Transcript Transformée de Fourier

Cours de Mathématiques

Bibliographie
Sur
- les séries de Fourier,
- la transformée de Fourier,
ses applications à l’automatique
ses applications au traitement du signal
- la transformée en z
ses applications à l’étude de quelques systèmes numériques:
B. Rossetto, Analyse Harmonique, éd. Ellipses (1996)
IUT de Toulon
B. Rossetto
1
1. Transformée de Fourier
 Définition
On considère un signal V(t) intégrable sur t  -,  , ou une distribution
tempérée, par ex. (t). Sa transformée de Fourier v (f) est définie par :
F

v (f) =
F

V(t) e2ift dt, où la variable f est un nombre réel
-
On note symboliquement: V(t)  v (f), ou encore v (f) = TF  V(t)
F
F
Dans le cas de la TF, on a la formule de réciprocité :

V(t) =

vF (f) e2ift df (attention au signe de l'exposant)
-
Note. Dans le cas de la TF, le signal peut prendre des valeurs pour t < 0.
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1. Transformée de Fourier
 Sur le lien entre la TL et la TF
TL
TF

v (f) =
L


V(t) ept dt
v (f) =
F
0

V(t) e2ift dt
-
p est un nombre complexe
f est un nombre réel
p n'a pas de signification
f est la fréquence
On intègre de 0 à + 
On intègre de -  à + 
Le signal ne peut prendre
de valeurs pour t < 0
Le signal peut prendre
des valeurs pour t < 0
p=2if
Conclusion : Ssi V(t)=0  t<0, alors TL TF
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1. Transformée de Fourier
 Utilisation de la TL ou de la TF
TL
TF
qui facilite l'étude des SLS
Oui
Oui
Calcul opérationnel
Oui
Non
Notion de spectre
Non
Oui
Relations énergétiques
Non
Oui
Formule de réciprocité
Non
Oui
Théorème sur la convolution
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1. Transformée de Fourier
 Exemples
Signal
TF
Distribution de Dirac
(t)
1
Exponentielle décroissante
U(t)e-at , a  0
1
a+2if
Exponentielle complexe
2if0t
U(t)e
, f0  0
1
2i(f-f0 )
(t)
1
t
0
Distribution de Dirac
1
0
t
Exponentielle symétrique
IUT de Toulon
p=2if
Note. Rappelons que lorsque V(t)=0 pour t <0, TL TF
-a t
Exercice. Calculer la TF de l'exponentielle symétrique: e
B. Rossetto
, a  0 (voir Fig.)
5
1. Transformée de Fourier
Exercice

On considère la fonction projectrice définie par
a

1
si
t


2
Pa(t)  
0 si t  a

2
Pa(t)
1
sin(fa)
f
2  Etudier les variations de la fonction sinus cardinal
1  Montrer que sa TF est a(f) 
-a/2
0
a/2
Fonction projectrice
y=sinc(x)=
sin(x)
x
3  Représenter graphiquement a(f) 
4  On définit la distribution de Dirac par (t) = lim
5  Calculer les TF inverses de
IUT de Toulon
Pa(f) et de (f).
a0
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sin(fa)
f
1
P (t). Montrer que (t)  1
a a
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1. Transformée de Fourier
 Propriété immédiate : linéarité
Théorème
Si V (t) a pour TF : v (f)
1
1
et V (t) a pour TF : v (f)
2
2
alors ,   et  
V (t) +  V (t) a pour TF :
1
2
v (f) + v (f) .
1
2
Exercices. Calculer les TF de
Signal
TF
i t
U(t)e 0 , 0  0
1
2i  f-f0 
Exponentielle
complexe
Cosinus
U(t)cos  0t 
Sinus
U(t)sin  0t 
U(t)sin(0t) et de U(t)cos(0t)
2if

42 -f 2+f02
2f0

42 -f 2+f02


p=2if
Note. Puisque V(t)=0 pour t <0, nous sommes dans la situation où TL TF
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1. Transformée de Fourier
 Propriété immédiate : linéarité
Exercice. Calculer les TF du tableau ci-dessous
Signal temporel
TL
Exponentielle
complexe
U(t)e
+i0  t
, 0  0
Cosinus
U(t)e t cos  0t  ,   0
Sinus
U(t)et sin  0t 
1
i+  i0
i  
i+ 2  20
0
i+ 2  20
p=2if
Note. Nous sommes dans la situation où TL TF
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1. Transformée de Fourier
 Autre propriété immédiate: symétrie
Théorème.
Si V(t) est réél et a pour TF v(f)
alors V(-t) a pour TF v*(f), le conjugué de v(f).
1
V(t)
0
V(-t)
1
t
Exponentielle décroissante
0
1
t
Exponentielle croissante
0
t
Exponentielle symétrique
Exercice. Retrouver la TF de l’exponentielle symétrique
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1. Transformée de Fourier
 Les 9 propriétés
Propriétés directes
Si V(t)  v(f) alors
1. V(t  T)  e2ifT v(f) (translation), T>0 et aussi T>0
dV(t)
2.
 2if. v(f) (dérivation)
dt
1
f
3. V(kt)

. v( ) (affinité  homothétie), k réel
k
k
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1. Transformée de Fourier
 Les 9 propriétés
Propriétés inverses
Si V(t)  v(f) alors
4. e2if0 t V(t)  v(f  f0 ) (modulation  transposition)
dv(f)
5. -2it. V(t) 
(dérivation inverse)
df
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1. Transformée de Fourier
 Les 9 propriétés
Propriétés à l’origine
Si V(t)  v(f) alors

6. v(0) 

V(t)dt (valeur moyenne)

v(f)df


7. V(0) 

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1. Transformée de Fourier
 Les 9 propriétés
8. Réciprocité ou involution
Si V(t)  v(f) alors v(t)  V(-f)
9. Energie : théorème de Parseval

Si V(t)  v(f) alors

2
V(t) dt =

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
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
2
v(f) df

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1. Transformée de Fourier
 Systèmes linéaires stationnaires
Définitions
La réponse percussionnelle H(t) d'un SLS est sa réponse
lorsque le signal d'entrée est une distribution de Dirac (t).
(t)
1
H(t)
h(p)
H(t)
h(p)
Principe de causalité. Le système ne peut répondre
avant d'avoir reçu (t). Par conséquent, H(t)  0  t < 0.
Fonction de transfert. Elle est définie comme la TF de
la réponse percussionnelle : H(t)  h(f). D'après le
principe de causalité :
p=2if
fonction de transfert de Laplace  fonction de transfert de Fourier
Exercices. Calculer la réponse percussionnelle d'un filtre passe-bas idéal : h(f)=P
2B
(f),
d'un filtre passe-bande idéal : h(f)=P (f  f0 )  P (f  f0 ).Ces filtres sont-ils réalisables ?
B
B
Donner des exemples de filtres réalisables qui s'en rapprochent.
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1. Transformée de Fourier
 Systèmes linéaires stationnaires
Théorème
Si E(t), qui a pour TF : e(f) est le signal d'entée
E(t)
e(p)
H(t)
h(p)
S
H(t), la réponse percussionnelle du SLS et sa TL :
h(f), la fonction de transfert du SLS
s(p)
alors le signal temporel de sortie est donné par
le produit de convolution et sa TL par un produit :

S() =
 E(t)H(  t)dt

s(f)=e(f).h(f)

Exercice. Calculer S() pour E(t) = U(t)e-tcos(t) et H(t) = U(t)
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1. Transformée de Fourier
 Systèmes linéaires stationnaires

E(t)
e(f)
H(t)
h(f)

S=E(t)*H(t)) = E(t)H(  t)dt
s(f)=e(f).h(f)
0
Dans l’espace temps
Au niveau des TL
Entrée
E(t)
e(f)
SLS
H(t)
(rép. percussionnelle)
h(f)
(fonction de transfert)
Sortie
S(t)=(E(t)*H(t))
s(f)=e(f).h(f)
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1. Transformée de Fourier
 Opérateurs.
Opérateurs dans l'espace temps  TF
* (convolution entre signaux)
× (multiplication de leurs TF)
d
(dérivation d'un signal)
dt
×p (multiplication de sa TF par 2if)
V(t)  e2if0t
v(f)  (f-f0)= v(f-f0)
(transposition en fréquence)
(modulation en amplitude )
V(t)  T
n

n
(t-nT)
n
(échantillonnage)
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v(f) 

n
n
(f- ) =
T
n

n
n
v(f- )
T
(réplication, ou repliement, du spectre)
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1. Transformée de Fourier

Problème : transposition en fréquence
2if0t
1  Montrer la TF de e
est (f-f0 ),
où f0 désigne une fréquence (Hz).
E2(t)
x
S(t)= E1(t).E2(t)
2  Calculer et représenter la TF de cos(2 f0t),
puis celle de sin(2f0t).
3  On considère un multiplieur, qui délivre
E1(t)
en sortie S(t)= E1(t).E2(t), le produit des signaux
suivants, que l'on applique sur ses 2 entées:
E1(t)=A1 cos(2f1t), E2(t)=A2 cos(2f2t).
Exprimer et représenter s(f), la TF de S(t).
4  Modulation d'amplitude. Exprimer et représenter le spectre du signal modulé en amplitude
défini par: Y(t)=A 1+m cos(2f2t) sin(2f1t), avec 0<m  1 et f1 >> f2.
5  Détection synchrone. On prend E1(t)=p.cos(2f2t+q) et E2(t)=cos(2f2t+), avec f1=f2 et
où l'amplitude p et la phase du signal sont noyées dans le bruit. Imaginer un dispositif qui,
en ajustant la phase  de E2(t) permet de retrouver p et q.
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