m -1 )

Turbulences :
FTM due à la turbule nce (modè le de Kope ika )
1
0,9
0,8
0,7
FTM
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Fr é que nce ( m -1 )
Cours QI : Résolution 47/188
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Le domaine fréquentiel (10/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM

Limitation théorique due à la diffraction optique :


optique :
Pupille circulaire : taille angulaire de la tache de diffraction = 1.22 / D
D : diamètre de l'optique collectrice et  la longueur d'onde
 taille
=
1, 22
 taille
=
1,22
F
D
H
dans le plan focal (F, focale du télescope)
au sol
D
fc 
D

Les fréquences spatiales au-delà de

Les fréquences spatiales sont atténuées entre 0 et fc

ne sont pas transmises.
Ordre de grandeur : SPOT PA

=0.6 µm, D=0.33 m f=1.082 m

A comparer à la taille du détecteur (13x13 µm2) !
Cours QI : Résolution 48/188
diamètre de la tache=2.4 µm
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (11/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM
optique (suite)

Cas général : la FTM optique est la fonction d’autocorrélation de la pupille d’entrée
(aire de l’intersection en fonction du décalage)

Pour l’intrument à pupille circulaire
limité par la diffraction:
 f  2
FTM   
 fc  
Réponse impulsionnelle
théorique de l’optique
2 







Arccos f    f  1   f  
 f   f 
 f  

c 
c 


 c 

FTM théorique de l’optique
f < fc
f > fc
Pas de recouvrement si f > diamètre
fréquentiel du disque
Fréquence de coupure fc = D/
Cours QI : Résolution 49/188
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (12/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM


optique (fin):
Chaque combinaison optique théorique possède une FTM dégradée par
rapport à ce cas idéal (astigmatisme, aberrations, occultation)
Les problèmes de réalisation (homogénéité, polissages...) et de
positionnements relatifs (défocalisation, tilts...) des optiques dégradent
encore la performance.
Diverses modélisations :
Diffraction sans occultation
1.0

0.9
0.8


linéaire
diffraction
dégradation % diffraction
FTM_réelle
0.7
0.6
FTM

Modèle linéaire
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
fréquence normalisée
Cours QI : Résolution 50/188
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (13/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM

Détecteur :
Le détecteur va intégrer le signal sur sa surface : sa réponse
impulsionnelle théorique est une fonction porte bidimensionnelle dont
la transformée de Fourier est : FTM ( f , f )  sin . px. f x  . sin . py. f y 
x
y
 . px. f x
 . py. f y
avec fx et fy les fréquences spatiales suivant les axes X (barrette) et Y (défilement) et
px et py les tailles du détecteur selon X et Y
Réponse impulsionnelle
théorique du détecteur
FTM théorique du détecteur
En réalité, la FTM
est dégradée, surtout
dans la direction fx
(diffusion de charges
interdétecteurs)
Cours QI : Résolution 51/188
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (14/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM
de Filé :
Le détecteur bouge par rapport au paysage pendant le temps
d'intégration ti : ce déplacement va moyenner le signal selon l'axe Y
sur une longueur de V.ti. La FTM associée est donc :
Réponse impulsionnelle du filé
sinVtif y 
FTM ( f x , f y ) 
Vtif y
h( x, y)  d ( x).1[ Vti/ 2,Vti/ 2] ( y)

Réponse impulsionnelle de filé
Cours QI : Résolution 52/188
FTM de Filé
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (15/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 FTM


globale :
La FTM est essentiellement le produit de 3 contributeurs :

Télescope : la FTM est d’autant meilleure que le rapport focale/diamètre est petit
 coupure de l’optique : D/ en rad-1, D/(F) en m-1 dans le plan focal

Détecteur : la FTM est liée à la taille du détecteur (px; py)
 coupure du détecteur : (F/px; F/py) en rad -1, (1/px; 1/py) en m-1 dans le plan focal

Filé : la FTM est liée au déplacement du point visé pendant le temps d’intégration
 coupure du filé selon l’avancement : H/(Vti) en rad -1, H/(FVti) dans le plan focal
L’instrument est un filtre passe-bas pour les fréquences spatiales, sa
fonction de transfert est globalement décroissante
Cours QI : Résolution 53/188
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (16/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale

Exemple : allure de la courbe de FTM globale (coupes) pour SPOT :
S1 HRV1 Pa
1
1
Fonction de transfert
colonne
Fonction de transfert ligne
S1 HRV1 Pa
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
0
1
2
0,6
0,4
0,2
0
3
0
1
2
3
-0,2
Fréquence normalisée
Cours QI : Résolution 54/188
0,8
Fréquence normalisée
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (17/18)
Fonctions de transfert élémentaires et globale
 Récapitulatif
:
Réponse impulsionnelle
élémentaire
Téléscope à
pupille circulaire
r


2 J1  π
D
 λF 
r
π
D
λF
r x y
2
Détecteur
rectangulaire
Filé
Cours QI : Résolution 55/188
2

f
2
Arccos
π
 fc

(Au plan focal)
 x
1
rect
pxpy
 px
 y

rect
 py


δ(x)
 y 
rect

Vti
 Vti 
Fonction de transfert
élémentaire




Où :
fc 
D
λF
 f
  
  fc
2

f  
 1   

 f c  

et f  f x2  f y2

sincπ.p x .f x .sinc π.p y .f y



sinc π.Vti.f y .
V4.2 © CNES 2004
Le domaine fréquentiel (18/18)
Résumé
 La


Transformation de Fourier transforme :
le produit de convolution en multiplication simple
un peigne de pas p en un peigne de pas 1/p
 Au
final :
TF(sortie) = TF(entrée)(fonction de transfert)*peigne(1/p)
 Instrument
Cours QI : Résolution 56/188
= filtre passe-bas
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage
Cours QI : Résolution 57/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (1/24)
 Modèle
fréquentiel de prise de vue :

j
i 

T Fimage   T Fpaysage f x , f y  Hf x , f y *  δ f x  , f y  
Δx
Δy 
i, j 

Peigne fréquentiel
Analyse fréquentielle des effets de la convolution
par le peigne d’échantillonnage
Cours QI : Résolution 58/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (2/24)
 Introduction
: un exemple monodimensionnel
Signal initial
3 échantillonnages
différents :
(n points par période)
n=8
on “reconnaît” la sinusoïde
n=2
Perte de l’information de phase et d’amplitude
n<1
Cours QI : Résolution 59/188
Perte de la fréquence
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (3/24)
 Analyse



empirique de l’exemple précédent :
Soit fe la fréquence d’échantillonnage
Fréquences accessibles limitées à [-fe/2, fe/2]
Le choix de la fréquence d’échantillonnage est déterminant :


fe grande : on reconstitue le signal continu original
fe petite : on ne reconstitue pas le signal continu original
fe doit être comparée aux fréquences présentes dans le signal non échantillonné

L’analyse mathématique du problème fait appel à la transformée de
Fourier des signaux discrets et conduit au théorème de Shannon
Cours QI : Résolution 60/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (4/24)
 Analyse

de Fourier des fonctions périodiques :
T-périodicité
spectre de raies de pas 1/T (harmoniques)
Série
de Fourier
T
x
 Réciproquement

:
1
T
n
f ( t )   cn ( f ) e
2 int
T
n
1
cn ( f ) 
T
 f (t ) e

2 int
T
dt
T
La fonction périodique est la TF_inverse de son spectre discret
La Transformée de Fourier
échange
Périodicité et discrétisation
Cours QI : Résolution 61/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (5/24)
 Le


peigne de Dirac:
pics de Dirac positionnés sur les échantillons :
TF Peigne( f )  f e d  f  nfe 
Peigne( x )   d x  nTe 
n
n
La Transformée de Fourier d ’un peigne de Dirac
est un peigne de Dirac
 Modélisation

de l ’échantillonnage:
Formule
de
Poisson
f d n  f (nTe )
soit f le signal continu, fd le signal discret :
f d  f .Peigne  fˆd (n )  fˆ  Peigne f e  fˆ (n  nfe )
n
Le spectre est donc périodique de période fe
Cours QI : Résolution 62/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (6/24)
 Mise

en évidence de la formule de Poisson :
p n
Tracé des sommes partielles
e
 2ipn
pour différentes valeurs de n
p  n
n=5 sinusoïdes
n=20 sinusoïdes
Lorsque n augmente,
la Série tend vers le peigne de Dirac
Cours QI : Résolution 63/188
n=100 sinusoïdes


TF   d n  
 n 
n=500 sinusoïdes
2i  n .
e


n
d
n
n
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (7/24)
 Le
théorème de Shannon monodimensionnel

Toute l’information est contenue dans le motif périodique [-fe/2, fe/2]
Cette information représente le spectre du signal continu ssi les termes de
la somme ne se recouvrent pas :
spectre du signal continu = 0 en dehors de [-fe/2, fe/2]
Si spectre  [-fmax,fmax], il faut échantillonner avec fe  2fmax

Non-respect de la condition de SHANNON :




les signaux de fréquence  fe/2 ne sont pas transmis par l’échantillonnage
=> perte d’information
Pire encore, les signaux de fréquence  fe/2 sont interprétés comme des signaux à basse
fréquence (c’est-à-dire de fréquence inférieure à fe/2) : repliement de spectre
=> fausse information
Cours QI : Résolution 64/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage
des images (8/24)
 Retour



y
à la sinusoïde 1D :
Y=Sin(2x)
Pas=0.1  fe=10
f_max=1
TF(y)
1 point sur 2 : 5 pts/période
Cours QI : Résolution 65/188
1 point sur 8 : 1.25 pts/période
y2
y8
TF(y2)
TF(y8)
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (9/24)
 Effets

de l'échantillonnage : cas fe < 2fmax
En monodimensionnel :
-2.fe
-fe
Spectre du signal échantillonné
0
fe
2.fe
Motif périodique
Répliques


Spectre du signal continu
Le spectre du signal échantillonné est la somme des répliques du spectre du signal
continu. L’espacement entre ces répliques est inversement proportionnel à la finesse
de l’échantillonnage (peigne de Dirac).
Si l’espacement entre ces répliques est trop faible (échantillonnage trop lâche), il y a
pollution de la zone fréquentielle accessible [-fe/2;fe/2] par les répliques : repliement
de spectre
Cours QI : Résolution 66/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (10/24)
 Effets

de l'échantillonnage : cas critique fe=2fmax
En monodimensionnel :
Motif périodique
-fe
-fe/2
Réplique


0
fe/2
fe
Spectre du signal continu
Pas de repliement si le spectre du signal continu est nul en dehors de [-fe/2;fe/2]
Il est inutile d’augmenter fe au-delà de 2fmax (Augmentation inutile du nombre
d’échantillons)
Echantillonnage critique
Cours QI : Résolution 67/188
Débit minimum et Reconstruction parfaite
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (11/24)
 Reconstruction


du signal continu : INTERPOLATION
Isoler le motif périodique du spectre du signal discret sur [-fe/2, fe/2]
Multiplication par une porte fréquentielle à support [-fe/2, fe/2]
Motif périodique
Multiplication
Réplique
-fe
-fe/2
0
fe/2
Spectre de l’image continue
Spectre du signal échantillonné
fe
-fe/2
TF
0
fe/2
Spectre du signal continu
Convolution
Signal échantillonné
Cours QI : Résolution 68/188
Signal continu
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (12/24)
 Conclusion


sur l ’échantillonnage monodimensionnel
Echantillonner f, c’est la multiplier par un peigne de Dirac
Par Transformée de Fourier, cela équivaut à PERIODISER son spectre
= convolution par
f  f .Peigne fˆ  fˆ  Peigne
fˆ (. n)
d
fˆ
-fe
0
-fe 0
un peigne
n
fˆd
fe grand
fe petit


d
On retrouve
par troncature du support
fe
fˆd
fˆ
ˆ
On ne retrouve pas f
par troncature du support :
repliement de spectre
fe
Reconstruction = Interpolation f ( x )  f * si n c  . ( x )
 
d
fˆ (n )  fˆd (n ) .1[-fe/2,fe/2] (n )
Cours QI : Résolution 69/188
T 


n


f ( nT ).si n c  x  nT 
T

V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (13/24)
 Echantillonnage

de l’image :
L'image, continue dans le plan focal, est échantillonnée dans les deux
directions :

par les détecteurs selon l'axe X

X= taille entre centres de détecteurs adjacents en ligne
par un échantillonnage temporel (barrette) ou les détecteurs (matrice) selon l'axe Y
Y= taille entre centres de détecteurs adjacents en colonne (matrice) ou Vte
(barrette)

Dans le cas standard, la grille est carrée : X=Y



dans le cas matrice, les détecteurs sont carrés
dans le cas barrette, on fixe te tel que Vte=X
On peut imaginer d’autres grilles : rectangulaire, quinconce,
hexagonale ...
Cours QI : Résolution 70/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (14/24)
 Modélisation

d’un échantillonnage 2D quelconque
Réseau d ’échantillonnage défini par deux vecteurs
OM  n1V1  n2V2 , (n1 , n2 )  2

Peigne de Dirac associé au réseau :
 d (.  Vn)
V2
n
 
V  (V1 , V2 )
V1
n  ( n1 , n2 )

Echantillonnage de l ’image = multiplication par le peigne associé au
réseau :
se  s. d (.  Vn)
n
Cours QI : Résolution 71/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (15/24)
 Modélisation

d’un échantillonnage 2D quelconque
La transformée de Fourier du peigne associé au réseau
d’échantillonnage est un peigne fréquentiel dont les pics sont localisés
sur un réseau « réciproque » R-1 :

TF 


n

d (.  Vn ) 


1
det V
 d (. V
t
1
n)
n
R 1  OP  k1 U 1  k 2 U 2 , ( k1 , k 2 )   2


v1x v2 x 
1
V 

U


v
v
det V
 1y 2 y 

U  U 1 , U 2  t V 1

v2 y  v1 y 


 v2 x v1x 
Le spectre de l’image échantillonnée est représentée par le produit du
spectre de l’image continue par ce peigne fréquentiel :

ˆs * TF 


n

1
d (.  Vn )  sˆ *
det V


d (. V
t
1
n)
n

 
1
sˆe ( f x , f y ) 
sˆ(( f x , f y ) t V 1 n)
det(V ) n1  n1 
Cours QI : Résolution 72/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (16/24)
 Modélisation

d’un échantillonnage 2D quelconque
Le spectre de l’image échantillonnée est donc la convolution du spectre
de l’image continue par le peigne « réciproque »

spectre périodique, invariant par toute translation du type
k1U1  k2 U2 , (k1 , k2 ) 2


U1
motif contenu dans une cellule de surface égale à la densité d ’échantillonnage
det(U1 ,U 2 )  det(t V 1 ) 

U2
1
det(V )
repliement de spectres si les spectres translatés selon le réseau réciproque se recouvrent
plus l’échantillonnage est dense, plus les points du réseau réciproque sont éloignés les
uns des autres, diminuant le risque de repliement
Cours QI : Résolution 73/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (17/24)
Cellule réciproque = [-fe/2,fe/2]2
Echantillonnage trop lâche
TF[image continue]
TF[image échantillonnée]
Cellule réciproque = [-fe/2,fe/2]2
Echantillonnage suffisamment dense
Cours QI : Résolution 74/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (18/24)
 Condition


de Shannon bidimensionnelle :
condition nécessaire et suffisante : le spectre de l’image continue doit
être inclus dans une forme géométrique F de surface det(U) réalisant
un pavage du plan fréquentiel (pas de recouvrement ! ! !) par
translation selon les vecteurs du réseau réciproque
condition suffisante :


pas de directions fréquentielles privilégiées (FTM isotrope)
forme F la plus isotrope
Spectre de l’image continue
inclus dans la Cellule
réciproque
Cours QI : Résolution 75/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (19/24)
 Définition





de la cellule réciproque :
Construction des médiatrices des segments joignant l ’origine
(fréquences nulles) aux voisins du réseau réciproque
Chaque médiatrice divise le plan en deux demi-plans
Cellule réciproque = intersection de tous les demi plans contenant
l’origine
U2
cas général :
un hexagone
grille spatiale carrée
un carré
Spectre débordant de la cellule
U1
Repliement de spectres
Cours QI : Résolution 76/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (20/24)
 Impact


d’un échantillonnage insuffisamment dense
Pertes des fréquences de l’image continue situées en dehors de la
cellule réciproque
Pollution des fréquences situées à l’intérieur de la cellule réciproque
par repliement de spectres

un motif sinusoïdal de fréquence (fx,fy), d’orientation
arctg(
fy
fx
)
et de module
f x2  f y2
située à l’extérieur de la cellule va devenir un motif sinusoïdal basse fréquence dont
l’orientation aura changé


les contours (objets haute fréquence) sont hachés
Le rééchantillonnage n’est plus mathématiquement justifié
Cours QI : Résolution 77/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (21/24)
Grille
d’échantillonnage
Cours QI : Résolution 78/188
Paysage
Haute fréquence
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (22/24)
 Exemple

de repliement de spectre bidimensionnel
2 images d’un même paysage, obtenues avec une même FTM
instrumentale, mais avec un échantillonnage 2 fois plus lâche :
Echantillonnage adapté :
contours continus, bonne restitution de la mire
Cours QI : Résolution 79/188
Echantillonnage trop lâche :
contours hâchés, mire modifiée en fréquence et orientation
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (23/24)
 Notion



de Support Utile de la FTM :
La FTM quantifie la capacité instrumentale à transmettre les fréquences
spatiales
L’image est par ailleurs perturbée par les bruits radiométriques
(supposés blancs fréquentiellement)
Pour qu’une fréquence (fx,fy) d’amplitude S puisse être distinguée du
bruit :
S  FTM ( fx , fy )  kB  FTM ( fx , fy ) 
k
S
B
Le support utile de la FTM est le domaine où elle est supérieure à k/(S/B)
Adaptation cellule réciproque / Support utile de la FTM ...
Cours QI : Résolution 80/188
V4.2 © CNES 2004
L’échantillonnage des images (24/24)
Résumé

Echantillonnage 1D:




Echantillonnage 2D :




signal continu échantillonné au pas pe : TF(signal) périodique de période fe=1/pe
Echantillonnage à fe  bande de fréquences accessibles = [-fe/2, fe/2]= [-1/(2.pe), 1/(2.pe) ]
Théorème de Shannon: pour reconstituer le signal continu à partir des échantillons, la fréquence
de coupure de la TF du signal continu doit être inférieure à fe/2
TF(image) périodique dans le plan fréquentiel
Bande de fréquences accessible par l'échantillonnage = cellule réciproque
Théorème de Shannon: le support de la TF du signal continu doit être contenu dans la cellule
réciproque
Repliement de spectre = artefact induit par un échantillonnage trop lâche

perte d'information ou fausse information
Cours QI : Résolution 81/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation
échantillonnage / instrument
Cours QI : Résolution 82/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage/Instrument (1/23)
 Echantillonnage
défini par la cellule réciproque
 La cellule réciproque doit épouser le support utile de la FTM



Les fréquences perdues sont indiscernables du bruit : on exploite au
mieux les capacités de l’instrument de prise de vue
Le repliement reste minime et la reconstruction exacte par interpolation
est possible avec une très bonne approximation
On minimise la densité d’échantillonnage, donc le débit
 Les




problèmes
Choix limité des échantillonnages (donc des cellules)
Déterminer le facteur k du support utile (expérimentations)
Couplage entre échantillonnage/détecteur
Restauration sol pour compenser l’affaiblissement des hautes fréquences
spatiales par la FTM sans remonter le bruit
Cours QI : Résolution 83/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (2/23)
 Mode


Pour une acquisition par barrette CCD, une ligne de l’image brute
correspond à des pixels acquis simultanément par la barrette et une
colonne correspond à des pixels acquis successivement par un même
détecteur de la barrette.
La géométrie d’acquisition classique impose alors :


de prise de vue “classique” (pousse-balai) :
Réseau d’échantillonnage carré selon X (axe barrette) et Y (axe de défilement)
 X= taille entre centres de détecteurs adjacents en ligne
Pour une altitude et une focale données, cette condition fixe px (dimension
détecteur)
 Y= déplacement du point subsatellite en un temps d ’échantillonnage.
Pour une altitude donnée imposant la vitesse, cette condition fixe te.
Pour la Haute Résolution, on est confronté à un manque de signal. Si
l’altitude H est fixée, alors ti aussi (ti  te) et on ne peut qu’augmenter
D, le diamètre de l’optique collectrice.
Cours QI : Résolution 84/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (3/23)
 Mode


de prise de vue “classique” :
Cette géométrie de prise de vue impose donc un instrument de grande
taille pour faire de la haute résolution avec un rapport S/B correct
Avec ce dimensionnement classique :


la FTM optique a des valeurs très élevées à fe/2 (de l’ordre de 0,5) : la fréquence de
D
coupure fc   . H est élevée car D grand
la FTM instrument selon X vaut donc 0,32 à fe/2 :
FTM ( f x 

fe
sin . p x . f x 
1
2

, f y  0)  0,5.
 0,5.  0, 32
2
2 x
 . px . f x

la FTM instrument selon Y vaut donc 0,2 à fe/2 (en supposant le détecteur carré) :




2
sin  . p y . f y sin  .V .ti. f y
fe
1
 2
FTM ( f x  0, f y 

)  0,5.
.
 0,5.   0, 20
2
2y
 . py . f y
 .V .ti. f y
 

En revanche, la FTM est nulle à fe (en X et en Y à cause des sinus cardinaux) et très
faiblement négative ensuite (second lobe des sinus cardinaux)
Cours QI : Résolution 85/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (4/23)
 Mode
de prise de vue “classique” : la FTM sort de la cellule !!!
Cours QI : Résolution 86/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (5/23)
 Mode


de prise de vue “classique” :
On aboutit à un instrument avec repliement de spectre et sous utilisé :
toute l’information utile transmise par l’instrument n’est pas rendue
accessible du fait d’un échantillonnage insuffisament dense…
Problème insoluble en échantillonnage classique :

coupure optique lointaine car D grand pour avoir S/B raisonnable

coupure imposée par la taille du détecteur

mais pas d’échantillonnage = taille détecteur
Couplage
coupure/échantillonage
SHANNON non satisfait
Cours QI : Résolution 87/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (6/23)
 Pour
parvenir à adapter l’échantillonnage à l’instrument (c’està-dire adapter le support utile de la FTM à la cellule réciproque
de l’échantillonnage), il faut donc découpler coupure et
échantillonnage
Densification de l’échantillonnage à iso coupure fréquentielle



Concept HIPERMODE (91) : échantillonnage double en ligne et en
colonne
Concept SUPERMODE (94) : échantillonnage quinconce
Concept SUPERMODE Piloté (95) : suréchantillonnages encore plus
élevés
La réalisation pratique de ces échantillonnages est délicate
Cours QI : Résolution 88/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (7/23)
 Les
concepts HIPERMODE / SUPERMODE :
en spatial :
en fréquentiel :
Barrette
Echantillonnages :
Standard
SUPERMODE
HIPERMODE
Emprise d’un détecteur
Cours QI : Résolution 89/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (8/23)
 Les
concepts HIPERMODE / SUPERMODE :
Cours QI : Résolution 90/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (9/23)
 Les

concepts HIPERMODE / SUPERMODE :
Réalisation pratique :


HIPERMODE :
 4 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 dans les deux directions
 ou 2 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 en quinconce et temps
d’intégration ti divisé par deux / cas standard
 densification de l’échantillonnage d’un facteur 4
SUPERMODE :
 2 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 en quinconce (ti inchangé) :
Solution adoptée par SPOT5
 réalise un échantillonnage quinconce : grille carrée de pas réduit d’un facteur
tournée de 45 degrés
 densification de l’échantillonnage d’un facteur 2
Cours QI : Résolution 91/188
2
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (10/23)
Barrette 1
3,5 lignes
Barrette 2
0,5 pixel
Vitesse du satellite
Détecteur panchromatique
Cours QI : Résolution 92/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 93/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 94/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 95/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 96/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 97/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 98/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 99/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 100/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 101/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 102/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23)
Génération de la grille
d’échantillonnage
en quinconce
Cours QI : Résolution 103/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (12/23)
Grille à maille régulière
tournée de 45 °
Cours QI : Résolution 104/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (13/23)
 Les

concepts HIPERMODE / SUPERMODE :
comparaison Hipermode/Supermode :





deux fois moins de débit pour le supermode
meilleur rapport S/B pour le supermode
FTM dégradée en colonne (filé) pour le supermode car ti deux fois plus long
qu’Hipermode, compensée par une réduction de la zone photosensible en y
meilleure adaptation de la cellule réciproque à la zone utile de la FTM
réalisation bien plus aisée (fréquence de travail des CCD)
Choix du mode Supermode pour SPOT5
 Extension

du supermode :
Pilotage de la ligne de visée : ralenti en tangage et variation du roulis
=> SUPERMODES Pilotés
Cours QI : Résolution 105/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (14/23)
 Justification
du SUPERMODE sur SPOT 5 :
Première image 5 m
Cours QI : Résolution 106/188
Seconde image 5 m
(décalée de 2,5 m en ligne et colonne)
Image différence : information
différentielle ténue mais capitale
(contours)
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (15/23)
 Traitement
des images SUPERMODE SPOT 5
Image
1
Entrelacement
Interpolation
Image
intermédiaire
Image
2
Echantillonnage
5m
Cours QI : Résolution 107/188
Echantillonnage
2.5 m
Restauration
Image
finale
Echantillonnage
2.5 m
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (16/23)
 Images
SUPERMODE SPOT 5 :
Image entrelacée et interpolée
Cours QI : Résolution 108/188
Image restaurée
Une des 2 images initiales
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (17/23)
 Extensions

Mode QI :




du mode supermode SPOT5 :
le mode Supermode fonctionne encore même si le décalage entre images est différent de
0.5 pixels, à condition d’être localement constant.
entrelacement de deux images standard décalées, acquises simultanément par deux
instruments différents (possible sur SPOT1 à 4)
traitement rendu difficile par la variabilité du décalage dans le champ
Modes supermodes pilotés :


densification de l’échantillonnage sans changer l’instrument par pilotage de la ligne de
visée en roulis et tangage
permet de réaliser des grilles carrés tournées de pas arbitrairement fins, sous réserve
de la manoeuvrabilité de la plate forme
Cours QI : Résolution 109/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (18/23)
 Traitement


des images Mode QI SPOT :
Acquisition simultanée du même paysage par les deux instruments
Décalages entre ces deux images non prédictibles et variables dans
le champ :



Corrélation pour déterminer les décalages
Interpolation pour ramener les deux images dans une grille commune
Restauration (débruitage / déconvolution) de l’information contenue dans
l’image
Im 1
Corrélation
Image
entrelacée
Interpolation
Image
interpolée
Restauration
Image
finale
Im 2
Cours QI : Résolution 110/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (19/23)
 Images
Mode QI SPOT :
Image panchromatique 10 m
Image Mode QI 5 m
Cours QI : Résolution 111/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (20/23)
 Images
Mode QI SPOT :
Image multispectrale 20 m
Image Mode QI 10 m
Cours QI : Résolution 112/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (21/23)
 Conception

Il ne s’agit plus seulement d’adapter l’échantillonnage à un instrument
existant mais de concevoir l’optique, la détection et l’échantillonnage
en harmonie => équivalence des domaines fréquentiels accessibles :




d’instruments futurs :
par l’optique (=> joue sur le diamètre D)
par le détecteur (=> joue sur la taille du détecteur)
par l’échantillonnage
Parallèlement à cette optimisation du domaine fréquentiel accessible, il
faut maintenir le S/B admissible grâce à :




diamètre de la pupille pas trop petit
ralenti en tangage
détecteurs TDI
sommation de plusieurs acquisitions
Cours QI : Résolution 113/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (22/23)
 Conception

d’instruments futurs :
Spécifications types pour une résolution objectif « p0 » (en mètres) :



définition d’un domaine fréquentiel visé : couronne fréquentielle de rayon f0  1
2 p0
le support utile de la FTM doit inclure le domaine fréquentiel visé. Il est défini par :
 FTMxS/B > k, k de l’ordre de 10 mais dépendant de la mission
 FTM>FTMmin, de l’ordre de 0.05
 S/B >S/Bmin, de l’ordre de 100 aux luminances moyennes (L2)
 on dimensionne en général l’instrument au plus juste : le support utile de la FTM
est le plus proche possible du domaine fréquentiel visé
Echantillonnage :
 la cellule réciproque associée à l’échantillonnage doit inclure de domaine
fréquentiel visé
 le support utile de la FTM doit occuper significativement la surface de la cellule
réciproque pour optimiser le débit (pas trop de suréchantillonnage)
Cours QI : Résolution 114/188
V4.2 © CNES 2004
Adaptation Echantillonnage / Instrument (23/23)
Résumé

Dimensionnement classique :




Optimisation d'un instrument existant :


FTM optique élevée et couplage échantillonnage/FTM par le détecteur (fe=fc)
L'instrument est sous-utilisé
Images brutes nettes et sans bruit, mais information fausse (repliement de spectre)
densification de l'échantillonnage sans changer la FTM : Supermode (2 barrettes décalées)
Conception optimisée globale :




Critère QI pour la résolution à la fréquence spatiale fo:
FTM(fo). S > k. Bruit
Information échantillonnée "de qualité" : respect du critère de Shannon fe/2  fc
L'instrument est utilisé optimalement
Images brutes floues et bruitées
Traitement Sol de restauration
Cours QI : Résolution 115/188
V4.2 © CNES 2004
Traitements des images
Cours QI : Résolution 116/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (1/14)
 Reconstruction


de l’image continue :
Justifiée ssi condition de Shannon vérifiée, ou au moins approchée
Consiste à isoler la cellule réciproque dans l’espace fréquentiel


multiplication du spectre périodique par c, fonction
caractéristique de la cellule réciproque
convolution de l’image échantillonnée par la transformée
de Fourier inverse de c
 Dans
la pratique, on rééchantillonne selon
une autre grille par convolution discrète



fy
fx
Zooms, rotation
Rendre superposable à une autre image, à une carte …
Rendre « lisible » tout échantillonnage non carré ou rectangulaire !!!
Cours QI : Résolution 117/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (2/14)
Principe du zoom fréquentiel
I1: 256x256
I2: 512x512
Zoom 2 par un filtre
de type sinx/x
Domaine
spatial
TF
TF-1
Domaine
de Fourier
On entoure le spectre
de zéros : pas d’ajout
d ’information
Cours QI : Résolution 118/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (3/14)
Impact de l’insertion de 0
I2: 1024x1024
I1: 256x256
Les zéros
sont
interpolés
Insertion de 4 zéros
entre chaque pixel
Domaine
spatial
TF-1
TF
Domaine
de Fourier
2fe
2fe
Extension du domaine
fréquentiel:
de [-fe/2;fe/2] à [-2fe ;2fe]
Périodisation du spectre :
16 répliques centrées
sur (kfe, lfe),
k={-1,0,1,2}, l={-1,0,1,2}
Cours QI : Résolution 119/188
On isole
2fe le motif BF -2fe
-2fe
-2fe
2fe
V4.2
-2f©e CNES 2004
L’interpolation (4/14)
Zoom quinconce dans Fourier
Une image 512x512 interpolée
Entrelacement
de I1 et I2 en
quinconce
Domaine
spatial
Les zéros
sont
interpolés
2 images I1 et I2
256X256 décalées de
0.5 pixels
Domaine
de Fourier
Extension du domaine
fréquentiel:
du carré bleu à [-fe ;fe]
Périodisation du spectre :
TF
TF-1
On isole
le motif BF
2 répliques centrées sur
 fe
f 
 k
, l e  ( k , l )  0,0, 1,1) 
2
2

Cours QI : Résolution 120/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (5/14)
Filtres 1D
 Le
plus proche voisin
h0 x    x 
hˆ0 (n )  sinc(n )
Plus proche voisin : réponse impulsionnelle
Plus proche voisin : réponse fréquentielle
1.0
0.8
H(f)
h(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
f0 ( x ) 
1

n
2
3
4
5
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
f
0.5
1.0
1.5
Porte
idéale
2.0

 x  nT 
 x 1
f ( nT ).h0 
  f  T . E    
2
 T

T

Aucun calcul : fonction constante par morceaux ...
Inconvénient : fort repliement de spectre
Cours QI : Résolution 121/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (6/14)
Filtres 1D
 Interpolation
linéaire

 x
h1  x      1  x
2

hˆ1 (n )  sinc2 ( n )
Linéaire : réponse impulsionnelle
1.0
0.8
H(f)
h(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Remarque : h1 = h0 * h0
5
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-2.0
d ’où
Linéaire : réponse fréquentielle
Porte
idéale
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
f
0.5
1.0
1.5
2.0
TF(h1) = TF(h0)2
 ( n  1)T  x 
 x  nT 


f1 ( x )  f nT 

f
(
n

1
)
T



T
T




Un peu plus de calcul
Moins de repliement mais atténuation dans la bande passante
Cours QI : Résolution 122/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (7/14)
Filtres 1D
 Le

filtre bicubique : compromis petit support / fidélité fréquentielle
approximation polynomiale de degré 3 du sinc sur [-2,2]
bicubique : réponse fréquentielle
Bicubique : réponse impulsionnelle
1.0
pente en 1= -1
0.8
H(f)
h(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
x -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.0
pente en 1= -0.5
H(f)
h(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
x -5
-4
Cours QI : Résolution 123/188
-3
-2
-1
0
1
2
3
Porte
idéale
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
f
0.5
1.0
1.5
2.0
bicubique optimal : réponse fréquentielle
Bicubique optimal: réponse impulsionnelle
0.8
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-2.0
4
5
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-2.0
Porte
idéale
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
f
0.5
1.0
1.5
2.0
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (8/14)
Filtres 1D
 Sinus
cardinal et sinus cardinal régularisé :
sinc tronqué : réponse fréquentielle
sinc tronqué : réponse impulsionnelle
9
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-2.0
9
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-2.0
1.0
0.8
H(f)
h(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.0
0.8
H(f)
h(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
Cours QI : Résolution 124/188
1
2
3
4
5
6
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
f
0.5
1.0
1.5
2.0
sinc tronqué*gauss: réponse fréquentielle
sinc tronqué . gauss : réponse impulsionnelle
-0.4
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Porte
idéale
7
8
f
Porte
idéale
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (9/14)
Filtres 2D
 Exemples
de filtres d’interpolation : hexagonal régulier
Filtre adapté au rééchantillonnage
sur un réseau carré
d’une image acquise
sur un réseau hexagonal
Cours QI : Résolution 125/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (10/14)
Filtres 2D
 Exemples
de filtres d’interpolation : quinconce
Filtre adapté au rééchantillonnage
sur un réseau carré
d’une image acquise
sur un réseau supermode
Cours QI : Résolution 126/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (11/14)
Filtres 2D
 Exemples
de filtres d ’interpolation : grille carrée
Filtre adapté au rééchantillonnage
sur un réseau carré
d ’une image acquise
sur un réseau rectangle
Cours QI : Résolution 127/188
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (12/14)
Choix d’un interpolateur
 Importance
du filtre interpolateur :
Rotation de 15 °
Plus proche voisin
Cours QI : Résolution 128/188
bilinéaire
bicubique
V4.2 © CNES 2004
L’interpolation (13/14)
Mise en œuvre 2D
 Mathématiquement

:
reconstitution de la fonction continue à partir des échantillons
f M  
k  
 f M
k
hM k M 
k  

réechantillonnage selon une autre grille de points = interpolation
   f M hM
k  
f M k' 
k
'
k Mk

k  
Interpolation en M k' = pondération des échantillons voisins f M k 

coefficients de pondération = h M k M k'
Cours QI : Résolution 129/188

= échantillonnage du filtre d’interpolation
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L’interpolation (14/14)
Mise en œuvre 2D avec le filtre bilinéaire
1
1
-1
M0
M1
hmono x   1  x
hmono x   0
x
si x   1;1
si x   1;1
h( x , y )  h( x ).h( y )
M2
M
M3
h( M 0 M )  hx  x0 , y  y0 
h( M 1 M )  hx  x1 , y  y1 
h( M 2 M )  hx  x 2 , y  y2 
h( M 3 M )  hx  x 3 , y  y3 
f ( M )  h( M 0 M ) f M 0   h( M1 M ) f M1   h( M 2 M ) f M 2   h( M 3 M ) f M 3 
Cours QI : Résolution 130/188
V4.2 © CNES 2004
La restauration des images (1/21)
 La


Déconvolution des images :
Contrairement aux images standard, la FTM des images “bien
échantillonnées” est très faible au voisinage de la frontière de la cellule
réciproque : une image bien échantillonnée est floue en sortie
instrument.
Il faut donc déconvoluer, c’est-à-dire inverser la FTM qui a atténué les
composantes Haute Fréquence :


Comme la FTM tend vers 0 à fe/2, la déconvolution va fortement amplifier les hautes
fréquences : on parle de “réhaussement des contrastes”
Cette déconvolution est légitime : pas de repliement de spectre => on amplifie des
hautes fréquences “propres”
Cours QI : Résolution 131/188
V4.2 © CNES 2004
La restauration des images (2/21)
 Notion

c’est l’image “idéale” obtenue avec un instrument “parfait”
vérifiant les propriétés suivantes :





d’image de référence pour un échantillonnage donné
instrument non bruité
réponse impulsionnelle positive (l’instrument est physique) et la plus compacte
possible
instrument bien échantillonné
FTM très faible hors de la cellule réciproque
instrument atténuant peu les fréquences
FTM proche de 1 à l’intérieur de
la cellule réciproque
remarque :

les trois dernières propriétés sont difficiles à concilier (la TF d’une fonction à
support compact est à support infini). Deux possibilités :
 compromis par régularisation de la réponse fréquentielle (apodisation)
 concentration conjointe espace/fréquence optimale : la prolate
Cours QI : Résolution 132/188
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La restauration des images (3/21)
Image en sortie instrument
Cours QI : Résolution 133/188
Exemple d’image idéale objectif : prolate
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La restauration des images (4/21)
 Définition


de la prolate
Soient CD et CR les cellules directes et réciproques de l’échantillonnage
La prolate P est la fonction qui maximise la concentration d’énergie
conjointement dans les deux cellules :

2
2
P( x, y) dxdy
maximal et
CD
 P( x, y)
2
dxdy
Concentration spatiale dans CD

 Pˆ (fx , f y ) df x df y
CR
 Pˆ (f , f
x
2
y
maximal
) df x df y
Concentration fréquentielle dans CR
Elle est calculée numériquement de manière itérative
Cours QI : Résolution 134/188
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La restauration des images (5/21)
 Mise

en oeuvre de la déconvolution :
Dans la pratique, la déconvolution repose sur le modèle suivant :
S I ( f x , f y )  S P ( f x , f y ).FTM ( f x , f y )  S B ( f x , f y )
S IR ( f x , f y )  S P ( f x , f y ).FTM I ( f x , f y )
avec

SB le spectre du bruit radiométrique
SIR le spectre de l’image de référence
FTMI la FTM idéale correspondant à l’image de référence
On obtient donc une estimation de l’image de référence par :
ˆS ( f , f )  S ( f , f ). FTM I ( f x , f y )  S ( f , f )  S ( f , f ). FTM I ( f x , f y )
IR
x
y
I
x
y
IR
x
y
B x
y
FTM ( f x , f y )
FTM ( f x , f y )
Cours QI : Résolution 135/188
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La restauration des images (6/21)
 Mise

en oeuvre de la déconvolution : premier problème
Application du filtre déconvolueur

D( f x , f y ) 
FTM I ( f x , f y )
FTM ( f x , f y )
filtre théorique :
 Fréquentiellement, il est à variations rapides dans les hautes fréquences lorsque le
dénominateur est proche de 0
 Son support fréquentiel est théoriquement compact
 Les rebonds de sa réponse impulsionnelle s’atténuent lentement au voisinage des
transitions (transitions fantômes)
 problèmes de temps calcul
Génération de filtres par apodisation de la réponse fréquentielle
Cours QI : Résolution 136/188
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La restauration des images (7/21)
 Exemples
de filtres déconvolueurs :
FTMI
D
= FTMobjectif
FTM
D
tronqué
Cours QI : Résolution 137/188
Réponse
fréquentielle
modifiée
Troncature spatiale
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La restauration des images (8/21)
 Phénomène
de Gibbs : intérêt de l’apodisation
Filtre1
Filtre1
Filtre1
tronqué
Filtre1
Cours QI : Résolution 138/188
apodisé
apodisé
tronqué
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La restauration des images (9/21)
 Phénomène
de Gibbs : intérêt de l’apodisation
Apodisation => déconvolution satisfaisante
Cours QI : Résolution 139/188
Pas d’apodisation => artefacts notables
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La restauration des images (10/21)
 Mise

en oeuvre de la déconvolution : deuxième problème
Le bruit radiométrique va être amplifié en même temps que les hautes
fréquences utiles :



soit on déconvolue normalement et on amplifie fortement le bruit
soit on déconvolue mollement pour éviter de trop amplifier le bruit et les détails haute
fréquence sont insuffisamment amplifiés
soit on essaie de discerner le signal utile du bruit
Restauration = Déconvolution + Débruitage
Cours QI : Résolution 140/188
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La restauration des images (11/21)
 Le


Débruitage des images :
La déconvolution, en amplifiant les hautes fréquences de l’image brute,
ne change pas le rapport signal sur bruit, mauvais dans les hautes
fréquences
Deux familles de débruitages :


Bruits structurés : égalisation, compression ... => traitements spécifiques, adaptés à
chaque type de bruit
Bruits fréquentiellement blancs : bruit photonique + bruit d’amplification + bruit de
quantification (hors compression)
 bruit ( x, y)  A  B.Sx, y
 Modèle :
 => débruitage dépendant de la position spatiale car le S/B varie du fait de la
variation de B mais surtout de S !!!
 => débruitage dépendant de la position fréquentielle : on veut débruiter plus
fortement dans les hautes fréquences
Nécessité d ’une analyse Espace-Fréquence de l’image : ondelettes
Cours QI : Résolution 141/188
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La restauration des images (12/21)
 La

Transformée en Ondelettes :
Les décompositions Temps-Fréquence :

La Transformée de Fourier décompose les signaux selon des fonctions élémentaires à
support infini qui ne s’atténuent jamais : les exponentielles complexes

f (t ) 

f e it e it d


Description inadéquate pour une image
Utilisation de fonctions “atomes temps-fréquence” :
 Transformée de Fourier à Fenêtre (Gabor 46) : fonctions fenêtre (réelles,
symétriques et à support compact) modulées en fréquence
g u, ( t )  e it . g ( t  u)
et
TFf ( u,  ) 


f ( t ). g ( t  u).e  it dt 
f g u,


Transformée en Ondelettes : à partir de fonctions  de moyenne nulle
1 t  u 
 u,s (t) 
.
et
s  s 
Cours QI : Résolution 142/188
TOf (u, s) 



f (t).
1 * t  u 
.
dt  f  u,s
 s 
s
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La restauration des images (13/21)
 La

Transformée en Ondelettes :
Les décompositions Temps-Fréquence :


mt 
t 
2

1
2
f


1
2
t . f ( t ) dtet m 

2 . f

2
 t  mt 
2
2
. f ( t ) dtet 


2

2
 . TFf ( ) d


1
f
Elles associent une fonction à deux dimensions à une fonction mono-dimensionnelle
 Il y a redondance de la décomposition
Notion de résolution Temps-Fréquence
 Relation d’incertitude d’Heisenberg :
2


1
2 . f
2
2
2




m
.
TFf
(

)
d


 t 2 .  2 
1
4

Cette relation limite la finesse d’analyse Temps-Fréquence puisqu’elle limite
la localisation conjointe Temps-Fréquence des “atomes” gu, ou u,s
 cas extrêmes : la représentation habituelle par des diracs spatiaux ou par des
diracs fréquentiels (Fourier)
La reconstruction (transformée inverse) est possible sous certaines conditions
Cours QI : Résolution 143/188
V4.2 © CNES 2004
La restauration des images (14/21)
 La

Transformée en Ondelettes :
Les “pavages” Temps-Fréquence :
e
it
g u, ( t )  e . g(t  u)
i t

Transformée de Fourier
Aucune localisation spatiale
Localisation fréquentielle optimale
Cours QI : Résolution 144/188
t
Transformée de Fourier à Fenêtre
Pavage régulier
 t  u
. 

s
s 

1


t
 u, s ( t ) 
t
Transformée en Ondelettes
Faible résolution fréquentielle en HF
Bonne résolution fréquentielle en BF
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La restauration des images (15/21)
 Généralités

Reconstruction du signal





Comme pour la TF, on peut reconstruire un signal à partir de sa TO
Cette reconstruction est naturelle pour les images car les fonctions de base de la
décomposition sont localisées
Une TO concentre l’énergie du signal sur peu de coefficients d’ondelettes, et ce
d’autant mieux que le signal est localement régulier (propriétés de décorrélation)
Un comportement anormal local (discontinuité du signal ou de sa dérivée …)
impacte localement sur la transformée, au contraire de la TF.
Décomposition multirésolution



sur les ondelettes :
Méthode systématique de construction de bases d’ondelettes orthonormées =>
suppression de la redondance, minimisation des calculs
Applicable aux traitements numériques = application de filtres passe-haut et
passe-bas en cascade avec décimation
Paquets d’ondelette

Liberté accrue de pavage temps-fréquence (toujours limité par Heisenberg)
Cours QI : Résolution 145/188
V4.2 © CNES 2004
La restauration des images (16/21)
 Utilisation

des ondelettes en traitement d’images :
Décomposition dyadique : filtres passe-bas h et passe-haut g
Seule la Basse Fréquence est redécomposée
fe/2
fy
fy
fe/2
hx.gy(I)
gx.gy(I)
hx.gy(I)
fe/4
fe/4
hx.gy
gx.gy
(hx.hy (I)) (hx.hy (I))
gx.hy(I)
hx.hy(I)
fe/8
fx
fe/4
Image de départ
Cours QI : Résolution 146/188
gx.gy(I)
Premier niveau
fe/2
gx.hy(I)
hx.hy
gx.hy
(hx.hy (I)) (hx.hy (I))
fe/8
fx
fe/4
fe/2
Deuxième niveau
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La restauration des images (17/21)
 Exemple
de décomposition au premier niveau :
Cours QI : Résolution 147/188
« contours » verticaux
« contours » diagonaux
Image résumée
« contours » horizontaux
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La restauration des images (18/21)
 Utilisation

des ondelettes en traitement d’images :
Décomposition dyadique :

Niveau ultime atteint lorsque l’image résumée ne contient plus qu’un pixel
fy
fe/2
hx.gy(I)
gx.gy(I)
fe/4
hx.gy
gx.gy
(hx.hy (I)) (hx.hy (I))
fe/8
gx.hy(I)
gx.hy
(hx.hy (I))
0
fe/8
fe/4
fx
fe/2
Problème : aucune finesse fréquentielle pour les hautes fréquences, là où elle s’avère
nécessaire pour la déconvolution !!!!
Cours QI : Résolution 148/188
V4.2 © CNES 2004
La restauration des images (19/21)
 Utilisation
des ondelettes en traitement d’images :
Décomposition en paquets d’ondelettes bidimensionnelles :

fy
fy
fe/2
fy
fe/2
hx.gy(I)
fe/2
hx.gy
gx.gy
hx.gy
gx.gy
(hx.gy (I)) (hx.gy (I)) (gx.gy (I)) (gx.gy (I))
gx.gy(I)
3fe/8
hx.hy
gx.hy
hx.hy
gx.hy
(hx.gy (I)) (hx.gy (I)) (gx.gy (I)) (gx.gy (I))
fe/4
fe/4
hx.gy
gx.gy
hx.gy
gx.gy
(hx.hy (I)) (hx.hy (I)) (gx.hy (I)) (gx.hy (I))
gx.hy(I)
hx.hy(I)
fe/8
fx
fe/4
Premier niveau
= dyadique
fe/2
hx.hy
gx.hy
hx.hy
gx.hy
(hx.hy (I)) (hx.hy (I)) (gx.hy (I)) (gx.hy (I))
fe/8
fe/4
3fe/8
Deuxième niveau
fx
fx
fe/2
fe/2
...
Niveau “ultime” :
<=> Transformée de Fourier
On redécompose aussi la Haute Fréquence
Cours QI : Résolution 149/188
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La restauration des images (20/21)
 Utilisation

des ondelettes pour le débruitage :
Utilisation de la relation Espace-Fréquence pour le filtrage :
fy 2 coefficients à même localisation spatiale
fe/2
Image initiale vue dans la bande [6fe/16;7fe/16]x [6fe/16;7fe/16]
• Débruitage par seuillage des « petits » coefficients d’ondelettes :
- connaissant la FTM à la fréquence correspondante
(la déconvolution a amplifié le bruit)
- connaissant le bruit dû au signal image (modèle 2 = a.S+b)
fe/4
=> finesse fréquentielle limitée par la taille des paquets : fe/2 j+1
(hypothèse de FTM constante sur chaque paquet)
fe/8
fe/16
0
fx
fe/16 fe/8
fe/4
Image initiale avec pixels agglomérés 16 fois
Cours QI : Résolution 150/188
=> finesse spatiale limitée par l’agglomération de l’image résumée :
2j x 2j pixels
on retrouve le compromis Espace-Fréquence : choix
du niveau de décomposition j (astuce : débruiter un
peu à tous les niveaux)
V4.2 © CNES 2004
La restauration des images (21/21)
 Utilisation
des ondelettes pour le débruitage :
Image bruitée
Cours QI : Résolution 151/188
Image débruitée
V4.2 © CNES 2004
Traitement des images: Résumé

Interpolation = passer du discret au continu



Déconvolution = rendre l'image plus nette



Calcul de image(x,y) connaissant les échantillons {image(l,c)} : c'est une convolution
Le filtre interpolateur a pour TF la fonction indicatrice de la zone fréquentielle transmise.
Compensation du flou instrumental ~ Inversion de la FTM
C'est une convolution par h = TF-1 [ FTM_idéale / FTM_réelle]
Débruitage = rendre les zones uniformes moins "granuleuses"


Nécessaire en raison de l'augmentation du bruit haute fréquence après la déconvolution
La discrimination bruit / signal_utile nécessite une décomposition dans une base à la fois:



spatiale (bruit variable localement)
fréquentielle (bruit amplifié différemment selon les fréquences par la déconvolution)
Décomposition de l'image en paquets d'ondelettes
Cours QI : Résolution 152/188
V4.2 © CNES 2004
BIBLIOGRAPHIE

Optique :




Traitement du signal et des images:






Goodman : Introduction to Fourier Optics, Mc Graw-Hill
Maréchal : Diffraction , structure des images, Masson
Marion : Acquisition et visualisation des images, Eyrolles
Roddier : Transformée de Fourier et Distributions, Mc Graw-Hill
Mallat : A Wavelet Tour of Image Processing, Academic Press
Max : Méthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, Masson
Pratt : Digital Image Processing, Wiley-Interscience
Strang/Nguyen : Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press
Echantillonnage 2D quelconque :

Gersho/Grey : Vector quantization and signal compression, KAP
Cours QI : Résolution 153/188
V4.2 © CNES 2004
Annexe :
rappels d’analyse de Fourier
Cours QI : Résolution 154/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
 Représentation


spatiale des fonctions :
d ( x  x0 )x R
base de diracs spatiaux :
base orthonormée au sens du produit scalaire habituel :
0

f ( x ), g( x ) 

f ( x ) g * ( x )dx  d ( x  x0 ), d ( x  x1 )  d x0 x1  1 si x0  x1 , 0 sinon


décomposition dans la base :

f ( x) 

f ( x ), d ( x  x 0 ) d ( x  x 0 )dx0


f ( x ), d ( x  x 0 ) 
 f ( x )d ( x  x
0 )dx0
 f ( x0 )


 f ( x) 
Cours QI : Résolution 155/188
 f (x

0 )d ( x
 x 0 )dx0
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
 Représentation
fréquentielle des fonctions :
e


Base d’exponentielles complexes :

base orthonormée au sens du produit scalaire habituel :
j 2n0 x
n 0R
e j 2n0 x , e j 2n1 x  d n 0n 1

décomposition dans la base :

f ( x) 

f ( x ), e j 2n0 x e j 2n0 x dx0
f x 

f ( x ), e j 2n0 x 


 f ( x) 

fˆ (n 0 )e j 2n0 x dn 0

Cours QI : Résolution 156/188
fˆ (n 0 ) 

f ( x )e  j 2n0 x dx0

f ( x )e  j 2n0 x dx0  fˆ (n 0 )


TF

fˆ n 0  TFinverse

f ( x) 

fˆ (n 0 )e j 2n0 x dn 0

V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
 Avantages

de la représentation fréquentielle :
Les exponentielles complexes sont les « bonnes » fonctions pour tout
système linéaire et spatialement invariant (SLSI), représenté par un
opérateur de convolution.

f SLSI
 O( f )  h * f 
 h(u) f ( x  u)du



L’image par un SLSI d ’une exponentielle complexe lui est proportionnelle (math :
exponentielle complexe = fonction propre de l’opérateur de convolution)
Le coefficient de proportionnalité (math : la valeur propre associée) est hˆ(n 0 ) ,
transformée de Fourier de h en n0
e j 2n0 x SLSI
 O(e j 2n0 x )  hˆ(n 0 ).e j 2n0 x
Cours QI : Résolution 157/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
 Avantages


de la représentation fréquentielle :
dans la base fréquentielle, les coordonnées de l’entrée sont : fˆ (n )
et les coordonnées de la sortie : hˆ(n ). fˆ (n )

f ( x) 

fˆ (n )e j2nx dn
SLSI


h* f 

hˆ(n ) fˆ (n )e j2nx dn

Transformation de Fourier
Transformation de Fourier
SLSI
fˆ (n )

ˆ(n ). fˆ (n )
h
le produit de convolution se transforme donc en produit simple :
TF ( h * g )  TF ( h).TF ( g )
Cours QI : Résolution 158/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
de Fourier continue : décomposition d ’une
fonction sur les exponentielles complexes

 Transformée

transformée directe (espace
fréquence) :
fˆ (n ) 

f ( x )e  j 2nx dx



transformée inverse (fréquence
espace) :
f ( x) 

fˆ (n )e j2nx dn

 Propriétés



de base :
f réelle (notre cas)
f réelle et paire
f réelle et impaire
Cours QI : Résolution 159/188
TF à symétrie hermitienne :
TF réelle et paire
TF imaginaire pure et impaire
fˆ ( n ) 
fˆ * (n ) 
fˆ * (n )
fˆ (n )
fˆ * (n )   fˆ (n )
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue



 j 2na
f ( x  a)  e
Translation spatiale :
= multiplication du spectre par une « rampe de phase »
TF
Translation fréquentielle :
= modulation du signal
Changement d’échelle spatiale :
fˆ (n )
f ( x)e 2jn 0 x TF
 fˆ (n  n 0 )
1 ˆ n
f (ax)  f ( )
a a
TF
= changement d’échelle inverse en fréquentiel
Cours QI : Résolution 160/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
dn f
TF
( 2jn ) n fˆ (n )

Dérivation par rapport à x :
dx n

Dérivation par rapport à n:
( 2jx) f ( x ) 

Convolution :
n
TF
d n fˆ
dn n

x( t ) * y( t ) 

x( u) y( t  u)du
x * y  xˆ . yˆ
TF

La transformée de Fourier d’un produit de convolution est le produit
simple des transformées de Fourier
Cours QI : Résolution 161/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue

Conservation du produit scalaire : Parseval


*
 f ( x ) g ( x )dx   fˆ (n ) gˆ (n )dn
*



Application :

conservation de l ’énergie (f = g)
2
dE
ˆ
 D(n ) 
 f (n ) est la densité spectrale d’énergie
dn

l’énergie totale est l’intégrale de la densité spectrale :




2
 f ( x ) dx   fˆ (n ) dn
2

impact d’une convolution :
f sortie ( x )  h( x ) * f entrée ( x )  fˆ (n )
Cours QI : Résolution 162/188
sortie
 H (n ) sortie fˆ (n )
entrée
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
 Petit
dictionnaire de transformées de fonctions usuelles :
 1
d ( x ) TF
 e j 2na
d ( x  a ) TF
 d (n  n 0 )
e j 2n0 x TF
1
sin( n0 x )  (d (n  n 0 )  d (n  n 0 ))
2i
1
TF
cos( n0 x )  (d (n  n 0 )  d (n  n 0 ))
2
sin( na )
a a
1
TF
porte(  ; ) 
 na
2 2
a
TF
e
 2 x 2
2 2
 2n
TF
gaussienne spatiale  e 

Cours QI : Résolution 163/188

gaussienne f réquentielle
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La transformée de Fourier continue
 dualité

espace/fréquence
support spatial étroit

gaussienne spatiale 

dirac spatial

dilatation spatiale

relation d’heisenberg :
x2 

 f ( x)
support fréquentiel étendu
gaussienne fréquentielle  '
2

constante
x 2 f ( x ) dx
2
dx
contraction fréquentielle
n2 

 f (n )
n 2 fˆ (n ) dn
2
dn
x2 n 2 
1
16 2
La localisation parfaite simultanément dans les domaines spatial et fréquentiel est impossible
Cours QI : Résolution 164/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier continue
 dualité



espace/fréquence
porte de largeur a
sinus cardinal infini (premier zéro : 1/a)
support spatial fini de largeur a
support fréquentiel infini
support fréquentiel fini
support spatial infini
Transformation de Fourier
f ( x )  f ( x ). porte( x , a )
Transformation de Fourier
Produit multiplicatif
Cours QI : Résolution 165/188
ˆf (n ) * sin( na)
 na
Produit de convolution
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La transformée de Fourier continue
 dualité

espace/fréquence
fˆ (n ) à décroissance
f continue jusqu’à sa dérivée n-ième
f régulière




dx
m
dx  A
fˆ (n ) décroit en 1/nn+1
fˆ (n ) 
A
2 n
m
interprétation physique : la régularité implique un faible contenu haute
fréquence
exemples :



d m f ( x)
rapide
une porte (discontinuité de niveau 0) a pour TF un sinus cardinal décroissant en 1/n
une gaussienne (toutes les dérivées sont bornées) a pour TF une autre gaussienne
pour régulariser une fonction, on peut convoluer avec une fonction
régulière, à TF rapidement décoissante
Cours QI : Résolution 166/188
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La transformée de Fourier continue
TF
Support ~fini
troncature
TF
Cours QI : Résolution 167/188
Support infini
V4.2 © CNES 2004
Passage continu/discret : échantillonnage
 Echantillonnage


(rappel) :
Prélevement de l’information pour x={kTe}, k entier relatif
mathématiquement :


dans le domaine spatial : multiplication de f(x) par un peigne de diracs
dans le domaine de Fourier :
 TF d’un peigne de diracs de période Te = peigne fréquentiel de période 1/Te

d ( x  kTe )
k  
 TF
TF
1
Te


k  
d (n 
k
)
Te
du signal échantillonné :
 convolution de la TF du signal continu par le peigne fréquentiel
 signal périodique, de période la fréquence d’échantillonnage
Cours QI : Résolution 168/188
V4.2 © CNES 2004
Passage continu/discret : échantillonnage
 Dualité
discrétisation/périodisation
Discrétisation spatiale
1
f n  *
Te

f x .
d ( x  kT )
e
k  
TF
Périodisation spatiale
f
per
x  


f ( x  kTe )
k  

f
per
x   f x  * d ( x  kTe )
k  
Cours QI : Résolution 169/188
Périodisation fréquentielle
1

Te


d (n 
k  
k
)
Te


k
f (n  )
Te
k  
Discrétisation fréquentielle
1
fˆ n .
Te
1

Te


k  
d (n 
k
)
Te


k
k
fˆ (n  )d (n  )
Te
Te
k  
V4.2 © CNES 2004
Passage continu/discret : échantillonnage
 Application

: développement en série de Fourier
soit g(x) le motif périodique de f(x) de période T
 T T
g x   f x  si x    ; 
 2 2
 T T
g x   0 si x    ; 
 2 2
f x  

 g( x  kT )
e
k  
f x   g x  *

d ( x  kT )
e
f x  
1
fˆ n   gˆ n .
Te
TF
1

Te


k  
gˆ (n 


k  
d (n 
k
)
Te
k
k
)d (n  )
Te
Te
c e
j 2
k
k
T
kZ
TF-1
avec c k 
1
ck 
Te
1
k
gˆ (n  )
T
T
T
2
 g x e

 j 2
k
x
T dx
T
2
k  
Les coefficients du développement en série de Fourier d’une fonction périodique
de période T et de motif périodique g(x) sont les valeurs obtenues par
échantillonnage du spectre de g(x) avec une période 1/T,multipliées par 1/T
Cours QI : Résolution 170/188
V4.2 © CNES 2004
Passage continu/discret : échantillonnage
Domaine spatial

 f ( kT
e
f ( x)
Echantillonnage
)d ( x  kTe )
k  

 f ( x ).
 d ( x  kT
e
)
k  
Domaine continu
Domaine discret
TF continue
TF continue


f kTe e  j 2kTen
TF discrète
k  
fˆ (n )
Périodisation du spectre
Domaine de Fourier
1
 fˆ (n ) *
Te
ne


d (n  k
k  
1
)
Te

 fˆ (n  kn
e
)
k  
Cours QI : Résolution 171/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète

TFD=TF des signaux échantillonnés (suite de nombres)
Définition



uk kZ  S (n ) 
TFD
uk e  j 2kn
k  
a 1
S (n ) TFD
inverse
 uk 

a
Interprétation :

S (n )e j 2kn dn , a
uk  f ( kTe ); f n  x   f xTe   uk  f n ( k )
S n  

f
n ( k )e
 j 2kn
k  
S n  




 TF f n x 
d  x  k 


k  


 f kTe 

TFD

 fˆ n  k 
n
k  
1 ˆ n
fˆn n  
f
Te  Te
S n  
uk
1
Te


k  
1
S n  
Te




n  k 
  n e
fˆ 
fˆ n  k n e 
 Te 
k  
Cours QI : Résolution 172/188

S n   n e


ˆf  n  k   n
fˆ n  k n e 
e
 T 
e 
k   
k  



 fˆ n 'kn
e
;n '  n ne
k  
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète

Propriétés de base

TFD = fonction périodique de période 1

Transformation linéaire :
uk kZ TFD

Uˆ n 
vk kZ TFD

Vˆ n 



{uk} réelle (notre cas)
{uk} réelle et paire :
{uk} réelle et impaire :
Cours QI : Résolution 173/188
uk  vk kZ TFD

 Uˆ n   Vˆ n 
TFD à symétrie hermitienne
TFD réelle et paire
TFD imaginaire pure et impaire
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète

Propriétés de base

Translation spatiale (décalage d’indice)
vk kZ  ukk kZ TFD

Vˆ n   Uˆ n e j 2k n
0
0

Translation fréquentielle :
vk kZ  e j 2kn uk kZ TFD

Vˆ n   Uˆ n n 0 
0

Multiplication par kp:
vk kZ  k p ukZ
p p



1
d Uˆ n 
TFD
ˆ


V n   
p
 2j  dn
= dérivation à l’ordre p en fréquentiel
Cours QI : Résolution 174/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète

Propriétés de base

conservation du produit scalaire :

1
u
*
k vk

k  


U (n )V * (n )dn
0
application : conservation de l’énergie

u
1
*
k uk

k 


0
1
uk
k 
Cours QI : Résolution 175/188

U (n )U * (n )dn
2


U (n ) dn
2
0
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète
 Propriétés

de base
convolution de deux suites :

définition du produit de convolution discret de deux suites, cohérente de la
représentation mathématique d’une suite d’échantillons par des peignes de diracs
uk  f ( kTe )
v l  g ( lTe )
  
   

uk d x  kTe  * 
v l d x  lTe 

 k  
  l  





  u v d x  kT  * d x  lT 
k l
e
k   l  


uk * v l   wn 

 u v d x  l  k T 
k l
e
Définition de la convolution discrète

wn 
u
k v n k
k  
e
k  


u v
k n k d
x  nTe 
k  
Cours QI : Résolution 176/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète

Propriétés de base

TFD d’un produit de convolution discret = produit simple des TFD
uk * v l   wn 

wn 
u
k v n k
TFD
W (n )  U (n ).V (n )
k  

si les deux suites sont issues d’un « bon » échantillonnage de f et g
 échantillonnage et convolution commutent : le passage des échantillons à la fonction
continue correspondante est possible (interpolation)
 échantillonnage du produit de convolution de deux fonctions continues = produit de
convolution discret des deux fonctions échantillonnées
 TF du produit de convolution de deux fonctions continues = motif périodique de la
TFD du produit de convolution discrète des deux fonctions échantillonnées
Echantillonnages à Shannon
Cours QI : Résolution 177/188
Filtrage discret = Filtrage continu
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète

f x   fˆ n 
f k   fˆ n  k 
TF
g x  TF
 gˆ n 
TFD
Echantillonnage
fréquence ne=1/Te=1
(sinon, fn=f(Tex))
k  

g k   gˆ n  k 
TFD
k  
Convolution discrète

Convolution continue
f ( k ) * g( l ) 
TFD
fˆ n  k 
k  

 gˆ n  k 
k  
Égalité en cas de « bons » échantillonnages
f * g TF
 fˆ n . gˆ n 
Cours QI : Résolution 178/188
Echantillonnage
fréquence ne=1/Te=1
(sinon, fn=f(Tex))

( f * g )( k )  fˆ n  k gˆ n  k 
TFD
k  
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie
 Dans


la pratique, nombre d’échantillons fini :
calcul numérique sur un nombre fini de points
taille finie des signaux et des images
 Définition

de la TFD finie
A une suite de n échantillons correspond une suite de coefficients
fréquentiels
uk k0, N 1 TFD

v l l0, N 1 TFD
  inverse
uk k0, N 1
finie
N 1
vl 
u e
 j 2
k
finie
kl
N
k 0
1
uk 
N
Cours QI : Résolution 179/188
N 1
v e
l
j 2
kl
N
k 0
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie
 Relation
entre la TFD et la TFD finie
S n  
uk k0, N 1
k  k 0 N  k1
w k0 N  k1  uk1 1
u
k1  0
wk k0, N 1
périodisation
N 1
S n  
TFD
k1 e
N 1
u
k1  0
k1 e
 j 2k1n

.
e
 j 2k0 Nn
k0   
 j 2k1n
1
.
N


k0 
 d n  N 
k0   
Sν  est périodique, de période1 et le motif périodiques'écrit :
1
S n  
N
N 1
u
k1  0
 j 2
k1 e
k1k0
N d
n


k0 
.n  0;1
N
TFD finie
de {uk}
TFD finie =échantillonnage au pas 1/N de la
TF des N échantillons périodisés
Cours QI : Résolution 180/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie
 En

résumé :
approximation de la TF par la TFD



remplacement de f(x) par un nombre infini d’échantillons
spectre périodique continu de période 1/Te , approximant le spectre de f(x) sur
mais
 1
1 
;
 perte du spectre de f(x) au delà de  

 2Te 2Te 
 repliement de spectres si l’échantillonnage ne se fait pas à Shannon
 1
1 
;


 2Te 2Te 
approximation de la TFD par la TFDfinie


limitation du nombre d’échantillons sur un horizon donné
spectre périodique de période 1/Te échantillonné au pas 1/Nte, approximant le spectre
donné par la TFD mais
 hypothèse implicite : échantillons supposés périodiques au delà de l’horizon
f  A  f (B)
 introduction d’une discontinuité, donc de fréquences parasites si
Cours QI : Résolution 181/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie
 Interprétation
pour les échantillons réels
N 1
vm 
u e
k
 j 2
km
N
k 0

vm est la composante de fréquence m/N



v0 (somme des échantillons) est le « continu »
la composante la plus HF est vn/2 (n pair) ou v n/2-1(n impair) et correspond à 0.5 ou 0.5 1/2N
si n-k >n/2, vn-k correspond à la fréquence n-k/n ou aussi -k/n (péiodicité de 1)
Cours QI : Résolution 182/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie

Propriétés de base : on retrouve celles de la TFD

TFD = fonction périodique de période 1

Transformation linéaire :
uk k0;N 1 TFD

U k k0;N 1
vk    TFD

Vk k0;N 1
uk  vk k0;N 1 TFD

Uk  Vk k0;N 1
k 0 ; N  1

{uk} réelle (notre cas)
TFD à symétrie hermitienne

{uk} réelle et paire :
TFD réelle et paire

{uk} réelle et impaire :
TFD imaginaire pure et impaire
Cours QI : Résolution 183/188
*
Uk  U N
k
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie

Propriétés de base

Translation spatiale (décalage d’indice avec permutation circulaire) :
vk kZ  ukk kZ TFD

Vk  U k e
j 2
k0k
N
0

Translation fréquentielle (décalage d’indice avec permutation circulaire) :
v k kZ
Cours QI : Résolution 184/188
 j 2 kk0 
 e N uk 
TFD

 Vk  U k  k0

 kZ
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie

Propriétés de base

conservation du produit scalaire :


uk v k*
k  

1

N

U
*
kVk
k  
application : conservation de l’énergie


1
uk uk* 
N
k  


uk
k  
Cours QI : Résolution 185/188
2
1

N

U
*
kU k
k  


Uk
2
k  
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie
 Propriétés

de base
convolution circulaire de deux suites finies de taille N1 et N2



on reprend la formule précédente pour les suites infinies
problème de bords : il faut étendre les signaux jusqu’à N1+N2-1
convolution circulaire (notée
) = convolution avec extension par périodisation

hk 0 k  N 1 périodisat
  ion
hkper 
TFD
0  k  N 1  N 2 1
1
finie
 
H k 
0  k  N 1  N 2 1
Wk  H k S k
hkper  hk mod N1
sk 0 k  N 1 périodisat
  ion
skper 
TFD
0  k  N 1  N 2 1
2
finie
 
S k 
0  k  N 1  N 2 1
skper  sk mod N 2
hk 0 k  N 1  sk 0 k  N 1  wk 0 k  N  N 1  Wk 
TFD finie
1
2
1
2
0  k  N 1  N 2 1
La TF d’un produit de convolution
circulaire est le produit des TF

wn 

hkper snper
k
k  
Cours QI : Résolution 186/188
V4.2 © CNES 2004
La transformée de Fourier discrète finie

Utilisation de la TFDfinie



seule TF utilisée dans le traitement numérique
utilisation intéressante car il existe des algorithmes très rapides (FFT : Fast Fourier
Transform) dont la complexité est en NLogN
applications :
 calcul numérique de la TF d’une fonction continue
 synthèse de filtres numériques (interpolation, déconvolution)
 définition d ’un gabarit fréquentiel
 régularisation éventuelle
 TF inverse
 analyse du comportement des filtres
 convolution rapide par passage dans le domaine de Fourier
h  s  TF 1 TF ( h).TF ( s)
Cours QI : Résolution 187/188
V4.2 © CNES 2004
Conclusions sur la transformée de Fourier

Outil majeur



produit de convolution devenant un produit simple
algorithmes de calcul rapide (FFT)
« Plusieurs » TF



TF d ’une fonction continue :
 spectre continu
 pas de perte d ’information
TFD = TF d’une fonction continue/échantillonnée avec une période Te :
 spectre continu périodique de période 1/Te
 perte totale d ’information au delà de 1/2Te et éventuel repliement de spectres
TFDfinie =TF d’une fonction continue/échantillonnée en un nombre restreint de points :
 implicitement, périodisation des échantillons
 echantillonnage du spectre périodique continu précédent
Cours QI : Résolution 188/188
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