Transcript Steigung m berechnen - GMS

Steigung m berechnen
Man kann die Steigung auch berechnen,
wenn nur zwei Punkte gegeben sind, die auf
dem Graphen liegen
Steigung m berechnen
Beispiel 1:
Gegeben sind zwei Punkte
P (2 / 4) und
Q (3 / 5),
die auf dem Graphen liegen.
Nun soll die Steigung berechnet werden.
Durch die beiden Punkte ist ein
Steigungsdreieck vorgegeben.
5
4
Q(3/5)
P(2/4)
Schau mal nach –
wie lang sind die Seite und Höhe
des Steigungsdreiecks?
5–4
3-2
Seitenlänge: 3 – 2 = 1
Höhenlänge: 5 – 4 = 1
m= Höhenlänge = 5 – 4 = 1
Seitenlänge
3–2
1 , also m=1
2
3
Steigung m berechnen
Beispiel 2:
Gegeben sind die zwei Punkte
P (-6 / 4) und
Q (-3 / 1)
Gib die Steigung des Graphen an!
1. Durch die beiden Punkte ist ein
Steigungsdreieck vorgegeben.
P(-6/4)
-3 - (-6)
(Achtung! Negatives Steigungsdreieck!)
2. Wie lang sind die Seite und Höhe
des Steigungsdreiecks?
Seitenlänge: -3 – (-6) = 3
Höhenlänge: 1 – 4 = - 3
3. Wie groß ist dann die Steigung??
Richtig!!
m= 1 – 4
= -3
–
3 – (-6)
3 , also m= - 1
1–4
Q(-3/1)
Steigung m berechnen
Doch wie berechnet man nun die Steigung, ohne das
Steigungsdreieck (und den Graphen) zu zeichnen?
Schau dir die beiden Beispiele noch einmal genau an!
Beispiel 1: gegeben: P(2 / 4) und
Q (3 / 5)
Berechnung der Steigung:
m= Höhenlänge = 5 – 4 = 1
Seitenlänge
3–2
1 , also m=1
Beispiel 2: gegeben: P(-6 / 4) und
Q (-3 / 1)
Berechnung der Steigung:
m= Höhenlänge = 1 – 4
Seitenlänge
- 3 – (-6)
= -3
3 , also m= - 1
Schau dir die Koordinaten (x,y) der Punkte P und Q und die
Berechnung der Steigung genau an! Was fällt dir auf?
Versuche einmal, eine Formel für die Berechnung der Steigung zu
finden!
Tipp: Du benötigst dazu die Koordinaten x und y der Punkte P und Q.
P (x1/y1)
Q (x2/y2)
Hier noch einmal das 1. Beispiel zur Hilfe:
P (2 / 4) und
Q (3 / 5)
Berechnung der Steigung:
m= Höhenlänge = 5 – 4 = 1
Seitenlänge
3 – 2 1 , also m=1
Na dann mal los!
Steigung m berechnen
Lösung
Allgemein gilt:
Um die Steigung m einer
Funktionsgleichung zu berechnen,
benötigt man 2 Punkte P und Q,
durch die eine Gerade
verläuft.
Durch die beiden Punkte ist ein
Steigungsdreieck vorgegeben.
Q
y2 - y1
Allgemein gilt
für P (x1/y1) und Q (x2/y2):
m= y2 – y1
x2 – x1
Notiere die Formel in deinem Heft!
...wenn sie nicht schon dort steht...
(x2/y2
)
x2 - x1
P (x1/y1)
Steigung m berechnen
Übung
Berechne die Steigung:
a) P(1/2)
Q(5/4)
b) P(2/0)
Q(4/3)
c) P(-4/-9) Q(0/0)
d) P(2/6)
Q(4/3)
e) P(1/7)
Q(5/2)
f) P(-2/5)
Q(2/-4)
Tipp: Wenn du dir unsicher bist, dann nehme dir die Beispiele zur Hilfe und
markiere die Koordinaten mit Farben!
Achsenabschnitt b berechnen
 Super!!! 
Nun kannst du schon die Steigung m der
Funktionsgleichung y=mx+b berechnen!
Jetzt lernst du, wie man auch den
Achsenabschnitt b der Funktionsgleichung
y=mx+b berechnen kann!
Nur Mut, es ist nicht schwer! 
Achsenabschnitt b berechnen
Beispiel 1:
gegeben sind P(3/4) und die Steigung m=2
Von dem Punkt P(3/4) weiß man, dass x=3 und y=4 ist.
Wenn man die Werte in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man
den Achsenabschnitt b:
Funktionsgleichung:
y = mx+b
Werte einsetzen:
4 = 2*3+b
(x=3, y=4, m=2)
ausrechen und umformen
4=6+b
I-6
Ergebnis:
-2 = b
Achsenabschnitt b berechnen
Beispiel 2:
gegeben sind P(1/6) und die Steigung m=8
also ist x=1 und y=6.
Nun setzt man die Werte in die Gleichung ein:
Funktionsgleichung:
y = mx+b
Werte einsetzen:
6 = 8*1+b
ausrechnen und umformen
6=8+b
Ergebnis:
-2 = b
I-8
Achsenabschnitt b berechnen
Beispiel 3:
gegeben sind P(-4/2) und die Steigung m=-2
also ist x= -4 und y=2.
Nun setzt man die Werte in die Gleichung ein:
Funktionsgleichung:
y = mx+b
Werte einsetzen:
__ = __*__+b
ausrechnen und umformen
__= ___ + b
Ergebnis:
___ = b
I-___
Achsenabschnitt b berechnen
Zusammenfassend lässt sich Folgendes sagen:
Die Berechnung des Achsenabschnitts b ist eigentlich ganz
einfach!
Du brauchst dazu nur einen Punkt , z.B. P(x/y), die Steigung m und die
allgemeine Funktionsgleichung y=mx+b.
Man muss dann nur die Koordinaten des Punktes P und den Wert von m in
die Funktionsgleichung einsetzen und schon erhält man b!
Achsenabschnitt b berechnen
Nun bist du dran!
Berechne den Achsenabschnitt b!
a) P(3/7)
m= 5
b) P(-2/5) m= 3
c) P(-4/-6)
m= 1
d) P(6/2)
m= -3
Funktionsgleichung berechnen
Wenn du jetzt die beiden Dinge
zusammenfügst, die du gerade gelernt hast,
dann bist du dazu in der Lage, eine komplette
Funktionsgleichung zu berechnen!
Das einzige, was du dazu benötigst, sind zwei
Punkte P und Q.
Das ist doch toll!
Funktionsgleichung berechnen
Beispiel:
So kannst du die Funktionsgleichung der
Geraden berechnen, die durch die Punkte P und
Q geht: P (-2/3)
Q ( 3/1)
1. Berechne die Steigung m aus den
Koordinaten der Punkte P und Q.
1. m= 1 – 3
2. Berechne den y-Achsenabschnitt b.
Setze die Koordinaten von P
und die Steigung m
in die Funktionsgleichung ein.
2. y=mx+b
3= -0,4*(-2)+b
3= 0,8 + b
2,2=b
(Du kannst statt P auch den Punkt Q benutzen!)
3. Setze die Werte für m und b in die
Funktionsgleichung ein.
= -2
3 - (-2)
5
m= - 0,4
3. y=mx+b
y= -0,4x+2,2
Funktionsgleichung berechnen
Nun bist du wieder dran!
Schreibe die Aufgaben in dein Heft und berechne die
Funktionsgleichungen.
Nimm dir am Anfang das Beispiel zur Hilfe!
a) P(-1/6) Q(1/2)
g) P(2/1)
Q(-3/-7)
b) P(-2/4) Q(4/1)
h) P(7/8)
Q(6/0)
c) P(-2/1) Q(2/-5)
i) P(6/0)
Q(-3/-3)
d) P(-2/-1) Q(8/-5)
j) P(12/0) Q(-6/3)
e) P(3/9)
k) P(-3/5) Q(-6/6)
Q(5/14)
f) P(-2/-8) Q(3/9)
l) P(12/-2) Q(-6/-5)