Transcript Power Point - LOG OPT HOME

数理最適化の応用例と
実験的解析
東京海洋大学
久保 幹雄
実験対象
•
•
•
•
•
•
施設配置問題（k-median, k-center)
グラフ関連（グラフ分割，グラフ彩色）
巡回路（巡回セールスマン）
ロットサイズ決定
非線形施設配置
スケジューリング
k-median問題
• min-sum型の施設配置問題
• 顧客数 n=200，施設数 k=20
（顧客上から選択）
• Euclid距離，x,y座標は一様ランダム
n=200, k=5 の例
定式化
I: 顧客の集合
J: 施設候補地点の集合
Big M
弱い定式化
弱い定式化での結果
n=200,k=20
Optimize a model with 401 Rows, 40200 Columns and 80400
NonZeros
中略
Explored 1445 nodes (63581 simplex iterations) in 67.08 seconds
Thread count was 2 (of 2 available processors)
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.0180195861e+01, best bound 1.0179189780e+01,
gap 0.0099%
Opt.value= 10.1801958607
上界と下界の変化
（弱い定式化）
18
16
Obj. Func. Value
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
CPU
50
60
70
強い定式化での結果
Optimize a model with 40401 Rows, 40200 Columns and 160400
NonZeros
中略
Explored 0 nodes (1697 simplex iterations) in 3.33 seconds
(分枝しないで終了！）
Thread count was 2 (of 2 available processors)
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.0180195861e+01, best bound 1.0180195861e+01,
gap 0.0%
Opt.value= 10.1801958607
知見
• Big Mを用いない強い定式化が望ましい．
• この程度の式なら，必要な式のみを切除
平面として追加するような小細工は必要な
し．
k-center問題
• min-max型の施設配置問題
• 100顧客，10施設（顧客上から選択）
• Euclid距離，x,y座標は一様ランダム
k-center (n=30,k=3)
k-median (n=30,k=3)
定式化
上界と下界の変化
(n=100,k=10)
1.2
Obj. Fun. Value
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
CPU Time
min-max型の目的関数には注意！
400
k-被覆問題
被覆されていない（距離がθより大きい）顧客数
=1 顧客 i が被覆されていない
パラメータ：=1
顧客iから施設jへ
の距離が θ以下
k-被覆問題を用いた二分探索法
UB:=距離の最大値， LB:=0
while UB – LB >ε:
θ= (UB+LB)/2
if k-被覆問題の最適値= 0 then
UB = θ
else
LB = θ
実験結果
k= ceil( n/10 )
k-center min-max
k-median
k-center 2分探索
知見
•k-center問題（min-max型の最適化問題）に対して
は100点あたりで組合せ爆発が起きる．
•Min-max型の目的関数は解きにくい（双対ギャップ
が大きい；上界も下界も悪いので，途中で止めても
悪い解！）
•k-center問題に対しては，k-cover問題を用いた二
分探索が有効
グラフ分割問題
• 無向グラフ G=(V,E)が与えられたとき，
|L|=|R|を満たすVの分割(L,R)で，LとRの
間の枝の本数を最小にするものを求める
問題．
• 応用
– VLSI 設計, プログラム分割
• JohnsonらがSimulated Annealing法の実験
のために採用した第１の問題．
グラフ分割問題
半分に分けたい!
仲良し！
グラフ分割問題 目的関数値＝２
二次最適化定式化
凸二次でないので通常は解けない（がGurobiだと解ける）
0-1 変数を二乗して凸関数に変換する方が良い
Google 3D Graph
x*(1-y)+(1-x)*y
x^2+y^2-2*x*y
線形化定式化
変数 y を追加して線形化
二次錘定式化
二次最適化定式化
線形化定式化
知見
• Gurobiは，非凸二次最適化でも0-1変数な
ら自動的に凸最適化に変換
• 線形化した方が高速
• 二次錘最適化も有効であるが，線形化が
簡単で有効
• 100点を超えるような問題例には，適用す
べきでない．
グラフ彩色問題
• 無向グラフG=(V,E)が与えられたとき，Vの安定
集合への分割で分割数最小のものを求める問
題．
• 応用
– 時間割作成，スケジューリング，周波数割当，レジス
タ配分，プリント基板テスト，パターンマッチグ．
• 1993年度DIMACSチャレンジ問題の一つ
• Johnsonらの実験的解析の第2の問題
グラフ彩色問題
・・・
クラス分けしたい！
仲が悪い!
グラフ彩色問題
定式化
弱い定式化
グラフ彩色問題に対する実験
•
•
•
•
目的：解の対称性を調べる
点数 n=40，彩色数上限 Kmax=10
ランダムグラフ G(n,p=0.5)
彩色数 8 が最適値
上界と下界の変化（原定式化）
点数 n=40，彩色数上限 Kmax=10
12
Obj. Func. Value
10
8
6
4
2
0
0
200
400
600
800
1000
1200
CPU Time
Optimize a model with 3820 Rows, 410 Columns and 11740 NonZeros
Explored 17149 nodes (3425130 simplex iterations) in 1321.63 seconds
1400
定式化の改良
対称性の除去（番号の小さい方の色を優先して使う！）
特殊順序集合（SOS: Special Ordered Set） Type 1 （いずれか
１つの変数が正になることの宣言）の追加
model.addSOS(1,変数リスト)
彩色数 K を固定した定式化
悪い枝の数を最小化
（０だとK彩色）
枝の両端点 i,j が同色だと 0-1変数 zij が 1
K固定問題を用いた二分探索
UB, LB := 彩色数 K の上界と下界
while UB – LB >1:
K= [ (UB+LB)/2 ]
if Kを固定した問題の最適値 = 0 then
UB := K
else
LB := K
原定式化
対称性除去
＋SOS
二分探索
対称性除去
知見
• 解の対称性のある問題は，下界の改善がしにく
いので，分枝限定法では解きにくい
• 対称性を除く工夫を入れると多少は改善
• SOS（Special Ordered Set）制約でさらに改善
• 彩色数に対する二分探索は有効
巡回セールスマン問題（ＴＳＰ）
• すべての点をちょうど１回通る最短巡回路
• 切除平面法で85,900点の実際問題（対称Ｔ
ＳＰ）の最適解
Miller-Tucker-Zemlinの定式化
上界と下界の変化
（８０点，Euclid TSP）
45
40
35
強化した式
でないと．．．
１日まわして
Out of Memory!
Obj. Func. Value
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
CPU
250
300
350
400
非対称巡回セールスマンのベンチマークに対する結果（時間）
多品種フロー
単一品種フロー
強化MTZ
MTZ
非対称巡回セールスマンのベンチマークに対する結果（成功数）
多品種フロー
MTZ
強化MTZ
単一品種フロー
知見
• 式を持ち上げ操作で強化すると，高速化さ
れ，大きな問題例が解けるようになる．
• 多品種フロー定式化は下界は強いが求解
時間は悪い
• 単品種フロー定式化は安定して良い．
• 問題例によっては1000点まで解ける！
対称巡回セールスマンのベンチマークに対する結果（時間）
分枝カット法 II
（分枝時にカット追加）
分枝カット法 I
（整数解のとき
カット追加）
分枝限定+
切除平面法
対称巡回セールスマンのベンチマークに対する結果（成功数）
分枝カット法 II
（分枝時にカット追加）
分枝限定+
切除平面法
分枝カット法 I
（整数解のとき
カット追加）
知見
• 分枝時に切除平面を追加する分枝カット法
は遅い．
• 整数解を発見したタイミングで切除平面を
加える分枝カット法が推奨される．
• 分枝限定法で整数解を出した後で，切除
平面を加える簡便法も悪くない．
多品目ロットサイズ決定問題
• 段取り費用と在庫費用のトレードオフを最
適化する多期間生産計画
• 多品目で共通の資源を使う容量制約付き
問題は，MIPソルバーには難問（と言われ
てきた）
• T=30期，P=24品目：Trigeiro, Thomas,
McClain （1989年）の最大のベンチマーク
ロットサイズ決定問題
標準定式化のフローモデル
生産量(t)
在庫量(t-1)
在庫量(t)
期
t
需要量(t)
弱い定式化の原因
生産量(t)≦大きな数 “Large M” ×段取りの有無(t)
在庫量（t-1)+生産量(t)=需要量(t)+在庫量（t)
0-1変数
ロットサイズ決定問題
施設配置定式化のフローモデル
s期に生産してt期まで在庫される量
期
s
期
t
需要量(t)
s期に生産してt期まで在庫される量 ≦需要量(t)×段取りの有無(s)
 s期に生産してt期まで在庫される量 = 需要量(t)
s t
定式化のサイズと強さの比較
標準定式化
変数の数
制約の数
O(n)
施設配置定式化
O(n)
弱い定式化
変数の数 O(n
制約の数
2
追加した
制約の数
O(2n )
O(n )
(S,l)不等式
)
強い定式化
=線形計画緩和が
整数多面体と一致
切除平面
n: 期数
強い定式化
2
切除平面
標準
施設配置
切除平面
標準
施設配置
知見
• 従来では難問と言われてきたロットサイズ
決定問題でもある程度までは大丈夫
• 施設配置定式化を推奨
• 分枝カット法は悪い
• 実務的には「打ち切り分枝限定法」を推奨
（緩和固定法と比べて簡単で高性能）
非線形施設配置問題
（色々な定式化の比較）
•
•
•
•
•
•
多重選択
非集約型凸結合
対数個の変数を用いた非集約型凸結合
集約型凸結合
対数個の変数を用いた集約型凸結合
SOS : タイプ2の特殊順序集合
集約型凸結合
対数個非集約型凸結合
対数集約型凸結合
非集約型凸結合
多重選択
sos
知見
• 単純なタイプ2の特殊順序集合
(SOS Type 2)を用いたものが最も良い．
• 次いで，対数個の変数を用いた集約型凸結
合定式化，対数個の変数を用いた非集約型
凸結合定式化，集約型凸結合定式化．
• 多重選択を使うケースをよくみるが，使うべ
きではない．
スケジューリング問題
• 1機械リリース時刻付き総納期遅れ最小化
問題
• 比較する定式化
– 線形順序付け定式化
– 時刻添え字定式化
– 離接定式化 (Big M使用）
時刻添え字
線形順序付け
離接定式化
知見
• 比較的簡単な1機械問題でも200ジョブ程
度で組合せ爆発
• 他のスケジューリング問題で実験したが，
ベンチマーク問題例は全滅
• 現状では，スケジューリングは混合整数最
適化では無理