Transcript diapos chap 3

3. L’échantillonnage des signaux
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temps
C’est une nécessité pour le traitement numérique :
On ne sait traiter que des données quantifiées
Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique »)
à partir des échantillons ?
Les conditions de Nyquist/Shannon
quelques diapos d’illustration (mouvement stroboscopique)
1
illustration d’un échantillonnage insuffisamment dense en numérisation d’image
image sous échantillonnée : ‘moiré’
image haute définition
2
http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem
Représentation correcte du signal échantillonné
(cohérence avec les formalismes mathématiques)
C’est une suite d’impulsions de Dirac modulées en amplitude
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temps
.
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ATTENTION : Ne pas confondre avec la sortie d’un bloqueur d’ordre 0
(interprétation erronée courante en traitement d’images !)
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temps
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3
3.1 Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences
- Conditions pour que l’information contenue dans le signal ne soit pas perdue :
Théorème de Nyquist Shannon
- Méthode de reconstruction du signal à temps continu :
Interpolation idéale à partir des échantillons
4
Formalisation de l’opération d’échantillonnage en utilisant les impulsions de Dirac
T période fixe d’échantillonnage
1.5
y(t)
x(t)
x(n.T )   x(t ) (t  n.T )dt
T
0
.
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y (t )   x(n.T ). (t  n.T )
n
0
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t
16
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x(t)
0
y(t )  x(t ).s(t ) produit de x(t) et de s(t)
.
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s (t )    (t  n.T )
n
0
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t
T
s(t)
0.5
.
0.5
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s(t ) suite régulière d’impulsions de Dirac (‘peigne de Diracs’)
5
t
Calcul de la transformée de Fourier du peigne d’impulsions
s (t )    (t  n.T )
T
s(t)
1.5
n
0.5
s(t) : séquence périodique
d’impulsions de Dirac (‘peigne’) ;
D’après la définition de l’impulsion de
Dirac, la transformée S(w) de s(t) est une
fonction périodique de la fréquence :
harmoniques de même amplitude aux
fréquences multiples de 2p/T
2.p .k
2.p .k.t
T /2
S(
)  T / 2  (t ) exp( 
)dt
T
T
2.p .k 

S (w )     w 

T

k 
.
0.5
0
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S(w)
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t
2p/T
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0.5
w
.
0.5
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6
Calcul de la transformée de Fourier du signal échantillonné
Dans le domaine temporel
y (t )   x( n.T ). (t  n.T )
n
y(t )  x(t ).s(t ) produit de x(t) et de s(t) s (t )    (t  n.T )
n
transformée
de Fourier
Y (w )   X ( ) S (w   )d
2.p .k 

S (w )     w 

T

k 
dans le domaine des fréquences, le produit
se traduit par une convolution
7
dans le domaine temporel : produit de x(t) par le peigne d’impulsions de Dirac s(t)
dans le domaine des fréquences : convolution de leurs transformées
de Fourier X(w) et de S(w)
la convolution de X(w) par une impulsion (w-w0) décalée de w0 est X(w-w0)
(w-w0)
X(w)
w
X(w-w0)
w
w
w0
w0
la convolution par le peigne d’impulsions de Dirac (somme d’impulsions décalées)
est la somme des répliques décalées :
la T.F. du signal échantillonné est la périodisation de la T.F. X(w) du signal x(t)
S(w)
X(w-w0)
w
w0
w0
w
w0
8
Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences
La transformée de Fourier du produit est une convolution
Y (w )   X ( ) S (w   )d
2.p .k 

S (w )     w 

T 
k 
on remplace S(w) par son expression
2.p .k 

Y (w )   X ( )   w   
d
T 
k 
2.p .k 

Y (w )    X ( )  w   
d
T 

k
d’après la définition de l’impulsion de Dirac
2.p .k 

Y (w )   X  w 

T 

k
X(w-w0)
w
w0
La transformée de Fourier d’un signal échantillonné est la somme
des répliques décalées de la transformée de Fourier du signal à temps continu
9
temps
fréquence
signal à temps continu
T.F. du signal à temps continu
6
1.5
4
0
2
.
0
.
1.5
0
1
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10 11
12 13 14 15
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96
64
32
0
32
64
96
128
16
impulsions d’échantillonnage
1.5
T.F. de l’opérateur d’échantillonnage
1.5
0.5
.
.
0.5
0
0
1
2
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4
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6
7
8
9
10 11
12 13 14 15
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96
32
0
32
64
96
128
T.F. périodique du signal échantillonné
signal échantillonné
0.4
1.5
0.2
0
.
1.5
64
0
1
2
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12 13 14 15
16
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
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10
analyse de l’échantillonnage effet stroboscopique
comment observer un mouvement rapide périodique :
en ne visualisant qu’une image sur N
11
Fréquence de la rotation
fréquence faible
24 fois plus petite
que la fréquence
d’échantillonnage
temps
fréquence
0
1s
.
0 1 2
24 Hz
12
Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)
13
Changement de signe : fréquence négative
14
Fréquence
de lamoitié
rotation
fréquence
2 fois plus petite
que la fréquence
d’échantillonnage
temps
fréquence
0
1s
.
0 1 2
12
Le sens de rotation n’apparaît plus
24 Hz
15
Le sens de rotation n’apparaît plus
16
Fréquence
de la
légèrement
un peu
enrotation
dessous
de la plus
petite
que la fréquence
d’échantillonnage :
fréquence
d ’échantillonnage
le mouvement apparaît inversé
0
temps
.
1s
fréquence
-1
0 1 2
23 24 Hz
17
Au lieu de la fréquence w,
on observe la fréquence w - wech
qui est négative
w - wech  2324  1
voir l’effet stroboscopique
18
cinema télévision
Effet stroboscopique
:
Plateau,
von
références
Stampfer (1830)
Analyse du mouvement,
Chronophotographie :
Muybridge, Marey (1870)
Cinématographe : Edison, Lumière
(1890)
Consultez les différents sites qui leur
Théorie
de l’échantillonnage
Une illustration
sonore du pour
19
http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasing
Joseph Antoine Ferdinand Plateau
Simon von Stampfer
persistance rétinienne
20
Jules Janssen,
astronome, 1874
Le revolver
photographique
Etienne Jules Marey,
1881
Eadweard J. Muybridge, 1878
Louis Aimée
Augustin LE
PRINCE 1888
Roundhay
Garden Scene
21
Reconstitution idéale du signal à temps continu
0.4
0.2
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
128
fréquence
6
4
2
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
128
éliminer les répliques par filtrage passe bas
condition : elles ne doivent pas se chevaucher
Théorème de Nyquist Shannon (whittaker, kotelnikov)
X(w)=0 pour |w|>1/2 fréquence d’échantillonnage (signaux réels)
remarque : phénomène de Gibbs si le filtrage crée une discontinuité dans la T.F du signal
plus généralement largeur du support inférieure à la fréquence
d’échantillonnage (signaux complexes)
22
transformée de Fourier
du signal échantillonné
X(w)
w
La fréquence d’échantillonnage est insuffisante
les répliques de X(w) se chevauchent
Y(w)
wech
w
l’augmentation de la fréquence d’échantillonnage va supprimer
ce chevauchement des répliques et permettre la reconstruction
du signal à temps continu
Y(w)
wech
w
23
réalisation du filtre passe bas dans le domaine temporel
0.4
0.2
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
128
fréquence
6
4
2
.
0
128
96
64
32
0
32
64
96
128
sa réponse impulsionnelle est la transformée de Fourier inverse
du créneau
1
h(t ) 
2p
p
1
.
exp(
p

sin p .t 
j.w.t )dw 
p .t
(cas où la période ‘échantillonnage vaut 1)
24
Réponse impulsionnelle du filtre : transformée inverse du créneau
1
0.8
sin(p .t / Tech )
h(t ) 
p .t / Tech
0.6
0.4
0.2
temps
0
0.2
.
0.4
16
14
reconstitution du signal
à temps continu
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
sin p (t  n.Tech ) / Tech 
x(t )  
.x(nTech )
n   p .(t  n.Tech ) / Tech

le résultat du filtrage est une somme de fonctions h(t) décalées de nTech
et modulées en amplitude par les valeurs des échantillons x(nTech)
25
reconstitution du signal
à temps continu
x(t ) 
sin p (t  n.Tech ) / Tech 
 p .(t  n.T ) / T .x(nTech )
n  
ech
ech

Aux instants d’échantillonnage nTech
toutes les composantes de la somme sont nulles
sauf une qui a pour valeur celle de l’échantillon x(nTech)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
.
0.4
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
temps
26
Inconvénients : Coût, convergence lente
En pratique
bloqueur d’ordre zéro, interpolation linéaire
interpolation plus élaborée
(splines, courbes de Bézier, etc ...)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
.
0.4
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
temps
27
DISTORSION APPORTEE PAR DIFFERENTES INTERPOLATIONS
RECONSTRUCTION EXACTE (SINC)
INTERPOLATION LINEAIRE (TRIANGLE)
BLOQUEUR (CRENEAU)
temps
période d’échantillonnage
0.6
½ fréquence d’échantillonnage
0.4
0.2
fréquence
0
28
0.2
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Trois formes de fonctions d’interpolation
créneau, triangle, sinc (interpolation idéale Nyquist/Shannon)
1.5
sinct
echt
trit
0
.
1
8
6
4
2
0
2
4
6
8
t128
16
Leurs réponses en fréquence indique la distorsion
1.5
SINCmod( t 1 2 8 2 5 6)
1
ECH mod( t 1 2 8 2 5 6)
TRI mod( t 1 2 8 2 5 6)
0.5
.
0
25.13
21.99
18.85
15.71
12.57
9.42
6.28
3.14
0
t  128
3.14
6.28
9.42
12.57
15.71
18.85
21.99
25.13
p
8
29
Reconstruction du signal analogique à partir des échantillons
Bloqueur
3
signalecht
echt
0
valinputt
.
2
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
2
2.5
3
3.5
4
2
2.5
3
3.5
4
t128
16
Interpolation linéaire
3
signaltrit
trit
valinputt
0
.
2
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t128
16
Interpolation idéale (sinc)
3
signalsinct
sinct
valinputt
0
.
2
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t128
16
30
Echantillonnage d’un signal sinusoïdal
1
temps
0
.
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Ceci est une sinusoïde de fréquence 0.97p
(les conditions de Shannon sont vérifiées)
on y voit plutôt le battement avec la 1/2 fréquence
d’échantillonnage et guère la forme originale
0
temps
0.93
.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
difficulté à interpréter l’allure temporelle d’un signal échantillonné « complexe »
sauf parfois dans le domaine des basses fréquences (variations très lentes)
31
Quantification (p. ex. complément à 2), précision
valeurs
quantifiées
offset q
011
erreur de quantification
après soustraction de
l’offset
010
001
donnée analogique
000
111
110
101
100
écart type de l’erreur de quantification pour une précision q : 0.29xq
128 bits (jeux video) permettent de mesurer (en angströms =10-10 m)
le diamètre de l’univers visible (13,7×109 x 2 années-lumière (1,3×1026 m) )
diamètre de l'univ ers v is ible en angs trom
9
8
10
3 0 1 0  3 1 0  3 65 2 4 3 60 0 1 0
36
 2 .83 8 1 0
.
128
2
38
 3 .40 3 1 0
.
32
codage en virgule fixe
x
multiplication de 2 nombres de N bits :
résultats sur 2.N bits
On n’en conserve que N
entiers ? fractionnaires ?
poids fort : fractionnaires
(entre -1 et +1)
x
,
,
,
poids faibles :
entiers
x
,
,
,
33
codage en « double » IEEE
x=m*2E
permet d’éviter les débordements au détriment de la précision
64 bits
mantisse m 53 bits (avec signe)
précision 10-15
exposant E 11 bits
dynamique 10 300
attention à l’addition de deux nombres d’ordres de
grandeur très différents et à la soustraction de deux
nombres très proches
34