Transcript PowerPoint-Präsentation

Steigung und lineare Funktionen
1. Der Begriff der Steigung
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Dekompressor „TIFF (Unkomprimiert)“
benötigt.
In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen
als Verhältnisse angegeben.
Steigung einer Rampe, einer Strasse, einer Bahn...
Bestimmen Sie die Steigung der
Rampe und der beiden Seilbahnen.
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Steigung; Steigungsdreiecke
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m = 2/10 = 1/5
m = 550 / 2200 = 1/4
500m
1000m
m = 500 / 1000 = 1 / 2
-500m
1000m
m = -500 / 1000 = -1 / 2
Positive und negative Steigung
Bergfahrt
n.r.
n.o.
n.r. = „nach rechts“,
n.o. = „nach oben“, n.u. = „nach unten“
500m
1000m
n.r.
m =
n.u.
-500m
Talfahrt
Horizontalunterschied
Æy
=
1000m
Hšhenunterschied
Æx
n.o. / n.u.
n.r.
Nehmen Sie ein allfälliges
Minuszeichen in den Zähler
y
Æx
Æy
Definition der Steigung
x
m =
Æy
Æx
n.o. / n.u.
n.r.
Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen
in den Zähler!
y
Æx
Æy
Steigungsdreiecke in Anwendungen
x
Schiefe Ebene mit Steigung (4/10) = 0.4 = 40%:
•gebogen als Serpentinenstrasse
•aufgewickelt als Schraubenlinie
•sich selbst durchdringend als Kehrtunnel
Die Steigung von Geradenstücken bestimmen
y
D
6
C
E
B
1
-6
-1
1
6
-1
A
F
-6
x
Die Steigung von Geradenstücken bestimmen
y
Lösungen:
D
6
C
3/2 = 1.5
E
7/5 = 1.4
-1/7
-1/5 = -0.2
B
1
-6
-1
1
6
-1
A
F
-3/1 = -3
-6
x
2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem
y
D
6
C
E
B
1
-6
-1
1
6
x
-1
A
F
-6
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A bis F
2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem
y
Lösungen:
A(2 | -1)
B(4 | 2)
C(1 | 5)
D(-4 | 6)
E(-3 | 3)
F(-4 | -2)
D
6
C
2. Quadrant
1. Quadrant
E
B
1
-6
-1
1
6
-1
A
F
3 Quadrant
4. Quadrant
-6
x
3. Gesetzmässigkeiten zwischen x- und y-Koordinate
a) Welche Gesetzmässigkeit besteht zwischen der x- und
der y-Koordinate bei folgenden Punkten?
(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7),
(1 | 3), (-1 | -1)
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b) Tragen Sie diese Punkte in ein
Koordinatensystem ein.
(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1)
Gesetz: y = 2x + 1
Das Funktionsgesetz
y = 2x + 1
ist gewissermassen der
„Member-Code“
für die Mitgliedschaft eines
Punktes P(x | y)
bei der rosa
gezeichneten
Geraden g.
Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden g.
Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf g.
(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (5 | 11), (-1 | -1)
Gesetz: y = 2x + 1. Steigung 2, y-Achsenabschnitt 1.
y
6
m = 2/1 = 2
(0|1)
-6
-1
1
-1
-6
6
x
4. Funktionen:
Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph einer Funktion
Eine Funktion f: y = f(x) ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.
y = f(x) ist die Funktionsgleichung, d.h. das „Gesetz“, das zwischen xund y-Koordinate gelten soll.
Beispiel: Funktionsgleichung:
a)
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Erstellen Sie eine Wertetabelle:
x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-----------------------------------------------------------y|
b)
Zeichnen Sie obige Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Verbinden Sie die gezeichneten Punkte zum Graphen der Funktion f.
Wie sieht dieser Graph aus?
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x | -4 -3 -2 -1 0 1
2
3
4
--------------------------------------------------------------y | 0 2.6 3.5 3.9 4 3.9 3.5 2.6 0
Der Graph stellt einen
Halbkreis dar.
Bemerkung:
Als x-Werte kommen
hier nur Werte zwischen
-4 und +4 in Frage.
Man sagt, die Funktion
habe den Definitionsbereich [-4; 4].
Die y-Werte bewegen
sich nur zwischen 0 und 4.
Man sagt, die Funktion habe
den Wertebereich [0; 4].
5. Lineare Funktionen: y = m x + q oder y = a x + b
Zeichnen Sie die Graphen folgender linearer Funktionen:
Hinweis zu den letzten beiden Aufgaben:
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Lösungen
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Erkenntnisse:
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y=mx+q
m = Steigungszahl
q = y-Achsenabschnitt = y-Koordinate des
Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse.
Wie zeichnen wir lineare Funktionen aus der gegebenen
Funktionsgleichung, ohne eine Wertetabelle erstellen zu
müssen?
Beispiel:
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1. Schritt: Steigungszahl als Bruch
notieren:
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2. Schritt: Start beim Schnittpunkt mit
der y-Achse, d.h. bei Q(0 | 5):
3. Schritt: Steigungsdreieck
zeichnen: 5 nach rechts,
2 nach unten.
Gerade g fertig zeichnen.
6. Zusammenfassung
Lineare Funktion: y = m x + q oder y = a x + b
Dies stellt eine Gesetzes-Beziehung zwischen der x-Koordinate und der
y-Koordinate der einzelnen Punkte dar. y heisst deshalb „gebundene
Variable“. y ist durch das Funktionsgesetz von x abhängig.
Der Graph einer linearen Funktion y = m x + q ist eine Gerade mit Steigungszahl m und y-Achsenabschnitt q, d.h. mit y-Achsen-Schnittpunkt Q(0 | q).
Genau die Punkte P(x | y), deren Koordinaten das Funktionsgesetz erfüllen
(„Member-Code“), liegen auf dem Graphen der Funktion.
Steigung
m
=
Æy
_____
Æx