Transcript odhady - Kiwi.mendelu.cz

ODHADY PARAMETRŮ
ZÁKLADNÍHO SOUBORU
1
Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace
studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty
MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za
přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu
České republiky.
ZÁKLADNÍ x VÝBĚROVÝ SOUBOR
ZÁKLADNÍ SOUBOR – skládá se ze všech
jednotek, které patří k množině, jež je předmětem
analýzy (tedy všechny teoreticky změřitelné
jednotky – jejich počet nemusí být znám, velikost
ZS může být teoreticky nekonečně veliká – na
obrázku vpravo naznačeno rozmlženým okrajem).
ZS musí být dobře definován. Popisem ZS se
zabývá popisná statistika.
VÝBĚROVÝ SOUBOR – skládá se z podmnožiny
ZS, jeho prvky jsou vybírány náhodným výběrem
(naznačeno červenými obdélníčky). Je to množina
reálně měřených dat, která slouží k odhadu
vlastností ZS. Znamená to, že při praktickém
měření reálně známe pouze údaje o prvcích
(stromečcích) v rámečku, ale odhadujeme z nich
vlasntnosti všech prvků ZS (všech stromečků, i
těch, které nejsou na obrázku, pokud má ZS větší
velikost). Analýzou VS a odhadem vlastností ZS se
zabývá matematická statistika.
2
ZÁKLADNÍ PRINCIP ODHADU
PARAMETRŮ
Proč musíme parametry a další vlastnosti základního souboru (ZS)
odhadovat?
Protože ve většině případů neznáme (nemáme změřeny) všechny prvky
ZS. Pokud bychom všechny tyto údaje znali, nemusíme nic odhadovat a
vše (tj. všechny statistické vlastnosti) víme „přesně“, „stoprocentně“.
Ovšem ZS může být nezměřitelně nebo nekonečně veliký. Potom na
vlastnosti ZS můžeme usuzovat jen na základě údajů získaných z jeho
podmnožiny – výběrového souboru (VS) – a všechny soudy o ZS jsou
zatíženy určitou nejistotou vyplývající z toho, že o ZS nemáme úplnou
informaci. Proto veškeré parametry a další vlastnosti ZS je možné
pouze odhadnout se stanovenou pravděpodobností. Tento postup je
nejčastější (v 99,999… % případů) – celý ZS známe jen zcela výjimečně.
Celý proces odhadu ukazuje následující obrázek
3
ZÁKLADNÍ POJMY SPOJENÉ S
VÝBĚROVÝMI ŠETŘENÍMI
PARAMETR je statistická charakteristika základního
souboru (značí se řeckými písmeny, např. střední hodnota
 ).
STATISTIKA je statistická charakteristika výběrového
souboru (značí se latinkou, např. výběrový průměr x).
ODHAD PARAMETRU ZÁKLADNÍHO SOUBORU je
určitá hodnota (hodnoty) vhodné statistiky získaná
postupem zvaným bodový nebo intervalový odhad.
5
VÝBĚROVÝ PRŮMĚR a jeho vlastnosti
17
29
35
16
12
15
26
28
23
28
30
10
15
20
18
25
6

x1

x2
18
30
11
27
26

x3

x4
VÝBĚROVÝ PRŮMĚR a jeho vlastnosti
Pro rozdělení výběrového průměru platí:
E(X) = 
σ
σ X = SEX =
n
7
Odhadem střední hodnoty ZS je střední hodnota(E(.)) výběrových průměrů,
tedy „průměr průměrů“. Znamená to, že kdybychom provedli velké
množství výběrů (teoreticky nekonečně mnoho) a ze všech spočítali
průměry, potom nejlepším odhadem střední hodnoty ZS (kterou neznáme,
protože neznáme celý ZS) by byl průměr všech takto zjištěných průměrů
jednotlivých výběrů
Tato veličina se nazývá střední chyba průměru (SE - standard error) a je
to vlastně směrodatná odchylka výběrového průměru, tj. ukazuje míru
možného kolísání hodnot výběrových průměrů vypočítaných z různých
výběrů provedených ze stejného ZS. Čím je tato hodnota menší, tím je toto
možné kolísání hodnot vývěrových průměrů menší – a tím je tedy určení
střední hodnoty ZS spolehlivější.
SE závisí přímo úměrně na variabilitě ZS (σ) – čím jsou data
variabilnější, tím je také možnost větší variability výběrových průměrů
SE závisí nepřímo úměrně na velikosti výběru (n) – čím máme větší
výběr (tedy víme toho víc o ZS), tím je určení střední hodnoty ZS
spolehlivější.
VÝBĚROVÝ PRŮMĚR a jeho vlastnosti
Centrální limitní věta (CLV):
Jestliže výběr pochází ze ZS s libovolným rozdělením se střední hodnotou  a
směrodatnou odchylkou , potom výběrový průměr má při dostatečné velikosti
výběru n výběrové normální rozdělení se střední hodnotou  a mírou
variability 2/n, tedy N(,2/n)
Hustota (pravděpodobnost
výskytu hodnot)
Směrodatná
odchylka (σ)
základního souboru
Rozdělení
výběrového
průměru
(hnědá plocha)
Směrodatná odch. výb. průměru σ/n
Rozdělení základního souboru
(není normální)
Hodnoty
Střední hodnota ZS i výběrového průměru
8
VÝBĚROVÝ PRŮMĚR a jeho vlastnosti
Normální
Rozdělení
základního
souboru
Rozdělení výb. průměru
9
Rovnoměrné
Nenormální
(levostranné)
Obrázek ukazuje, že pro „dostatečnou“
velikost výběru (obvykle n = 30 nebo
víc) je rozdělení výběrového průměru
normální, ať je rozdělení základního
souboru jakékoliv. Pro malé velikosti
výběru (n = 2,10) toto neplatí,
výběrová rozdělení jsou blízká
původnímu rozdělení základního
souboru.
VÝBĚROVÝ PRŮMĚR a jeho vlastnosti
Ilustrace CLV:
Horní obrázek ukazuje ZS, který nemá nornální
rozdělení (je levostranný, průměr (modrá čárka)
a medián (fialová čárka) se liší, variabilita je
značná (červená svorka - +- 1S).
Dolní grafy ukazují rozdělení 1000 výběrových
průměrů o velikosti 5 a 25. Je vidět, že obě
rozdělení jsou velmi blízká normálnímu
rozdělení, z dolního grafu vyplývá, že větší
výběr (N=25) má nižší variabilitu rozdělení
průměrů.
S nastavením těchto dat a různými počty a
velikostmi výběrů je možné „experimentovat“
na stránce:
http://onlinestatbook.com/stat_sim/samp
ling_dist/index.html
10
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI
BODOVÝCH ODHADŮ
nespornost (konzistence) – se vzrůstající velikostí výběru
vzrůstá i pravděpodobnost, že odhad bude blízký
skutečnému parametru.
nevychýlenost (nestrannost) - střední hodnota výběrové
statistiky T se rovná odhadovanému parametru P
základního souboru („průměr průměrů“)
E(T) = P
vydatnost – znamená, že daný nevychýlený odhad má se
srovnání se všemi ostatními nevychýlenými odhady
nejmenší variabilitu (rozptyl)
11
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI
BODOVÝCH ODHADŮ
skutečná hodnota
parametru ZS
jednotlivé
výběrové
průměry
12
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI
BODOVÝCH ODHADŮ
vychýlení odhadu
skutečná hodnota
parametru ZS
y - výběrové průměry
M - „průměr průměrů“ z hodnot y –
vypočítaný odhad střední hodnoty
ZS
13
Grafické znázornění vychýleného odhadu – pokud se střední hodnota výběrových statistik M liší od skutečné
hodnoty parametru, potom se jedná o vychýlený odhad.
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI
BODOVÝCH ODHADŮ
nevychýlený a
vydatný odhad
nevychýlený
odhad s
velkou
variabilitou
(nevydatný)
14
BODOVÉ ODHADY
ZÁKLADNÍCH PARAMETRŮ
Odhad střední hodnoty:
E X  = x
Odhad rozptylu:
n
D X  = S 
n -1
2
15
Výraz S2*(n/(n-1) je nestranný konzistentní
odhad rozptylu D(X) náhodné veličiny X.
korekce vychýlení
BODOVÉ ODHADY
ZÁKLADNÍCH PARAMETRŮ
výběrový průměr – vypočítaný z
červených bodů – z výběrového
souboru – tuto hodnotu známe
hustota pravděpodobnosti
základního souboru
(„nekonečný“ počet šedých
bodů)
hodnoty výběrového
souboru
16
X

střední hodnota ZS – v
praxi ji neznáme, znali
bychom ji pouze, pokud
bychom znali celý ZS všechny šedé body
tato vzdálenost je pro jeden konkrétní výběr neznámá (protože neznáme
polohu ) není možné určit spolehlivost konkrétního odhadu (tj. zda
vychýlení výběrového průměru je „milimetr nebo kilometr“) – proto se
pro odhad parametrů ZS používají raději intervalové odhady
INTERVALOVÉ ODHADY
PARAMETRŮ ZS
Interval spolehlivosti pro parametr  při hladině
významnosti (0,1) je určen statistikami T1 a T2:.
P  T1  τ  T2  = 1-α
Čteme: Pravděpodobnost, že parametr základního souboru 
leží v intervalu (T1;T2), je 1 – α.
Označení  je obecné, parametrem může být střední hodnota,
směrodatná odchylka, rozptyl,… atd.)
prvky výběru
T1
X
toto je bodový odhad neznámé
střední hodnoty  vypočítaný
z prvků výběru – nevíme nic o
jeho vztahu ke skutečné
střední hodnotě
T2
toto je intervalový odhad neznámé střední hodnoty předpokládáme, že s pravděpodobností P =1- leží
nám neznámé  kdekoli v tomto úseku číselné osy
17
INTERVALOVÉ ODHADY
PARAMETRŮ ZS A VÝZNAM HODNOTY α
Hlavní rozdílem intervalového odhadu oproti bodovému je to, že místo jedné hodnoty
určujeme zpravidla dvě hodnoty – hranice intervalu. Hlavní výhodou intervalového
odhadu je fakt, že můžeme určit pravděpodobnost (spolehlivost) odhadu, tj. že můžeme
prohlásit, že neznámý parametr leží v daném intervalu s pravděpodobností …. %.
Pravděpodobnost odhadu určujeme pomocí hladiny významnosti α, přičemž platí, že s
pravděpodobností 1-α vypočítaný interval obsahuje skutečnou hodnotu parametru ZS.
Hodnota α je tedy pravděpodobnost („riziko“) toho, že intervalový odhad nebude
skutečnou hodnotu parametru obsahovat.
Nejčastější používanou hodnotou α je 0,05 (tj. 5%). V tomto případě interval spolehlivosti
(IS) platí s pravděpodobností 95%. Připouštíme 5% „riziko“, že vypočítaný IS je „chybný“,
tj. neobsahuje skutečnou hodnotu parametru. Musíme totiž připustit, že „náhodou“ se může
stát, že náš náhodně zvolený výběr bude tak „extrémní“, že skutečná hodnota parametru
bude mimo něj.
Tento případ ukazuje následující obrázek.
18
HLADINA VÝZNAMNOSTI 
V INTERVALOVÝCH ODHADECH

tento interval
spolehlivosti
„neobsahuje“ střední
hodnotu (je tedy
„chybný“), těchto
intervalů se objeví
nejvýše (100) %
19
tyto intervaly spolehlivosti „obsahují“ střední
hodnotu (jsou tedy „správné“), těch (při
opakovaných výběrech) bude nejméně (1- ).100 %
x1
x2
x2
Zde jsou ze ZS (všechny možné body pod zelenomodrou křivkou) se
střední hodnotou  (modrá čárkovaná čára) vybrány 3 náhodné
výběry – červený zelený a fialový (jsou to 3 výběry z teoreticky
nekonečného počtu výběrů). Zatímco IS vypočítané z červeného a
zeleného výběru obsahují hodnotu parametru (modrá čára označující
 jimi prochází), fialové body jsou natolik vychýleny, že jejich IS je
příliš vlevo a skutečnou hodnotu parametru neobsahuje). Hodnota α
= 0,05 zaručuje, že těchto „chybných“ odhadů nebude víc než
max. 5 %, tj. např. 5 ze 100 výběrů.
HLADINA VÝZNAMNOSTI 
V INTERVALOVÝCH ODHADECH
Obrázek ukazuje křivku rozdělení výběrového průměru se
středem  a směrodatnou odchylkou σ/n . Ze ZS se
známou střední hodnotou bylo na počítači náhodně
vygenerováno padesát výběrů o rozsahu n = 10 a byly
spočteny a nakresleny intervaly spolehlivosti. Z padesáti
intervalů pouze dva nepokrývají průměr ZS , který je
znázorněn vertikální čárou (tyto dva intervaly jsou na
obrázku označeny šipkami). Teorie předvídá, že 5 %
takových intervalů nepokryje střední hodnotu ZS (v našem
případě 5% z 50, tj. 2,5. Naše simulace je tedy v dobrém
souladu s teorií, protože pouze 2 IS nepokrývají skutečnou
střední hodnotu.
V praxi samozřejmě provedeme pouze jediný výběr
o rozsahu n a spočteme intervalový odhad parametru  .
Nevíme ovšem, zda náš interval pokryje  , nebo ne.
Protože ale známe vlastnosti výběrového rozdělení
průměru, můžeme se stanovenou spolehlivostí (např. 95%)
předpokládat, že jsme nedostali jeden z těch neobvyklých
intervalů, které nepokrývají  . Proto také vypočtenému
intervalu říkáme 95% interval spolehlivosti pro  .
20
(podle
http://ucebnice.euromise.cz/index.php?conn=0&section=bio
stat1&node=8#SECTION00820000000000000000)
OBOUSTRANNÉ INTERVALOVÉ
ODHADY PARAMETRŮ ZS
Oboustranné IS se používají
jako základní, vždy, pokud
chceme odhadnout hodnotu
parametru ZS a tuto hodnotu
neporovnáváme s nějakou
hraniční hodnotou (normou
apod.).
1= /2
T
Při konstrukci oboustranného IS musíme
„rozložit“ pravděpodobnost α na obě strany
intervalu. Je tomu tak proto, že pokud se
toto „riziko“ naplní (tj. IS nebude obsahovat
skutečnou hodnotu parametru ZS), my
nevíme, kde je skutečná hodnota parametru,
zda vlevo nebo vpravo od IS. Proto se obě
hranice oboustranného IS konstruují na
základě pravděpodobnosti α/2, nikoli α.
2= /2
P = 1 -  = 1 – (1 + 2)


T1
21
T2
JEDNOSTRANNÉ
INTERVALOVÉ ODHADY
Jednostranné intervaly spolehlivosti používáme tehdy, pokud chceme porovnat hodnotu parametru ZS
s nějakou hraniční hodnotou (normou apod.), kdy na druhé straně intervalu „nezáleží“, kdy je pro nás
hlavně podstatné, zda hodnota parametru může nebo nemůže v ZS přesáhnout uvedenou hraniční hodnotu.
Příkladem může být měření škodlivin v ovzduší. Každá škodlivina (SO2, prachové částice, …) má
stanovenou normu středních hodnot za určitý čas (např. za den), která by neměla být „překonána“. ZS je zde
teoreticky nekonečný počet možných měření. My samozřejmě můžeme změřit pouze omezený reálný počet
měření – a to bude výběrový soubor (VS). Otázka zní, zda v případě, že bychom změřili „nekonečný“ počet
měření, by střední hodnota obsahu škodliviny v ovzduší přesáhla normu.
Na obrázcích zelené body představují VS, žlutá čára výběrový průměr (vypočítaný z hodnot VS), červená
čára normu, a fialová čára je jednostranný (pravostranný ) IS.
norma
norma
22
V tomto případě vypočítaný výběrový průměr je sice menší než norma, ale my
potřebujeme vědět, zda je pravděpodobné, že vy střední hodnota „nekonečného
počtu“ měření mohla s danou pravděpodobností přesáhnout normu. V tomto
případě tomu tak není (pravá hranice IS je pod normou).
V tomto případě vypočítaný výběrový průměr je sice menší než norma, ale my
potřebujeme vědět, zda je pravděpodobné, že vy střední hodnota „nekonečného
počtu“ měření mohla s danou pravděpodobností přesáhnout normu. V tomto
případě tomu tak je (pravá hranice IS je nad normou, možnou příčinou je vyšší
variabilita těchto měření). Znamená to, že v tomto případě bychom učinili závěr, že
norma byla překročena.
JEDNOSTRANNÉ
INTERVALOVÉ ODHADY
U jednostranných odhadů používáme k výpočtu hranice (levé nebo pravé) hodnotu α, a to proto, že IS
může neobsahovat skutečnou hodnotu parametru pouze na jedné straně, na druhé straně jde interval do
„nekonečna“.
23
levostranný odhad
pravostranný odhad
P(τ > T1 ) = 1 - α
P(τ < T2 ) = 1 - α
POROVNÁNÍ JEDNOSTRANNÉHO A
ODOUSTRANNÉHO ODHADU
T

T1
jednostranný intervalový
odhad P = 1 - 
1
2

T1
24
oboustranný intervalový odhad
P = 1 -  = 1 – (1 + 2)
T2
POROVNÁNÍ JEDNOSTRANNÉHO A
ODOUSTRANNÉHO ODHADU
Obrázek ukazuje hodnoty (kvantily) normovaného normálního rozdělení, které odpovídají hodnotám α 0,05
(pro IS platný s 95% pravděpodobností), 0,01 (pro IS platný s 99% pravděpodobností) a 0,001 (pro IS
platný s 99,9% pravděpodobností), a to pro jednostranný levostranný IS (obr. a), pro oboustranný IS (obr.
b) a pro jednostranný pravostranný IS (obr. c) . Tyto hodnoty(kvantily) se využívají při výpočtu IS (viz
dále).
25
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI
STŘEDNÍ HODNOTY 
 je známa směrodatná odchylka  základního souboru
nebo je používán velký výběr (nad 30 prvků)
x - z /2 

n
dolní hranice
26
   x + z /2 

n
horní hranice
v případě
velkého
výběru lze
použít místo 
výběrovou
směrodatnou
odchylku S
z/2 je kvantil normovaného normálního rozdělení
pro hladinu významnosti /2
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI
STŘEDNÍ HODNOTY 
 není známa směrodatná odchylka  základního souboru
a je používán malý výběr (do
30 prvků)
Základní vzorec pro výpočet IS střední hodnoty. Výhodou je to, že za předpokladu normálního
rozdělení je IS symetrický podle výběrového průměru. Znamená to, že vypočítáme polovinu IS (výraz v
zeleném rámečku) a tuto hodnotu odečteme od výběrového průměru (tím získáme dolní hranici IS) a
přičteme k výběrovému průměru (tím získáme horní hranici IS).
Tento vzorec můžeme použít pro jakoukoliv velikost výběru – pro malé výběry (do 30 prvků) jej
použít musíme (platí zde t-rozdělení místo normálního rozdělení) a pro velké výběry (nad 30 prvků)
můžeme (se vzrůstající velikostí výběru se t-rozdělení blíží rozdělení normálnímu, až s ním prakticky
splyne).
S
S
x - t /2,n-1 
   x + t /2,n-1 
n
n
27
dolní hranice
horní hranice
t/2,n-1 je kvantil Studentova t-rozdělení pro hladinu významnosti /2 a (n-1) stupňů volnosti
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI
STŘEDNÍ HODNOTY 
 velikost základního souboru je známa (N) a
výběrový soubor je relativně velký (n > 5 % N)
Používá se korekce na konečný základní soubor:
S
n
S
n
x  t /2. . 1    x  t /2. . 1
N
N
n
n
Účelem korekce je zmenšit standardní chybu x
28
INTERVALY SPOLEHLIVOSTI –
PROVEDENÍ V EXCELU
 interval spolehlivosti střední hodnoty
a) pomocí doplňku Analýza dat
rozsah dat výběru
hodnota 100.(1-)%
musí být zatrženo !!
29
INTERVALY SPOLEHLIVOSTI –
PROVEDENÍ V EXCELU
 pomocí funkce CONFIDENCE
hodnota 
směrodatná odchylka
(např. vypočítaná pomocí
modulu „Popisná
statistika“
velikost výběru
30
S
Způsob  počítá interval spolehlivosti podle vzorce t /2,n-1 
pro stejná data vychází „širší“, protože t-rozdělení má vyšší variabilitu
n

Způsob  počítá interval spolehlivosti podle vzorce z /2 
n
pro stejná data vychází „užší“, protože normované normální rozdělení má nižší variabilitu
FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ VELIKOST
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI (IS)
31
velikost výběru (čím větší výběr, tím užší IS)
hladina význanosti (čím vyšší hodnota , tím užší interval
– nižší hladina významnosti (např. 0,01 místo 0,05)
znamená požadavek vyšší spolehlivosti určení IS - pokud
určíme  =0,01, požadujeme spolehlivost IS P=99%, pokud
určíme  =0,05, požadujeme spolehlivost IS P=95%, IS
musí být širší pro P=99% než pro P=95%, protože musíme
zaručit vyšší spolehlivost)
variabilita (čím vyšší hodnota směrodatné odchylky, tím
širší IS)
použitý vzorec (pokud používáme t-rozdělení, je IS širší než
při použití N(0,1), rozdíl je markantnější u malých výběrů)
FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ VELIKOST
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
32
0.05;10;T
0.05;10;Z
0.01;10;T
0.01;10;Z
0.05;50;T
0.05;50;Z
0.01;50;T
0.01;50;Z
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI
SMĚRODATNÉ ODCHYLKY 
 pro malé výběry
Výpočet intervalu spolehlivosti směrodatné odchylky využívá 2-rozdělení a je nesouměrný –
nesouměrnost je vyšší u odhadů vycházejících z malých výběrů. Proto musíme vypočítat zvlášť
dolní a horní hranici. S2 je rozptyl výběru, χ2 je hodnota chi-kvadrát (Pearsonova) rozdělení.
Hodnoty chi-kvadrátu musíme vypočítat dvě (pro hladinu významnosti α/2 a pro 1-α/2, což je
možné v Excelu pomocí funkce CHIINV, kde za „Prst“ dosadíme hladinu významnosti a za
„Volnost“ počet stupňů volnosti (n-1).
(n -1)  Sˆ 2
(n -1)  Sˆ 2
σ 
2
χα
χ2 α
2
33
, n 1
1- , n 1
2
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI
SMĚRODATNÉ ODCHYLKY 
 pro velké výběry (nad 30 prvků)
Výpočet intervalu spolehlivosti směrodatné odchylky pro
velké výběry využívá normovaného normálního
rozdělení a je souměrný.
S
σ = S ± z α/2 .
2n
34
VELIKOST VÝBĚRU
Obecně platí – čím větší – tím lepší. Nejlepší je žádný
(použít základní soubor.
Obvyklá otázka zní:
Jakou minimální velikost výběru potřebuji vzhledem k
účelu analýzy a k požadované vypovídací schopnosti
o základním souboru?
35
Jedním ze základních kritérií velikosti výběru je
požadovaná přesnost a spolehlivost určení
stanoveného parametru (obvykle střední hodnoty).
VELIKOST VÝBĚRU
 Jaká bude maximální povolená „vzdálenost“ mezi
odhadem parametru a vlastním parametrem? Odpovědí je
přesnost odhadu, značená D.
 Jakou požadujeme spolehlivost, že skutečná vzdálenost
mezi odhadem a skutečným parametrem bude menší nebo
nejvýše rovna D? Odpovědí je spolehlivost odhadu daná
hodnotou 100.(1-). Musíme tedy určit hladinu významnosti .
 Jaká je variabilita základního souboru (většinou ji
neznáme, je nutné použít co nejpřesnější odhad). Určíme ji
pomocí rozptylu (S2) nebo variačního koeficientu (S%).
36
VELIKOST VÝBĚRU ZALOŽENÁ NA
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI 
Jakou velikost výběru n ze základního souboru s
variabilitou danou rozptylem S2 minimálně potřebuji,
abych se spolehlivostí 100.(1-) % zabezpečil, že
střední hodnota  se bude pohybovat v intervalu x D
(výběrový průměr  přesnost odhadu)?
+D
x

37
-D
VELIKOST VÝBĚRU ZALOŽENÁ NA
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI 
2
2
n=t
2
α/2
S
 2
D
n=t
2
α/2
(S%)
 2
D  %
t/2
kvantil t-rozdělení pro hladinu významnosti /2 a pro
n-1 stupňů volnosti. Pro 1. aproximaci n odhadneme, pro 2.
počítáme s výsledným (n-1) z 1. aproximace a pokračujeme
tak dlouho, dokud se n mění. Pro velké výběry můžeme
použít přímo z /2.
38
Vzorec vlevo se používá, pokud variabilitu (S2) i přesnost
odhadu (D2) určujeme absolutně, tj.v jednotkách měřené
veličiny. Vzorec vpravo se používá, pokud obé určujeme
relativně (v %).
VELIKOST VÝBĚRU ZALOŽENÁ NA
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI 
Můžeme využít jednoduché excelovské tabulky (list „velikost výběru“) zde:
http://user.mendelu.cz/drapela/Statisticke_metody/Data_do_cviceni/Velikost_vyberu.xls
Řešené příklady na téma velikosti výběru jsou v souboru (první dvě strany z tohoto dokumentu)
http://user.mendelu.cz/drapela/Statisticke_metody/Data_do_cviceni/Velikost_vyberu.doc
Pro první aproximaci využijeme
odhadnutou velikost výběru 30:
39
Ve žlutém poli vyjde 1. vypočítaný
odhad n (17), vzhledem k tomu, že
se tato hodnota liší od původně
zadané hodnoty 30, pro další výpočet
zadáme 17 místo 30.)
VELIKOST VÝBĚRU ZALOŽENÁ NA
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI 
Po dalších dvou aproximacích vyjde konečná velikost výběru 18 (při zadání hodnoty 18 do
buňky E3 zůstává stejná hodnota i v buňce F9).
Dále se můžeme přesvědčit, že vypočítaná (skutečná) přesnost určení střední hodnoty
tloušťky při použití výběru velikosti 18 je 1,989 cm (tmavě žlutá buňka E11), což
splňuje naši podmínku přesnosti  2 cm.
40
VELIKOST VÝBĚRU ZALOŽENÁ NA
INTERVALU SPOLEHLIVOSTI 
K řešení použijeme stejnou tabulku jako v předchozím příkladu, pouze zadáme hodnoty
zjištěné z naměřeného výběru (do buňky E1 hodnotu S 4,8, do buňky E3 realizovanou
velikost výběru 30. Předpokládáme, že chceme přesnost odhadu střední hodnoty určit se
spolehlivostí 95 %, proto necháme hodnotu  na 0,05. Ostatních hodnot si „nevšímáme“.
41