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「ORーA」 2011/01/07 • 前回の続き（インディケータ変数による定式化） – 公式の再確認 – 前回宿題の解説 • 露天掘り • 施設配置問題に関する論理条件 – OR条件の応用（非凸領域の表現） – 今回宿題の問題解説 • カッティングストック問題に対する列生成法 1 論理条件に対応する数式の「作成公式」 ステップ１ 「δ＝１→Σjａjｘj≦ｂ」形の論理条件にする。 ステップ２ 右辺ｂを左辺に移項しΣjａjｘj－ｂ≦０の形に。 ステップ３ 右辺０の代わりに、δの（１次）関数を考え る。この関数はδ＝１のとき０、そうでないときは制 約条件式が無意味、すなわち、すべての解が生成さ れる制約条件式を満足するようにしたい。 このため、右辺を□（１－δ）の形（□は適当な定 数）にすると、Σjａjｘj－ｂ≦Ｍ（１－δ）が望む制約条 件式となる。ただし、ＭはΣjａjｘj－ｂの上界値とする。 2 論理条件と０－１変数 δiが０－１のインディケータ変数とし、Ｘi がδi＝１という状態を示すこととする。 （A） Ｘ 1∨Ｘ 2 δ1＋δ2≧１ （B） Ｘ 1・ Ｘ 2 δ1＝１，δ2＝１ （C） ～Ｘ 1 δ1＝０（１－δ1＝１） （D） Ｘ 1→Ｘ 2 δ1－δ2≦０ （E） Ｘ １←→Ｘ 2 δ1－δ2＝０ 3 露天掘り • ブロックiを掘る（xi＝１）ときには、その「上 に位置する」ブロックjも掘らなければなら ない（ xj＝１） • xi＝１ ⇒ xj＝１ • xiー xj≦０ （ xi≦ xj） 4 問題例1 候補地１、２、３の中から一つ 選択し、候補地４、５の中から一つ選択 より正確には、 候補地１、２、３の中から一つ選択し、かつ、 候補地４、５の中から一つ選択 数 理 計 画 で は 、 制 約 条 件 は AND で か か る δ1＋ δ2＋ δ3＝１ δ4＋ δ5＝１ 5 問題例2 候補地２を選択したときには、候 補地４または５の少なくともいずれか選択 δ2＝１ ⇒ δ4＋ δ5≧１ 備考：この場合、別途δを導入する必要はない δ2＝１ ⇒ ーδ4ーδ5＋１≦０ ーδ4ー δ5＋１≦□（１ー δ2 ） ーδ4ーδ5＋１≦（１ーδ2） ∴ δ2 ーδ4ー δ5≦０ (必ず、「検算」する） 6 問題例3 候補地２を選択したときには、 候補地４または５のいずれか1つを選択 δ2＝１ ⇒ δ4＋ δ5＝１ 間違った解答例： 1) δ4＋ δ5＝δ2 （δ2が0のとき、δ4＋δ5＝０？，No!） 2) δ2 ーδ＝０，－δ4ー δ5 ＋δ ＝０ 正しい考え方： δ2＝１ ⇒ ーδ4ー δ5＋１≦０ ① （前と同じ） かつ δ2＝１ ⇒ δ4＋ δ5ー１≦０ ② δ4＋ δ5ー１≦□（１ーδ2） δ4 ＋ δ5 ー １ ≦ （ １ ー δ2 ） ∴ δ2 ＋δ4＋ δ5≦２ ② ∴ δ2 ーδ4ー δ5≦０ ① 7 問題例4 候補地１または２を選択したと きは、候補地３、４、５のいずれかを選択 解釈が4つありうる 解釈1：候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地 3,4,5の少なくとも1つを選択 δ1＋ δ2≧１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ 解釈2：候補地1,2のいずれか1つを選択したときには、候補 地3,4,5の少なくとも1つを選択 δ1＋ δ2＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ 解釈3：候補地1,2の少なくとも1つを選択したときは、候補地 3,4,5のいずれか1つを選択 δ1＋ δ2≧１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5＝１ 解釈4：候補地1,2のいずれか1つを選択したときには、候補 地3,4,5のいずれか1つを選択 δ1＋ δ2＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5＝１ 8 問題例4（解釈1a） 候補地1,2の少なくとも 1つを選択したときは、候補地3,4,5の 少なくとも1つを選択 δ1＋ δ2≧１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ スマートな解答： 候補地ｉ を選択するという事象をＸｉ とすると、解釈１は Ｘ 1∪Ｘ 2⇒Ｘ 3∪Ｘ 4∪Ｘ 5 と等価； ところが、これは、 Ｘ 1⇒Ｘ 3∪Ｘ 4∪Ｘ 5 、かつ、Ｘ 2⇒Ｘ 3∪Ｘ 4∪Ｘ 5 と等価 δ1＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ∴ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧δ1 δ2＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ∴ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧δ2 ① ① ② ② 9 問題例4（解釈1b） 候補地1,2の少なくとも 1つを選択したときは、候補地3,4,5の 少なくとも1つを選択 δ1＋ δ2≧１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ 「公式」に忠実な解答： δ1＋ δ2≧１ ⇒ δ＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ㊧の対偶 δ＝０ ⇒ δ1＋ δ2≦０ ① ∴ δ1 ＋ δ2 ≦ ２δ ① ㊨ δ＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ② ∴ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧δ ② 10 問題例4（解釈2） 候補地1,2のいず れか1つを選択したときには、候補地 3,4,5の少なくとも1つを選択 δ1＋ δ2＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ 「公式」に忠実な解答： δ1＋ δ2＝１ ⇒ δ＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ㊧ ㊨ ㊧の対偶 ㊨ δ＝０ ⇒ δ1＋ δ2≦０ or δ1＋ δ2≧２ ① δ＝０ ⇒ γ1＋ γ2≧１ ② γ1＝1 ⇒ δ1＋ δ2≧２ ③ γ2＝1 ⇒ δ1＋ δ2≦０ ④ ∴ γ1 ＋ γ2 ＋δ ≧１ ② ∴ δ1 ＋ δ2 ー ２ γ1 ≧ ０ ③ ∴ δ1 ＋ δ2 ＋ ２ γ2 ≦ ２ ④ δ＝１ ⇒ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧１ ⑤ ∴ δ3 ＋ δ4＋ δ5≧δ ⑤ 11 OR条件の一般化，拡張 （A） Ｘ1∨Ｘ2 δ1＋δ2≧１ ↓ 複数項のOR条件 （A’） Ｘ1∨Ｘ2∨･･･∨Ｘn δ1＋δ2 ＋･･･＋δn≧１ 複数項の中から少なくともｋ 個以上 （A’’） Ｘ1，Ｘ2，･･･，Ｘnの中からｋ 個以上 δ1＋δ2 ＋･･･＋δn≧ｋ OR条件ではないが，同様に，複数項の中から高々ｋ 個 （A’’’） Ｘ1，Ｘ2，･･･，Ｘnの中から高々ｋ 個 δ1＋δ2 ＋･･･＋δn≦ｋ 12 OR条件の応用例 凸でない実行可能領域の表現 ABJO S1＝｛x＝(x1,x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1,x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1,x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ • もしも問題の条件が、 x∈ S1 ∪S2∪S3のとき．．． 実行可能領域は 非凸!!! 数理計画問題の 定式化で 「または」と 書けない 13 線形計画問題の実行可能領域 ABJO S1＝｛x＝(x1,x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1,x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1,x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ • もしも、問題の条件が、 x∈ S1 ∩S2∩S3のとき．．． 14 凸でない実行可能領域 ABJO S1＝｛x＝(x1, x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ ODH S2＝ ｛x＝(x1, x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝ KFGO S3＝ ｛x＝(x1, x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝ • もしも問題の条件が、 x∈ S1 ∪S2∪S3のとき．．． • インディケータ変数δ1 ，δ2 ，δ3を導入： δ1 =1⇒x∈ S1 ， δ2 =1⇒x∈ S2 ， δ3 =1 ⇒x∈ S3 換言すると、 δ1 =1 ⇒ (x2≦3)・(x1+x2≦4)・ (x≧0) ① δ2 =1 ⇒(ーx1+x2≦0)・(3x1ーx2≦8)・(x≧0) ② δ3 =1 ⇒ (x2≦1)・(x1≦5)・ (x≧0) ③ • ①、②、③に加えて、δ1 ＋δ2 ＋δ3 ≧1 15 凸でない実行可能領域（続き） ABJO S1＝｛x＝(x1, x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝ • 論理条件①は、数式に変換可能 δ1 =1 ⇒ (x2≦3)・(x1+x2≦4)・(x≧0) ① • δ1 =1 ⇒ x2≦3 ①’ δ1 =1 ⇒ x1+x2≦4 ①” δ1 =1 ⇒ x≧0 （非負条件が別途考慮されているならば不要） • 論理条件②、③も同様 • ①’、①”、②’、②”、③’、③”、xの非負条件に 加えて、 δ1 ＋δ2 ＋δ3 ≧1 16 SOS（特殊順序集合）変数制約 （SOS＝Specially Ordered Set) SOS １＝一連の変数の集まり（実数変数で も整数変数でも可；SOS１変数群）の中か らちょうど１個が０でない SOS ２＝順序が定められた一連の変数の 集 ま り （ 実 数 変 数 で も 整 数 変 数 で も可 ； SOS２変数群）の中から，「隣りあう」高々２ 個が０でない 17 SOS１変数制約 （SOS＝Specially Ordered Set) SOS １＝一連の変数の集まり（実数変数で も整数変数でも可；SOS１変数群）の中か らちょうど１個が０でない 実数変数： ｘ1 ，ｘ2 ，･･･，ｘn の中で1個が正 0-1変数： δ1＋δ2 ＋･･･＋δn ＝ １ どんな例があるか考えてみよう 18 OR条件の拡張の応用例 解の中の変数の数を制限する • 正の値をとる変数の数を一定個数以下（以 上）にしたい – 例：株式jへの投資金額xjの決定の決定にあたっ て、投資対象の株式数をk以下に抑えたい xj＞0 ⇒ δj＝1 xjーMjδj≦0 ただし、Mjは株式jへの投資金額xjの上限 δ1＋ δ2 ＋･･･＋δn ≦ k 19 SOS２変数制約 （SOS＝Specially Ordered Set) SOS ２＝順序が定められた一連の変数の 集 ま り （ 実 数 変 数 で も 整 数 変 数 で も可 ； SOS２変数群）の中から，「隣りあう」高々２ 個が０でない （λ1 ，λ2 ，･･･，λn ）の中で「隣りあう」高々 ２個が正 λ1＋λ2 ＋λ3＋λ4 ＋ ･･･＋λn ＝ １ 20 SOS２制約の例 （SOS＝Specially Ordered Set) Minimize ｚ ＝ ｘ12－4ｘ1－2ｘ2 s.t. ｘ1 ＋ ｘ2 ≦ 4 2ｘ1 ＋ ｘ2 ≦ 5 － ｘ1＋4ｘ2 ≧ 2 ｘ1 ， ｘ2 ≧ 0 非線形関数を含むモデルが解けない場合に何ができるか ヒント： Minimize ｚ ＝ ｙ －4ｘ1－2ｘ2 ｙ ＝・・・ （λ1 ，λ2 ，･･･，λn ）≧0 の中で「隣りあう」高々２個が正 λ1＋λ2 ＋λ3＋λ4 ＋ ･･･＋λn ＝ １ 21 非線形関数の折れ線近似 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 22 SOS２制約の例 （SOS＝Specially Ordered Set) Minimize ｚ ＝ｙ －4ｘ1－2ｘ2 s.t. ｘ1 ＋ ｘ2 ≦ 4 2ｘ1 ＋ ｘ2 ≦ 5 － ｘ1＋4ｘ2 ≧ 2 ｘ1 ， ｘ2 ≧ 0 ｘ1 ＝ 0λ1＋ 0.5λ2 ＋1λ3＋ 1.5λ4 ＋ ･･･＋?λn y ＝ 0λ1＋0.25λ2 ＋1λ3＋2.25λ4 ＋ ･･･＋?λn λ1 ＋ λ2 ＋ λ3 ＋ λ4 ＋ ･･･＋ λn ＝ １ （λ1 ，λ2 ，･･･，λn ）≧0 の中で「隣りあう」高々２個が正 23 非線形関数の折れ線近似 λ1 0 λ2 λ3 λ4 0.5 0.5 λ5 0 0 24 宿題１２ 宿題１２．１ 3次元3目並べ（配布資料p.16，問 ４）の定式化を示せ．なお，余裕がある人は Excel ソルバーで解け．（ソルバーファイルは， メールの添付にて[email protected]宛に題 名「OR-A： 学籍番号 氏名」で送付のこと） 宿題１２．２ スライド28のシナリオを定式化せよ． 締切：2011年1月13日（木） 17時 森戸研メールボックス 25 3次元3目並べ（配布資料p.1６） • 各マスに1から27まで番号をつける • 各 マ ス j （ j ＝ 1,…,27) に 白 な ら 0 、 黒 な ら 1 と い う 0-1変数xjを定義 • 「線」に番号をつける（「線」は何本あるか？） • 同色の線の本数を数え，その本数を最小化する 26 線形計画モデルの特殊形 最大値の最小化 • 通常の線形計画モデル Min ｚ ＝ｃｘ ＝Σj=1,…,nｃjｘj s.t. Aｘ≦ｂ，ｘ≧0 • 最大値の最小化 Min （Maxi=1,…,mΣj=1,…,nｃijｘj） s.t. Aｘ≦ｂ，ｘ≧0 （通常の1次制約式） • 最大値の最小化は通常のLPに変換可能 Min ｚ s.t. Σj=1,…,nｃijｘj ー ｚ≦0, i=1,…,m Aｘ≦ｂ，ｘ≧0 （通常の1次制約式） 27 特殊な定式化の応用 宿題１２．２ 以下のシナリオを定式 化せよ • ある議会の議員定員はM人である • 議員はN（＜M）個の選挙区から選挙され る • 選挙区jの人口（選挙権を持つ人の人口） ｐjは既知である • 人口1人当たりの議員数（逆に、議員1人 当たりの人口、でもよい）の最大値と最小 値の差を最小化する議員定数の配分（各 選挙区の議員定数）を決めたい 28 ハブ＆スポークネットワークの設計 29 ハブ＆スポーク 定式化 所与のデータ • ｈij ＝ 点ｉと点ｊ 間の輸送需要 • cij ＝ ノンハブ点ｉ からハブ点ｊ にの間の単位 需要当たりの輸送費用 • α＝ハブ間の輸送費用に対するディスカウント ファクタ ハブ間の単位需要当たりの輸送費用はα＊ｃij • p ＝ハブの数 30 ハブ＆スポーク 定式化 変数 • zij＝1 ノンハブ点ｉ がハブ点ｊ に接続して いるとき（ｉ ≠ｊ の場合） ＝0 そうでないとき • zii＝1 点ｉ がハブであるとき ＝0 そうでないとき 31 ハブ＆スポーク 定式化 ０－１二次計画問題 最小化 z ＝ΣiΣjΣ kΣm hij （cikzik ＋αckmzikzjm＋ cjmzjm ） 制約条件 Σj zij ＝1， ∀i 点iはハブかいずれかのハブに接続 Σi zii ＝p ， ∀i ハブはp個 zij－zjj≦0 ， ∀i，j ノンハブには接続不可 zij ∈{0,1}, ∀i，j 接続不可制約の代替案 Σi zij－(n-p+1)zjj≦0 ，∀j 32 ハブ＆スポーク 線形の定式化 変数の取り方 • zijkm＝1 点i ,点j 間の輸送がハブ点kとハブ 点mを経由するとき ＝0 そうでないとき • xi ＝1 点i がハブであるとき ＝0 そうでないとき • この定式化では変数の個数がn4のオーダー • 定数cijkm＝ cik ＋α ckm＋ cmj を定義 33 ハブ＆スポーク 定式化 （線形）整数計画問題 最小化 z ＝ΣiΣjΣ kΣm hij cijkmzijkm 制約条件 Σk Σm zijkm ＝1， ∀i，j 点iは点j間は、ハブkとハブmを経由 xi Σi xi ＝p ， ∀i ハブはp個 zijkm－xk≦0 ， ∀i，j,k,m zijkm－xm≦0 ， ∀i，j,k,m ノンハブには接続不可 zijkm ∈{0,1}, ∀i，j,k,m xi ∈{0,1}, ∀i 34 「ORーA」 第１２回 2011/01/07 • カッティングストック問題 – – – – – 問題紹介と定式化 LP版カッティングストック問題の解法の基本的考え方 被約費用を最小化するパターンを求める問題 （整数値）ナップザック問題 ナップザック問題の解法 • 動的計画法 35 （１次元）カッティングストック問題 • • • • 45cｍ の長さの板 x 97枚 36cm の長さの板 x 610枚 31cm の長さの板 x 395枚 14cm の長さの板 x 211枚 1 0 0 cm 4 5 cm 3 6 cm 1 4 cm 36 カッティングストック問題の定式化 最小化 ｚ ＝ ｘ 1＋ ｘ 2＋ ｘ 3＋ ｘ 4＋ ｘ 5＋・・・ １ ０ 制約条件 ０ ０ ０ １ ｘ ＋ 1 ０ ０ 0 ０ ｘ ＋ 2 １ ０ ０ ０ ｘ ＋ 3 ０ １ １ １ ｘ ＋ 4 ０ １ ｘ 5＋・・・≧ 97 610 395 211 • ｘｊ＝第ｊ カッティングパターンの使用回数 • ｘｊ≧0，整数 37 LP版カッティングストック問題 • 整数計画は（LPに比べて）解きにくい • そこでLP版CS問題を考える（切上げ解は必 ず実行可能） • 板の長さLが、需要の長さに比べて長いと、 カッティングパターンの数は膨大になる • あらかじめすべてのカッティングパターンを列 挙しておくことは無理。LP版CSも、列が膨大 だと困る→必要に応じパターンを生成できない か？ →列生成法 →改訂単体法で必要な情報を復元 38 カッティングストック問題の定式化 最小化 ｚ ＝ ｘ 1＋ ｘ 2＋ ｘ 3＋ ｘ 4＋ ｘ 5＋・・・ １ ０ 制約条件 ０ ０ ０ １ ｘ ＋ 1 ０ ０ 0 ０ ｘ ＋ 2 １ ０ ０ ０ ｘ ＋ 3 ０ １ １ １ ｘ ＋ 4 ０ １ ｘ 5＋・・・≧ 97 610 395 211 • ｘｊ＝第ｊカッティングパターンの使用回数 • ｘｊ≧0，整数 39 スタート 初期可能基底解 （を示す単体表の一部） － ｃj＝ｃj－πAj Aｊの生成 π 最適性の判定と 軸の列の生成 新しい可能基底解 改訂単体法 の１反復 ナップザック問題 B-1Aｊ ストップ 復元された軸の列の追加 最適？ 列生成 40 LP版カッティングストック問題 を列生成+改訂単体法で解く 標準的改訂単体法との違い ①初期可能基底形式の設定にあたって注意 （スラック変数でなく、実際のカッティングパター ンに対応する変数を初期基底変数とするため） ②双対価格の現われ方が違うので注意 （「いつも、πが見えていたところにπ－１がある； 理由は、①と同じで、初期基底変数の元の問題 の目的関数の係数が1だから） ③列（=パターン）があらかじめ列挙されてい ないので、その生成が必要（ナップザック問題） 41 LP版CS問題の初期可能基底解 No.00 元問題 x1 -1 1 0 0 0 x2 -1 0 1 0 0 x3 -1 0 0 1 0 x4 -1 0 0 0 1 … -1 … … … … 右辺定数 基底変数 0 z 97 x1 45cm 610 x2 36cm 395 x3 31cm 211 x4 14cm これは、基底形式ではない！なぜ？ No.0 初期単体表 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 0 0 1 … … … … … … 右辺定数 基底変数 1313 z 97 x1 45cm 610 x2 36cm 395 x3 31cm 211 x4 14cm 目的関数の行に、制約の各行を加えればよい 42 双対価格π＝ｃBB-1の読み方に注意（∵ 初期基底変数の目的関数の係数が1） 初期基底に対する双対価格π＝ｃBB-1＝ｃBI ＝ｃB ＝（1,1,1,1） － c 1 ＝－（ｃ１－πA１）＝－１＋ π 1π 2π 3π 4 ＝－１＋π1 π－１ No.0 初期単体表 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 0 0 1 … … … … … … 右辺定数 基底変数 1313 z 97 x1 45cm 610 x2 36cm 395 x3 31cm 211 x4 14cm よって、 πの値は緑の数字＋１；つまり、π1＝π２＝π３＝π４ ＝１ 43 1 0 0 0 双対価格自身が現れない理由 • 初期可能基底解の基底変数の目的関数の係 数ｃｊ が0でない場合（例：スラック変数でない場合） – 基底の逆行列B-1の「上」に双対価格が現われない － – なぜなら、ｃ ｊ＝ｃｊ－πAjであり、ｃｊ ≠0のため（ただし、 Aj は単位ベクトル）、 B-1の「上」にπi－cｊが現われる － （単体表には－ｃｊ が現われることに注意）ため、B-1の上に現わ れる数値にｃｊ を加えた値がπの値となる 46 （非基底）カッティングパターン の被約費用は？ • パターンをa＝(a1,a2,...,am)t (列ベクトル)と表記 • 最小化 c －πta ＝１－ (π1.π2,…,πm )（a1,a2,...,am）t ＝１－（π1a1＋π2a2＋．．．＋πmam） • 最大化 （π1a1＋π2a2＋．．．＋πmam）－ １ といっても、基本的に同じこと • 制約条件 1a1＋ 2a2＋．．．＋ mam ≦ L 49 aiは非負整数、 i は需要iの長さ(定数） 被約費用最小の非基底カッティングパターンを求める 整数値ナップザック問題 • 最小化 c －πta ＝１－ (π1.π2,…,πm )（a1,a2,...,am）t • 最大化 π1a1＋π2a2＋...＋πmam－ １ 制約条件 1a1＋ 2a2＋...＋ mam ≦ L aiは≧0かつ整数（変数）、 i は需要iの長さ(定数） • π＝(1,1,1,1) • 最大化 a 1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ a4 － １ 制約条件 45a1＋36a2＋ 31a3＋14a4 ≦100 ai ≧0かつ整数（変数） • 最小被約費用の値は、１－「ナップザック問題の最適値」 50 注：CS問題の解の改善という観点からは、被約費用が負でさえあればよく、 KPが最適に解けていなくてもよい No.0 初期単体表 45cm 36cm 31cm 14cm x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 0 0 1 x5 6 0 0 0 (7) 右辺定数 基底変数 1313 z 97 x1 610 x2 395 x3 211 x4 π＝(1,1,1,1) 51 No.0 初期単体表 45cm 36cm 31cm 14cm x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 0 0 1 x5 6 0 0 0 (7) 右辺定数 基底変数 1313 z 97 x1 610 x2 395 x3 211 x4 x4 -6/7 0 0 0 1/7 x6 2 0 1 (2) 0 右辺定数 基底変数 7925/7 z 97 x1 610 x2 395 x3 211/7 x5 x4 -6/7 0 0 0 1/7 x7 9/7 0 2 0 (2) 右辺定数 基底変数 5160/7 z 97 x1 825/2 x2 395/2 x6 211/7 x5 π＝(1,1,1,1) No.1 初期単体表 45cm 36cm 31cm 14cm x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 1132.14 30.14 π＝(1,1,1,1/7) No.2 初期単体表 45cm 36cm 31cm 14cm x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 -1 0 0 1/2 0 π＝(1,1,0,1/7) 737.14 412.5 197.5 30.14 52 （整数値）ナップザック問題 • 整数値ナップザック問題（KP）：一般形 max z = ∑i＝1,…,m πi ａi （ － １） s.t. ∑i＝1,…,m i ａi ≦ L ａi ≧ 0, 整数 • 具体的数値例 （カッティングストック問題の例） max z = ∑i＝1,…,４ ａi （ － １） （各πi ＝1の場合） s.t. 45a1＋36a2＋ 31a3＋14a4 ≦100 ａi ≧ 0, 整数 53 （整数値）ナップザック問題の最適解法 max z = ∑i＝1,…,m πiａi （ - １） s.t. ∑i＝1,…,m j ａi ≦ L， ａi ≧ 0, 整数 • 動的計画法（Dynamic Programming; DP） f (ｙ) = 重量制限ｙのナップザックに詰め込むことの できる最大の価値 f (ｙ) = max i＝1,…,m { πi + f (ｙ - i )} 漸化式 ｙ = ｍｉｎ ,..., L に対して、順次f (y)を計算。最終的に、 f (L)が解きたい問題の最適値。ただし、 ｍｉｎ = min i＝1,…,m { i } • DPの他に分枝限定法による列挙解法もあり 54 ナップザック問題のDP解法：数値例 max z = ∑i＝1,…,m ａi s.t. 45a1＋36a2＋ 31a3＋14a4 ≦100 j ａi ≧ 0, 整数 • f (ｙ) = 重量制限ｙ のナップザックに詰め込むことので きる最大の価値 – 自明に、f (ｙ) = 0，ｙ＝0,…,13； f (ｙ) =－∞，ｙ＝負 • f (ｙ) = max i＝1,…,m { πi + f (ｙ - i )} 漸化式 • ｙ = ｍｉｎ ,..., L に対して、順次f (y)を計算。最終的に、 f (L)＝ f (100)が解きたい問題の最適値。ただし、 ｍｉｎ = min i＝1,…,m { i } = 14 – ほぼ自明に、f (ｙ) =1＝14,…,27 55 y ｆ（y） i＝ １ i＝ ２ 1+ f ( y -45) 1+ f ( y -36) i＝ ３ 1+ f ( y -31) i＝ ４ 1+ f ( y -14) ｄ (y ) ０～１３ ０ １４～２７ １ 1 + (-∞ )= -∞ -∞ -∞ 1+ 0=1 ４ ２８～３０ ２ 1 + (-∞ )= -∞ -∞ -∞ 1+ 1=2 ４ ３１～３５ ２ 1 + (-∞ )= -∞ -∞ 1+ 0=1 1 + 1= 2 ４ ３６～４１ ２ 1 + (-∞ )= -∞ 1+ 0=1 1+ 0=1 1+ 1 =2 ４ ４２～４４ ３ 1 + (-∞ )= -∞ 1+ 0=1 1+ 0=1 1+ 2 =3 ４ ４５～４９ ３ ３ ５６～５８ ４ ５９～６１ ４ ６２～６３ ４ 1+0=1 1+0=1 1+0=1 1 + 1 =2 1 + 1 =2 1 + 1 =2 1 + 1 =2 1 + 1 =2 1 + 1 =2 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1 + 2 =3 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ ４ ５０～５５ ６４～６５ ４ ６６～７０ ４ ７０～７１ ７２ ５ ５ ７３～７５ ５ ７６ ５ ７７ ５ ７８～７９ ５ ８０ ５ ８１～８３ ６ ８４ ６ ８５～８６ ６ （中略） ９８ ７ ９９ ７ L=１００ ７ ０ 1 + 3 =4 1 + 3 =4 1 + 3 =4 0 =1 1 =2 1 =2 1 =2 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 1 + 4 =5 1 + 4 =5 1 + 4 =5 1 =2 1 =2 1 =2 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 2 =3 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 3 =4 1 + 4 =5 1 + 4 =5 1 + 4 =5 2= 3 2= 3 3= 4 3= 4 3= 4 3= 4 3= 4 4= 5 4= 5 4= 5 4= 5 4= 5 4= 5 4= 5 4= 5 5= 6 5= 6 1 + 6= 7 1 + 6= 7 1 + 6= 7 ４ ４ ４ ４ ４ ４ ４ ４ F(100) = 7 被約費用＝ 1－7＝－6 ４ ４ ４ a4=7, その他0 ４ ４ ４ ４ ４ 追加する列＝ (0,0,0,7) ４ ４ ４ 注：CS問題の解の改善という観点からは、被約費用が 負でさえあればよく、 KPが最適に解けていなくてもよい 56 スタート 初期可能基底解 （を示す単体表の一部） － ｃj＝ｃj－πAj Aｊの生成 π 最適性の判定と 軸の列の生成 新しい可能基底解 改訂単体法 の１反復 ナップザック問題 B-1Aｊ ストップ 復元された軸の列の追加 最適？ 列生成 57 第１２回のまとめ • カッティングストック問題 – 問題紹介と定式化（復習） – 「列生成」による解法の考え方と改訂単体法 – 整数値ナップザック問題による最適性の判定 と列生成 • 動的計画法（DP） – 動的計画法による整数値ナップザック問題の 解法 58