Transcript Často sa hovorí, že štatistika je “aplikovaný počet pravdepodobností

NÁHODNÝ JAV
NÁHODNÁ VELIČINA
VLASTNOSTI
POPIS
ZÁKON ROZDELENIA
NÁHODNÝ JAV
• Náhodný jav charakterizuje výsledok
náhodného pokusu:
• kvalitatívne – slovne
• kvantitatívne – číselne
• Pre číselné označenie náhodného javu
používame náhodnú veličinu
NÁHODNÁ VELIČINA
• Je určená výsledkom náhodného pokusu
• Charakteristickým znakom je jej
premenlivosť pri opakovaní pokusu
• Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo
hodnoty z rôznych intervalov
Diskrétna náhodná veličina
Spojitá náhodná veličina
DISKRÉTNA NÁHODNÁ VELIČINA
Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu
z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu
Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty
Príklady:





Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV,
ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100
Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet,
závisí od kapacity skladu)
Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je
to vždy obmedzený počet)
Odmeraný smer na stanovisku
Adičná konštanta
SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA
Hodnoty z konečného alebo nekonečného
intervalu, ktorých počet je nekonečný
Príklady:
Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom chyba, ktorej sa pri
meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek
hodnoty z intervalu ±5 mm
Doba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže
nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty
Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metre
Dĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)
ZÁKON ROZDELENIA NV
• Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej
veličine pravdepodobnosť P(x)
• Označenie náhodnej veličiny: X
• Číselné hodnoty, ktoré nadobúda náhodná
veličina: xi (x)
POPIS ZÁKONA ROZDELENIA
PRAVDEPODOBNOSTI NV
• Matematickým vzorcom
• distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej NV
• Grafom
• na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny xi a na osi y
sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi)
• Pravdepodobnostnou tabuľkou
• u diskrétnej náhodnej veličiny
DISTRIBUČNÁ FUNKCIA
• Slúži k popisu diskrétnej aj spojitej NV
• Každému reálnemu číslu priraďuje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina X
nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo
F ( x)  P( X  x)
VLASTNOSTI DISTRIBUČNEJ
FUNKCIE
• Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1
vrátane
0  F ( x)  1
• Distribučná funkcia je neklesajúca
x1  x2  F (x1 )  F ( x2 )
• Distribučná funkcia je spojitá zľava
F ( x  0)  P( X  x)
F ( x  0)  F ( x)
• Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky
F (  )  0
F (  )  1
GRAF DISTRIBUČNEJ FUNKCIE
Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych
relatívnych početností
120.0
Kumulatívna početnosť
100.0
80.0
Kumulatívna
pravdepodobnosť
60.0
40.0
20.0
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.0
PRAVDEPODOBNOSTNÁ TABUĽKA
• Popisuje len diskrétnu náhodnú premennú
• Je najjednoduchšou formou zákona rozdelenia
xi
x1
x2
,,,
xn
Suma
P(i)
p(1)
p(2)
,,,
p(n)
1
• Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny
priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti
VLASTNOSTI PRAVDEPODOBNOSTI
DISKRÉTNEJ NV
Súčet pravdepodobností je rovný 1
 p(x)  1
Pravdepodobnosť je určená vzťahom
P( X  x)  F ( x)   p( xi )
xi  x
Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny
v intervale je daná vzťahom
P( x1  x  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )
SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA
• Distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny
x
F ( x)    x  dx

HUSTOTA PRAVDEPODOBNOSTI
• zobrazuje sa frekvenčnou krivkou
• popisuje rozdelenie spojitej NV
• má podobné vlastnosti ako
pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine
dF ( x)
F ( x  x)  F ( x)
 x   F x  
 lim
x 0
dx
x
VLASTNOSTI HUSTOTY
PRAVDEPODOBNOSTI
1. Je nezáporná
2. Spĺňa vzťah
 x   0

  x  dx  1

1. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z
intervalu <x1,x2>
x2
Px1  x  x2     x  dx
x1
DISTRIBUČNÁ FUNKCIA
A HUSTOTA PRAVDEPODOBNOSTI
CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH
VELIČÍN
Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných
veličín
Popisujú hlavné vlastnosti náhodnej veličiny
• Charakteristiky polohy
• Charakteristiky premenlivosti
• Charakteristiky šikmosti
• Charakteristiky špicatosti
• Momentové charakteristiky
CHARAKTERISTIKY POLOHY
•
•
•
•
•
•
•
•
Stredná hodnota
Medián
Modus
Harmonický priemer
Geometrický priemer
Aritmetický priemer
Kvadratický priemer
...
STREDNÁ HODNOTA
Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého
rozdelenia
Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny
E( x)   xi .P( xi )
xi
Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny

E( x)   x. ( x)dx

VLASTNOSTI STREDNEJ HODNOTY
• Súčin konštanty a náhodnej veličiny
E (k.x)  k.E ( x)
• Súčet dvoch náhodných veličín x a y
E( x  y)  E( x)  E( y)
• Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín
E ( x. y)  E ( x).E ( y)
MEDIÁN
Medián je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny
na dve rovnako pravdepodobné polovice
P( x  xmed )  P( x  xmed )  0,5
MODUS
Modus u diskrétnej náhodnej veličiny je hodnota
s najväčšou početnosťou
ARITMETICKÝ PRIEMER
• je to zvláštny prípad strednej hodnoty
x AP
xi
1

 x1  x2    xn  
n
n
• Všeobecný aritmetický priemer
(vážený aritmetický priemer)
xVAP 
1
p
i
 p1 x1  p2 x2
px

 p x  
p
i i
n n
i
HARMONICKÝ PRIEMER
• je to zvláštny prípad strednej hodnoty
recipročných hodnôt
1
1 1 1
1
      
xHP n  x1 x2
xn 
• Príklad: priemerná rýchlosť
GEOMETRICKÝ PRIEMER
xGP  n x1.x2 . xn
• Príklad: finančný prírastok
KVADRATICKÝ PRIEMER
xQ 
x  x   x
n
2
1
2
2
2
n
• Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej
energie
MOMENTOVÉ CHARAKTERISTIKY
• Počiatočný moment k-teho rádu
 k  Ex k 
• Centrálny moment k- teho rádu
k  Ex  Ex  Ex 1 
k
k
MOMENTY DISKRÉTNEJ
NÁHODNEJ VELIČINY
 k   x P(x)
k
k   x  Ex P( x)
k
x
MOMENTY SPOJITEJ NÁHODNEJ
VELIČINY

 k   x  ( x) dx
k

k 

 x  E( x)  ( x) dx

k
CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI
• Variancia
• Smerodajná odchýlka (stredná kvadratická
odchýlka)
• Priemerná odchýlka
• Pravdepodobná odchýlka
VARIANCIA (ROZPTYL, DISPERZIA)
je mierou variability náhodnej premennej
V ( x)  Ex  E( x)  E( x )  E( x)
2
n
2
V ( x)   xi  E ( x)  .P( xi )
2
i 1

V ( x) 
 x  E( x )  ( x) dx
2
i

je definovaná ako druhý centrálny moment
2
VLASTNOSTI VARIANCIE
• Variancia konštanty
V (k )  0
• Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny
V (k.x)  k 2 V ( x)
• Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých
NV
V ( x  y )  V ( x)  V ( y )
SMERODAJNÁ ODCHÝLKA
• Základná charakteristika premenlivosti
  V (x)
• Štandardná odchýlka
PRIEMERNÁ LINEÁRNA ODCHÝLKA
• Prvý absolútny centrálny moment
 1  E  x  E ( x) 
PRAVDEPODOBNÁ ODCHÝLKA
• medián absolútnych odchýliek od strednej
hodnoty
Pr  x  E( x)   Pr  x  E( x)   0,5
NORMOVANÁ NÁHODNÁ VELIČINA
• Normovaná (štandardizovaná) veličina
u
x  E (x)

• Stredná hodnota normovanej veličiny
E (u )  0
• Variancia normovanej veličiny
V (u )  1
CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI
• Tretí normovaný moment
• Koeficient šikmosti
A  3 (u ) 
• Symetrické rozdelenie:
3 (u)  0
E  x  E ( x) 
3

3
3
 3

CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI
• Štvrtý normovaný moment
4 (u) 
• Koeficient špicatosti
E  x  E ( x) 
4
4
4
 4

4
E   4 (u )  3  4  3

• Pre normálne rozdelenie je rovný 0
• Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne
• Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako normálne