S2 - Website von Marc Schwärzli
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Transcript S2 - Website von Marc Schwärzli
Die Zweiphasenmethode
Marc Schwärzli SS 2011
Die Zweiphasenmethode
• Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit
negativer rechter Seite:
• Umformen der Bedingung zur Lösung!
• I
• II
• III
Z = 2X1 + X2 +2X3 max
2X1 - X2
4 Negative rechte Seite
X2 + 2X3
15
X1
+ X3 = 8
X1, X2, X3 0
Die Zweiphasenmethode
• Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative
rechte Seite erkennbar:
• I
• II
• III
Z = 2X1 + X2 +2X3 max
-2X1 + X2
-4
X2 + 2X3
15
X1
+ X3 = 8
X1, X2, X3 0
Negative rechte Seite
Die Zweiphasenmethode
• Umwandeln in Gleichungen durch das
Einführen von nichtnegativen
Schlupfvariablen S:
• I
• II
• III
Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max
2X1 - X2
-S1
= 4
X2 + 2X3
+S2
= 15
X1
+ X3
= 8
X1, X2, X3 , S1, S2 0
Die Zweiphasenmethode
• Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form,
wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die
nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten
plus Eins besitzt (nur S2 erfüllt dies):
• I
Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max
• II
2X1 - X2
-S1
= 4 Koeffizient -1
X2 + 2X3
+S2
= 15
X1
+ X3
= 8 Kein S3
• III
X1, X2, X3 , S1, S2 0
Die Zweiphasenmethode
• Umwandeln in ein Gleichungssystem von
kanonischer Form durch Einführung
künstlicher Variablen k:
• II
• III
2X1 - X2
-S1
+k1
X2 + 2X3
+S2
X1
+ X3
+k2
X1, X2, X3 , S1, S2 0
= 4
= 15
= 8
Die Zweiphasenmethode
Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form,
wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die
nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins
besitzt.
Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen
(BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV).
• II
• III
2X1 - X2
-S1
+k1
X2 + 2X3
+S2
X1
+ X3
+k2
X1, X2, X3 , S1, S2 0
= 4
= 15
= 8
Die Zweiphasenmethode
• So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes
Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren
künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null
aufweisen.
• Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable
möglichst nahe bei Null sein.
• Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K):
Z = k1 + k2 min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2max
Die Zweiphasenmethode
• Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine
kanonische Form und eine erste Basislösung zu
gewinnen.
• I
`Z = - k1 – k2 max
• II
2X1 - X2
• III
-S1
+k1
X2 + 2X3
X1
+ X3
X 1, X 2, X 3 , S 1, S 2 0
+S2
+k2
= 4
= 15
= 8
Die Zweiphasenmethode
• Elimination der Basisvariablen (k) aus der
Zielfunktion durch Addition der Gleichungen
in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten:
• I
• II
• III
`Z =
2X1 - X2
-S1
X2 + 2X3
X1
+ X3
X1, X2, X3 , S1, S2 0
- k1 – k2 max
+k1
= 4
+S2
= 15
+k2
= 8
Die Zweiphasenmethode
• Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile 3 +
Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z.
X1
X2
X3
S1
S2
k1
k2
r.S.
Quot.
`Z
0
0
0
0
0
-1
-1
0
Z
2+1+0=
3
0-1+0=
-1
1+0+0=
1
0-1+0=
-1
0+0+0=
0
0+11=0
1+01=0
8+4+0=
12
2
-1
0
-1
0
1
0
4
0
1
2
0
1
0
0
15
1
0
1
0
0
0
1
8
+
2
+
8
+
Die Zweiphasenmethode
• Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu
zwei Zielfunktionen abgebildet.
• Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der
Addition dar.
X1
X2
X3
S1
S2
k1
k2
r.S.
Quot.
`Z
0
0
0
0
0
-1
-1
0
Z
3
-1
1
-1
0
0
0
12
2
-1
0
-1
0
1
0
4
0
1
2
0
1
0
0
15
1
0
1
0
0
0
1
8
+
2
+
8
+
Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine
erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S1 ist
keine Basisvariable.
X1
X2
X3
S1
S2
k1
k2
r.S.
Quot.
Z
3
-1
1
-1
0
0
0
12
k1
2
-1
0
-1
0
1
0
4
S2
0
1
2
0
1
0
0
15
k2
1
0
1
0
0
0
1
8
2
8
Ordnen der Basisvarialen:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
3
-1
1
-1
0
0
0
12
k1
2
-1
0
-1
1
0
0
4
S2
0
1
2
0
0
1
0
15
k2
1
0
1
0
0
0
1
8
2
8
Bestimmen einer neuen Basisvariablen:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
3
-1
1
-1
0
0
0
12
k1
2
-1
0
-1
1
0
0
4
S2
0
1
2
0
0
1
0
15
k2
1
0
1
0
0
0
1
8
2
8
X1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement:
X1
X2
Z
0
X1
1
S2
0
k2
0
-0,5
X3
S1
0
k1
-0,5
S2
0,5
k2
0
r.S.
0
Quot.
2
Ausfüllen der restlichen Werte:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
3
-1
1
-1
0
0
0
12
k1
2
-1
0
-1
1
0
0
4
S2
0
1
2
0
0
1
0
15
k2
1
0
1
0
0
0
1
8
2
8
Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement):
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
0
0,5
1
0,5
-1,5
0
0
6
X1
1
-0,5
0
-0,5
0,5
0
0
2
S2
0
1
2
0
0
1
0
15
k2
0
0,5
1
0,5
-0,5
0
1
6
2. Iteration:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
0
0,5
1
0,5
-1,5
0
0
6
X1
1
-0,5
0
-0,5
0,5
0
0
2
-
S2
0
1
2
0
0
1
0
15
7,5
k2
0
0,5
1
0,5
-0,5
0
1
6
6
Bestimmen einer neuen Basisvariablen:
X1
X2
X3
S1
Z
0
X1
0
S2
0
X3
1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
2. Iteration:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
0
0,5
1
0,5
-1,5
0
0
6
X1
1
-0,5
0
-0,5
0,5
0
0
2
-
S2
0
1
2
0
0
1
0
15
7,5
k2
0
0,5
1
0,5
-0,5
0
1
6
6
Bestimmen der restliche Werte:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
0
0
0
0
-1
0
-1
0
X1
1
-0,5
0
-0,5
0,5
0
0
2
S2
0
0
0
-1
1
1
-2
3
X3
0
0,5
1
0,5
-0,5
0
1
6
Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen
Variablen, kommt man zu einem Gleichungssystem von
kanonischer Form:
X1
X2
X3
S1
k1
S2
k2
r.S.
Quot.
Z
0
0
0
0
-1
0
-1
0
X1
1
-0,5
0
-0,5
0,5
0
0
2
S2
0
0
0
-1
1
1
-2
3
X3
0
0,5
1
0,5
-0,5
0
1
6
Basisvariablen:
II X1 - 0,5X2
0,5S1
2
- S1 S 2 3
0,5X2 X 3 0,5S1
6
Die Zweiphasenmethode
• Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird
nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst:
• Die ursprüngliche Zielfunktion
Z = 2X1 + X2 + 2X3
soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt
werden. (in diesem Fall X2)
Die Zweiphasenmethode
• Elimination der Basisvariablen X1 und X3 aus der
Zielfunktion:
I 2X1 X 2 2 X 3 max
II X1 - 0,5X2
0,5S1
2
- S1 S 2 3
0,5X2 X 3 0,5S1
6
Nebenrechnung:
Subtraktion des 2-fachen der 1. wie der 3. Zeile
von der Zielzeile:
I 2X1 X 2 2 X 3 max
2x
0,5S1
II X1 - 0,5X2
2
- S1 S 2 3
0,5X2 X 3 0,5S1
2x
6
Nebenrechnung
Neue Zielzeile:
X1
X2
X3
S1
S2
Z
2
1
2
0
0
0
-
2
-1
-1
0
4
-
0
1
2
1
0
12
0
1
0
0
0
-16
Neues Starttableau:
X1
X2
X3
S1
S2
r.S.
Quot.
Z
0
1
0
0
0
-16
X1
1
-0,5
0
-0,5
0
2
S2
0
0
0
-1
1
3
X3
0
0,5
1
0,5
0
6
Ordnen nach Basisvarialen:
X2
S1
X1
S2
X3
r.S.
Quot.
Z
1
0
0
0
0
-16
X1
-0,5
-0,5
1
0
0
2
-
S2
0
-1
0
1
0
3
-
X3
0,5
0,5
0
0
1
6
12
Neues Starttableau:
Bestimmen des Pivotelements:
X2
S1
X1
S2
X3
r.S.
Quot.
Z
1
0
0
0
0
-16
X1
-0,5
-0,5
1
0
0
2
-
S2
0
-1
0
1
0
3
-
X3
0,5
0,5
0
0
1
6
12
Ergebnistableau mit Z = 28, X1 = 8, X2 = 12, S2 = 3:
X2
S1
X1
S2
X3
Z
0
-1
0
0
-2
X1
0
8
S2
0
3
X2
1
1
0
0
2
r.S.
Quot.
-28
12
Beispiel Übungsklausur:
I Z 5 X 1 2 X 2 4 X 3 2 X 4 max
II X1 X 2 2 X 3 X 4 8
4
- X1 X 2
X1
X 3 X 4 10
III X1 , X 2 , X 3 , X 4 0