Transcript PythonとGurobiの話

サプライ・チェインにおける様々
な最適化問題を解くための
統一言語
東京海洋大学
久保幹雄
目次
• Pythonを使えば最適化も簡単！
– Python入門
– 色々な問題を解いてみた＋多少の知見
• サプライ・チェイン最適化のお話
– 統一モデル
– Pythonでの実装
Why Python?
• モジュールを読み込めば何
でもできる！
• 最適化もできる！
import gurobipy (MIP)
import SCOP (CP)
• グラフも描ける！
import networkX
import matplotlib
• 空を飛ぶことも！？
import antigravity ?
http://www.logopt.com/
mikiokubo/に20分の入門ビデオ
http://xkcd.com/353
/
Python 1ページ解説
複合型
– リスト：任意の要素から成る順序型
A=[]
これだけで，スタック，キュー，連結リスト，ソート
A.append(5), a=A.pop(), A.remove(“6”), A.sort()
– 辞書： キーと 値の組から構成されるマップ型
D= { }
Hash関数と同じ．何でも辞書で高速に保管できる！
D[(1,2)] =6, D[“Hello”]=“こんにちは”
反復
for i in [1,2,5,6]:
print i*2
=> 2,4,10,12
for key in D:
print key,D[key]
=>キーと値を出力
k-median問題
• min-sum型の施設配置問題
• 顧客数 n=200，施設数 k=20
（顧客上から選択）
• Euclid距離，x,y座標は一様ランダム
n=200, k=5 の例
定式化
弱い定式化
Pythonでの実装（1）
from gurobipy import * #gurobipyモジュールの読み込み
# k-medianソルバーの関数
def solve(n,k,cost):
model=Model(“median”) #モデルオブジェクトの生成
y={}
#変数を表す辞書の準備
x={}
キー
“Hanako”,
(1,2)
写像
値
“127cm”
変数オブジェクト
Pythonでの実装（２）
for j in range(n):
y[j]=model.addVar(obj=0,vtype=“B”,name="y"+str(j))
for i in range(n):
x[i,j]=model.addVar(obj=cost[i,j],
vtype=“B”,name="x"+str(i)+str(j))
model.update()
Pythonでの実装（３）
for i in range(n):
L=LinExpr()
#線形表現オブジェクト L を空で作成
for j in range(n):
L.addTerms(1,x[i,j]) #線形表現オブジェクトに項を追加
model.addConstr(lhs=L,sense= " = ",
rhs=1,name="Demand"+str(i))
線形表現（Linear Express） クラス LinExpr
Pythonでの実装（４）
中略
model.optimize()
#最適化実行
print “Opt.value=”,model.ObjVal #目的関数値
edge=[]
#選ばれた枝(i,j)のリスト
for (i,j) in x:
#変数xの辞書を反復
if x[i,j].X==1:
edge.append((i,j))
return edge
#x[i,j]の解が1なら
#リストedgeに(i,j)を追加
Pythonでの実装（５）
import networkx as NX
#networkXモジュールの読み込み
import matplotlib.pyplot as P
#描画の準備
P.ion()
G = NX.Graph()
#グラフオブジェクトGの生成
G.add_nodes_from(range(n))
#点の追加
for (i,j) in edge:
#グラフに枝を追加
G.add_edge(i,j)
NX.draw(G)
#描画
弱い定式化での結果
n=200,k=20
Optimize a model with 401 Rows, 40200 Columns and 80400
NonZeros
中略
Explored 1445 nodes (63581 simplex iterations) in 67.08 seconds
Thread count was 2 (of 2 available processors)
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.0180195861e+01, best bound 1.0179189780e+01,
gap 0.0099%
Opt.value= 10.1801958607
上界と下界の変化
18
16
Obj. Func. Value
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
CPU
50
60
70
強い定式化での結果
Optimize a model with 40401 Rows, 40200 Columns and 160400
NonZeros
中略
Explored 0 nodes (1697 simplex iterations) in 3.33 seconds
(分枝しないで終了！）
Thread count was 2 (of 2 available processors)
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.0180195861e+01, best bound 1.0180195861e+01,
gap 0.0%
Opt.value= 10.1801958607
知見
• Big Mを用いない強い定式化が望ましい．
• この程度の式なら，必要な式のみを切除
平面として追加するような小細工は必要な
し．
（ただし，式の数が増え退化するので，大
規模なＬＰを高速に解けるソルバーが前
提）
巡回セールスマン問題（ＴＳＰ）
• すべての点をちょうど１回通る最短巡回路
• 切除平面法で85,900点の実際問題（対称Ｔ
ＳＰ）の最適解
Miller-Tucker-Zemlinの定式化
上界と下界の変化
（８０点，Euclid TSP）
45
40
35
強化した式
でないと．．．
１日まわして
Out of Memory!
Obj. Func. Value
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
CPU
250
300
350
400
結果
Optimize a model with 6480 Rows, 6400 Columns and 37762 NonZeros
中略
Cutting planes:
Gomory: 62
Implied bound: 470
MIR: 299
Zero half: 34
Explored 125799 nodes (2799697 simplex iterations) in 359.01 seconds
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 7.4532855108e+00, best bound 7.4525704995e+00, gap 0.0096%
Opt.value= 7.45328551084
知見
• 式を持ち上げ操作などで強化すると，高速
化され，大きな問題例が解けるようになる．
（そのためには多面体論の知識が多少必
要なので，専門家に相談する）
多品目ロットサイズ決定問題
• 段取り費用と在庫費用のトレードオフを最
適化する多期間生産計画
• 多品目で共通の資源を使う容量制約付き
問題は，MIPソルバーには難問（と言われ
てきた）
• T=30期，P=24品目：Trigeiro, Thomas,
McClain （1989年）の最大のベンチマーク
ロットサイズ決定問題
標準定式化のフローモデル
生産量(t)
在庫量(t-1)
在庫量(t)
期
t
需要量(t)
弱い定式化の原因
生産量(t)≦大きな数 “Large M” ×段取りの有無(t)
在庫量（t-1)+生産量(t)=需要量(t)+在庫量（t)
0-1変数
ロットサイズ決定問題
施設配置定式化のフローモデル
s期に生産してt期まで在庫される量
期
s
期
t
需要量(t)
s期に生産してt期まで在庫される量 ≦需要量(t)×段取りの有無(t)
 s期に生産してt期まで在庫される量 = 需要量(t)
s t
定式化のサイズと強さの比較
標準定式化
変数の数
制約の数
O (n)
施設配置定式化
O (n)
弱い定式化
変数の数 O ( n
制約の数
2
追加した
制約の数
O(2 n )
O(n )
(S,l)不等式
)
強い定式化
=線形計画緩和が
整数多面体と一致
切除平面
n: 期数
強い定式化
2
上界と下界の変化（標準定式
化）
132000
130000
128000
Obj. Func. Value
126000
124000
122000
120000
118000
116000
114000
112000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
CPU
1800秒で最適解；これ以上大きな問題例は無理！
上界と下界の変化（施設配置定式化）
114050
114000
113950
Obj. Func. Val.
113900
113850
113800
113750
113700
113650
113600
0
5
10
15
20
25
30
35
CPU
40秒で最適解；T=100でも大丈夫！
40
45
知見
• 従来では難問と言われてきたロットサイズ
決定問題でもある程度までは大丈夫
• 緩和固定法（Federgruen, Meissner,Tzur
“Progressive Interval Heuristics for MultiItem Capacitated Lot-Sizing Problems”
2007）というMIPベースのメタ解法を作って
みたが，同時間通常の探索を行う「打ち切
り分枝限定法」の方が良い！
k-center問題
• min-max型の施設配置問題
• 100顧客，10施設（顧客上から選択）
• Euclid距離，x,y座標は一様ランダム
定式化
上界と下界の変化
1.2
Obj. Fun. Value
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
CPU Time
250
300
350
400
知見
• Min-max型の目的関数はMIPソルバーでは解き
にくい（双対ギャップが大きい；上界も下界も悪い
ので，途中で止めても悪い解！）．
• 例： Job shopスケジューリングの最大完了時刻
（メイクスパン）最小化
• 制約計画としてモデル化して，上限を制約として
扱うとうまくいく場合もある．
グラフ彩色問題
•
•
•
•
解の対称性
点数 n=40，彩色数上限 Kmax=10
ランダムグラフ G(n,p=0.5)
彩色数 8 が最適値
定式化
弱い定式化
上界と下界の変化（原定式化）
点数 n=40，彩色数上限 Kmax=10
12
Obj. Func. Value
10
8
6
4
2
0
0
200
400
600
800
1000
1200
CPU Time
Optimize a model with 3820 Rows, 410 Columns and 11740 NonZeros
Explored 17149 nodes (3425130 simplex iterations) in 1321.63 seconds
1400
定式化の改良
対称性の除去（番号の小さい方の色を優先して使う！）
特殊順序集合（SOS: Special Ordered Set） Type 1 （いずれか
１つの変数が正になることの宣言）の追加
model.addSOS(1,変数リスト)
上界と下界の変化（対称性除
去）
12
Obj. Func. Value
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
CPU
Optimize a model with 3829 Rows, 410 Columns and 11758 NonZeros
Explored 4399 nodes (1013290 simplex iterations) in 384.53 seconds
MIPFocus=2（最適性保証優先） で67秒，MIPFocus=3（下界優先） で70秒
400
450
上界と下界の変化（+SOS）
12
Obj. Func. Val.
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
CPU
Optimize a model with 3829 Rows, 410 Columns and 11758
NonZerosExplored 109 nodes (58792 simplex iterations) in 22.02 seconds
MIPFocus=2（最適性保証優先） で65秒，MIPFocus=3（下界優先） で126秒
25
知見
• 解の対称性のある問題は，下界の改善がしにく
いので，分枝限定法では解きにくい（モダンなソ
ルバーは群論などを用いた工夫を入れてはいる
が，あまり機能しない問題もある）
• 対称性を除く工夫を入れると多少は改善
• SOS（Special Ordered Set）制約の宣言は損はな
い（ただし，探索手法の変更との相性は悪い．）