Transcript Stetige Kleinste-Quadrate

Stetige Kleinste-QuadrateApproximation
Referentin: Mandy Peter
Ausblick
1. Wiederholung
2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
2.1. Worum geht es?
2.2. Polynomapproximation + Beispiel
2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen
2.4. Harmonische Analyse + Beispiel
3. Literatur
1. Wiederholung
Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation
 Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt
 Approximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe
Näherungsfunktion
 Gesucht: Das Minimum der Funktion
 Zugehöriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:
2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
2.1. Worum geht es?
 Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x)
bekannt
 Ziel: Funktion f(x) durch Näherungsfunktion
P(x) zu ersetzen
2.2. Polynomapproximation
Gesucht ist das jenige Polynom
, dass im Sinne
der Methode der Kleinsten Quadrate „möglichst gut“ den
funktionalen Zusammenhang
im vorgegeben
Intervall
approximiert.
Gesucht: Minimum der Funktion
Notwendige Bedingungen für Minimum:
Man erhält:
Daraus ergibt sich:
Gaußsche Normalengleichungen
Dieses Gleichungssystem lässt sich in der üblichen Form linearer
Gleichungssysteme
aufschreiben, wenn man die Vektoren
und die Matrix
wie folgt
definiert ist:
Satz:
Es sei
gegeben und es gelte
Normalengleichungen
eine eindeutige Lösung.
. Dann besitzen die
Beispiel
Man approximiere die Funktion
auf dem
Intervall
durch ein Polynom zweiten Grades.
Damit ist
gesucht, für das gilt:
Das Gleichungssystem, was es zu lösen gilt, lautet:
2.3. Approximation mit verallgemeinerten
Polynomen
Sei ein System von n+1 stetigen Funktionen
gegeben, die auf dem Intervall
,
, linear unabhängig
sind.
Satz:
Es sei
ein Polynom vom Grad k. Dann sind
auf jedem beliebigen Intervall
,
, linear unabhängig.
Definition:
Eine integrierbare Funktion
Intervall
, falls gilt:
jedem Teilintervall von
.
heißt Gewichtsfunktion auf dem
für
und
auf
Zweck: Teilabschnitte vom Intervall können hervorgehoben
werden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.
Verallgemeinertes Polynom:
Gesucht: Minimum der Funktion
Notwendige Bedingungen für ein Minimum:
Normalengleichungen
Definition:
Ein System stetiger Funktionen
heißt orthogonal
auf dem Intervall
bezüglich der Gewichtsfunktion
, falls:
Gilt des weiteren
Funktionensystem orthonomiert.
, dann nennt man das
Definition:
Die Zahl
heißt die Norm der Funktion
auf dem Intervall
.
Satz:
2.4. Harmonische Analyse
Sei
Intervall
orthonormiertes Funktionensystem auf dem
mit den Funktionen
Sei
eine stetige periodische Funktion mit der Periode
dem Intervall
. Dann lautet das verallgemeinerte
Polynom:
Die Summanden
heißen Harmonische.
auf
Gesucht: Minimale Abweichung des Polynoms
im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate.
von der Fkt.
Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen:
Man erhält:
Die Koeffizienten
und
heißen trigonometrische Fourierkoeffizienten
Fall 1: f(x) ist gerade Funktion
Dann:
Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion
Dann:
Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom
den
Grenzübergang
, so ergibt sich die trigonometrische
Fourierreihe:
mit
,
,
Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches
Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion
Sägezahnschwingung
Lösung der Harmonischen Analyse
 Ungerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen
Lösung der Harmonischen Analyse
Beispiel
 Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom,
das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion
bestmöglich approximiert.
 Gerade Funktion -> b fällt weg: Zu berechnen
Lösung der Harmonischen Analyse
3. Literatur
HERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. München:
OldenbourgWissenschaftsverlag.
PETERS, Thomas: [http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf;
21.05.2014]
[http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-StimmeKlangkurve.png; 21.05.2014]