Transcript Einstieg Steigung

Vorwissen:

Begriff der Steigung

Geradengleichung

Polynomfunktionen

Monotonie und Extremwerte
In den ersten Beispielen werden dieses Wissen allerdings wiederholt.
Einstieg:
Fragen an die SchülerInnen:
1) Wo kommen Steigungen im Alltag vor?
2) Was ist Steigung ?
Straßen:
Die Steigung einer Geraden spielt auch im Straßenverkehr eine Rolle.
Das Verkehrszeichen für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße
basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff, allerdings wird sie in
Prozent ausgedrückt. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet zum
Beispiel, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m
zunimmt. Nach der oben gegebenen Definition hat man 12 m durch
100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in ProzentSchreibweise 12 %).
Was bedeutet es also, wenn die Steigung einer Straße mit 100%
angegeben ist?
Preise:
Am Markt kosten 100g Erdbeeren 1,69 €. Ein Geschäft bietet
folgendes Angebot. Ein Viertel Kilogramm Erdbeeren um 4,29.
Wo ist der Preis pro 100g Erdbeeren billiger? Wie ist das Verhältnis
der Preise pro 100g in Prozent ausgedrückt? Wie könnte ein Diagramm
aussehen, aus dem ich unmittelbar sehen kann, was das billigere
Angebot ist?
Durchschnittsgeschwindigkeit:
Beispiel 1) Lineare Funktion
f(x) = 0.5.x + 3
a) absolute Änderung in [0; 1] =
0,5
f 1 − f 0 = 3,5 − 3 = 2
b) absolute Änderung in [0; 4] = 2
f 4 − f 0 = 5− 3 = 2
c) Steigung
1] f= 0 0,5 3,5 − 3
f x inf [0;
1 −
k=
=
=
= 0,5
x
1− 0
1
d) Steigung
inf [0;
4] = 0,5
f x
4 − f 0
k=
x
=
4− 0
=
5− 3
= 0,5
4
Beispiel 1) Lineare Funktion
2.x + y = 4
2.x + 4
y=-
a) absolute Änderung in [0; 1] = 2
f 1 − f 0 = 2− 4 = −2
4 − f 0 =Änderung
− 4 − 4 = −in8 [0; 4] = b)f absolute
8
f 1 − f 0
2− 4
=
= −2
1− 0
1
c) Steigung in [0; 1] = - 2
f 4 − f 0
−4− 4
=
= −2
4− 0
4
d) Steigung in [0; 4] = - 2
Schlussfolgerung:
Bei einer linearen Funktion ist der absolute Änderung in einem Intervall [a;
b] abhängig von den Funktionswerten f(a) und f(b).
Die Steigung einer Gerade ist aber immer konstant.
Die Steigung einer Funktion im Intervall [a;b] ist nichts anderes als die
mittlere Änderungsrate in diesem Intervall.
Anstelle von mittlerer Änderungsrate spricht man auch vom
Differenzenquotienten.
Merke:
Es sei f : A
Die Zahl
mittlere
ℝ eine reelle Funktion und [a ; b] ⊆ A.
f b − f a
b− a
heißt Differenzenquotient oder
Beispiel 3) Quadratische Funktion
f(x) = x²
a) Steigung in [0; 1] = 1
k=
f x
f 1 − f 0
1− 0
=
=
= 1
x
1− 0
1
b) Steigung in [0; 4] = 4
k=
f x
f 4 − f 0
16 − 0
=
=
= 4
x
4− 0
4
Sekante:
Beispiel 4) Quadratische Funktion
f(x) = ½ . (x - 2)²
a) Differenzenquotient in [0; 1]
f 1 − f 0
0,5 − 2
=
= − 1,5
1− 0
1
b) Differenzenquotient in [2;4]
f 4 − f 2
2− 0
=
= 1
4− 2
2
c) Differenzenquotient in [0;4]
f 4 − f 0
2− 2
=
= 0
4− 0
4
Vorzeichen des Differenzenquotienten
Ist [a,b] ein Intervall, dann gilt b – a < 0 und somit gilt:

Das Vorzeichen des Differenzenquotient


f b − f a
b− a
f(b) – f(a) > 0, das heißt: f(a) < f(b)
die Sekantenfunktion streng monoton
steigend in [a; b] ist,

f im „Endeffekt“ in [a; b] steigt ( f muss aber
in [a;b] nicht monoton steigend sein)

der Funktionswert an der Stelle b höher
liegt als an der Stelle a.

Man sagt auch: f steigt im Mittel in [a;b].
ist positiv, wenn

Das Vorzeichen des Differenzenquotient


f b − f a
b− a
f(b) – f(a) < 0, das heißt: f(a) > f(b)
die Sekantenfunktion streng fallend fallend
in [a; b] ist,

f im „Endeffekt“ in [a; b] fällt ( f muss aber in
[a;b] nicht monoton fallend sein)

der Funktionswert an der Stelle b tiefer liegt
als an der Stelle a.

Man sagt auch: f fällt im Mittel in [a;b].
ist negativ, wenn

Das Vorzeichen des Differenzenquotient
f b − f a
b− a

f(b) – f(a) = 0, das heißt: f(a) = f(b)
die Sekantenfunktion konstant ist in [a; b] ,

f im „Endeffekt“ in [a; b] weder wachsend

noch fallend ist ( f muss aber in [a;b] nicht
konstant sein)

der Funktionswert an der Stelle b gleich
hoch liegt wie an der Stelle a.
ist gleich null, wenn
Beispiel 5) Durschnittsgeschwindigkeit