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サプライ・チェイン最適化について
研究者・実務家が知っておくべきこと
東京海洋大学
久保幹雄
本日の内容
• 数理計画
• 在庫理論
• モデリングのための十戒
数理計画
• 定式化の強さと多面体論（妥当不等式，側
面）
• 拡張定式化と射影
• 分解法の基本原理（列生成，Lagrange緩
和の理論的背景）
強い定式化
MIP問題
実行可能解の集合 X
多面集合PX がXの定式化
強い定式化
妥当不等式，切除平面，側面
弱い定式化の
制約（妥当不等式）
側面
緩和解 x*
解x
conv (X)
整数多面体
切除平面
最大安定集合問題の多面体表現
1
3
x3
(0,0,1)
2
x
(0,1,0) 2
問題
x1
(1,0,0)
整数多面体
conv (X)
次元（アフィン独立な点－１）＝３
小数解と側面
(0.5,0.5,0.5)
緩和多面体
小数解
側面
側面の証明：次元＝２
拡張定式化と射影
は X の定式化 = Q は X の拡張定式化
ロットサイズ決定問題
標準定式化のフローモデル
生産量(t)
在庫量(t-1)
在庫量(t)
期
t
需要量(t)
弱い定式化の原因
生産量(t)≦大きな数 “Large M” ×段取りの有無(t)
在庫量（t-1)+生産量(t)=需要量(t)+在庫量（t)
0-1変数
ロットサイズ決定問題
施設配置定式化のフローモデル
s期に生産してt期まで在庫される量
期
s
期
t
需要量(t)
s期に生産してt期まで在庫される量 ≦需要量(t)×段取りの有無(t)
 s期に生産してt期まで在庫される量 = 需要量(t)
st
施設配置定式化と多面体の概念図
拡張された空間の多面体
（施設配置定式化）
射影
オリジナルの空間の整数多面体
定式化のサイズと強さの比較
標準定式化
変数の数
制約の数
O(n)
施設配置定式化
O(n)
弱い定式化
変数の数 O(n
制約の数
2
追加した
制約の数
O(2n )
O(n )
(S,l)不等式
)
強い定式化
=線形計画緩和が
整数多面体と一致
切除平面
n: 期数
強い定式化
2
分解（decomposition）
Y,Z が容易に解ける（or 強い定式化が可能 or 側面同定可能）
Y,Z に対する 1) 強い定式化 2)拡張定式化 3)切除平面法
例：多品目ロットサイズ決定問題
Z
Y
資源制約（単一点フローモデル）
品目ごとに強い（拡張）定式化
（ or 切除平面法）
分解（列生成，Lagrange緩和）
Y だけが容易に解ける．
Z の定式化
=> 列生成法，Lagrange緩和
主問題 (Z)
解（列） x
Dx≧dに対する双対変数π
子問題 (Y)
列生成法
端点ベクトル
主問題
被約費用が大きい
列はプールから除く
被約費用が負の解を
すべて列プールに追加
=>双対変数π を算出
子問題
=> 下界と新しい解 x を与える．
Lagrange緩和
ステップサイズ
主問題 ：劣勾配法で双対変数π を更新
子問題
=> 下界と新しい解 x を与える．
下界
劣勾配法 => 収束遅い & 下界上昇の保証なし
=> 特に実務では頑強性に注意！
Lagrange緩和と列生成の関係
子問題
端点の中から
最適解を選ぶ
主問題
同値なLP
L(π)
列生成
=
切除平面の追加
π
Bundle法
最良下界のπ：
安定化を入れた
Lagrange双対問題
安定化を入れた列生成法の主問題
数理計画を使うのための戒め
• 定式化することと解けることは別物である．特にLarge M
を使用した無謀な定式化は避けるべき．
• Lagrange緩和で多用される劣勾配法は脆弱であるので，
実務には使うべきではない．Bundle法やVolume法を実装
する元気がないなら列生成法が良い．
• できたら強い定式化だけで解けることが望ましい．（研究
者は小難しい解法を使いたがる．）
• 教科書モデルで実務が解けると思うなかれ．
• 実装＋テストを学生，部下，下請けに丸投げするなかれ．
言い換えれば，テスト問題例だけを解けるようにチューニ
ングした結果を信じるなかれ．
（安全）在庫理論
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新聞売り子モデル
非定常モデル
エシェロン（梯形）在庫の概念とその利点
シミュレーションと最適化の融合法
安全在庫配置モデル
新聞売り子モデル
新聞１刊が売れ残ったときの在庫費用
新聞１刊が品切れしたときの品切れ費用
新聞の需要量を表す確率変数
分布関数
最適発注量 s*
分布の仮定なし！ （正規分布でないといけないという誤解が多い）
非定常モデル（需要過程）
非定常モデル（予測，発注量）
指数平滑法による予測
発注量
リード時間
非定常モデル（安全在庫量）
在庫量
標準偏差
安全在庫量
安全在庫係数
STD[I]
L
エシェロン（梯形）在庫
エシェロン（梯形）在庫
通常の在庫費用の計算
エシェロン在庫による費用計算
メタヒューリスティクス
• データ構造とアルゴリズム（メタヒューリス
ティクスの選択よりもこれが大事！）
• 類似の問題に対する過去の研究（全く新し
い問題というのはそんなにはない！過去
の研究を調べることは研究者としての最低
のマナー！）
メタヒューリスティクスのコツ
メタヒューリスティクスの数理
（共立出版 to appear）参照
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グラフ分割：Tabu Search+戦略的振動
最大安定集合（最大クリーク）：平坦探索
グラフ彩色：Fixed-K Tabu Search (+Genetic Algorithm)
巡回セールスマン：k-opt, Lin-Kernighan opt（近傍の制限
がミソ）
• 多制約ナップサック：戦略的振動+critical event Tabu
Search or MIPベースメタヒューリスティクス
• 2次割当：Tabu Search or Ant Colony (差分の計算がミソ）
• 数分割：差分法