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Sensitivitätsanalyse
Marc Schwärzli HS 2012
Die Sensitivitätsanalyse
• Die Sensitivitätsanalyse ist eine postoptimale
Rechnung, die den Einfluss sich ändernder
Parameter auf eine bereits bestehende Lösung
untersucht.
• Folgende Situationen erfordern keine
Neuberechnung:
– Ein oder mehrere Koeffizienten der Zielfunktion
ändern sich.
– Eine oder mehrere rechte Seite(n) in den
Restriktionen werden korrigiert.
Die Sensitivitätsanalyse
• Ausgangspunkt ist die letzte Simplextabelle.
• Eine qualitative Änderung bedeutet die
Menge der Basisvariablen bleibt nicht gleich.
• Bei einem qualitativ gleichen Ergebnis können
sich jedoch die Werte der Basisvariablen und
damit der Zielwert ändern.
(Zum Beispiel die Artikel bleiben dieselben aber die
Stückzahl änder sich.)
Opportunitätskosten oder Schattenpreise
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
r.S.
Z
0
0
-2
-2
-3
-2
0
-32
X1
1
0
1
1
1
1
0
8
X2
0
1
0
1
0
-1
0
8
S3
0
0
2
0
0
1
1
6
Lösung: (8,8,0,0,0,0,6) und Zmax =32
• Die Koeffizienten der der Schlupfvariablen (S1, S2, S3)
der optimalen Lösung in Z heißen
Opportunitätskosten oder Schattenpreise.
• Darstellung erfolgt mit: 1 3, 2 2, 3 0
• (Vorzeichen in Z sind umgekehrt)
Änderungen der Koeffizienten in der
Zielfunktion.
(I) Z = 3x1 + x2 + x3 +2x4 max
• Beispiel: X1 ändert sich von 3 auf 3 + t1.
• Für welche Werte von t1 bleibt die Optimallösung
gleich?
Dazu wird der entsprechende Koeffizient in Z um t
vermehrt und das t-Fache der 1. Zeile (X1 Zeile) von
der Z-Zeile abgezogen.
Änderungen der Koeffizienten in der
Zielfunktion.
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
r.S.
Z
0+t1
0
-2
-2
-3
-2
0
-32
X1
1 t1
0 t1
1 t1
1 t1
1 t1
1 t1
0 t1
8 t1
0
0
-2-t1
-2-t1
-3-t1
-2-t1
0
32-8t1
X2
S3
Damit das Ergebnis weiterhin Maximal bleibt,
dürfen die neuen Zielfunktionskoeffizienten nicht
positiv sein. (Optimalitätsbedingung)
Änderungen der Koeffizienten in der
Zielfunktion
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
r.S.
Z
0+t1
0
-2
-2
-3
-2
0
-32
X1
1 t1
0 t1
1 t1
1 t1
1 t1
1 t1
0 t1
8 t1
0
0
-2-t1
-2-t1
-3-t1
-2-t1
0
-32-8t1
X2
S3
Kleiner 0 setzen:
vereinfachen:
X3
-2-t1<=0
-2<=t1
X4
-2-t1<=0
-2<=t1
S1
-3-t1<=0
-3<=t1
S2
-2-t1<=0
-2<=t1
t1 muss folglich größer gleich
als -2 sein -- die Probe kann
durch Einsetzen erfolgen.
Änderungen der Koeffizienten in der
Zielfunktion
• Ändert sich X1 von 3 auf 3 + t1 (mit t1 > -2) bleibt die
ursprüngliche Optimallösung (8,8,0,0,0,0,6) erhalten.
• Der neue maximale Zielwert lautet Zmax,neu=
-1 mal (-32-8t1) = 32+8t1
Für alle t1 > -2 gilt das Optimalitätskriterium, somit
gibt es einen neuen max. Zielwert.
Der Zielwert ändert sich nur, wenn der geänderte Koeffizient, so wie in
diesem Beispiel, in der Optimallösung Basisvariable ist.
Änderungen in den rechten Seiten
• Betrifft eine Kapazitätsausweitung eine Restriktion die
nicht ausgeschöpft worden ist (Die zugehörige
Schlupfvariable ist dann Basisvariable mit positiven Wert.)
so ändert sich weder die Optimallösung noch der
Optimalwert.
• Betrifft eine Kapazitätseinschränkung eine Restriktion die
nicht ausgeschöpft worden ist so kommt es nur zu einer
Änderung als die Einschränkung höher ist als die
überschüssigen Kapazitäten.
• Werden die rechten Seiten von ausgeschöpften
Restriktionen verändert, so kommt es jedenfalls zu einer
Änderung der optimalen Lösung und des Zielwertes.
Änderungen in den rechten Seiten
Beispiel: Die Restriktion 16 wird auf 16 + C1 geändert.
• (II)
X1
X1 - X2 + X3 + 2X4
X2
+X4
X2+2X3 +X4
X2
X3
X4
S1
16
8
8
S2
S3
r.S.
Z
0
0
-2
-2
-3
-2
0
-32
X1
1
0
1
1
1
1
0
8
X2
0
1
0
1
0
-1
0
8
S3
0
0
2
0
0
1
1
6
Änderungen in den rechten Seiten
Die Optimallösung ändert sich dann qualitativ nicht:
8
1 0
8 C1 0 0
6
0 0
+C1 da
Restriktion, sonst - C1
• Der erste Vektor entspricht der rechten Seite des
Schlusstableaus.
Änderungen in den rechten Seiten
Die Optimallösung ändert sich dann qualitativ nicht:
8
1 0
8 C1 0 0
6
0 0
• Der ersten Restriktion wird grundsätzlich im Starttableau
die Schlupfvariable S1 zugewiesen. Zu dieser
Schlupfvariablen gehört der erste Einheitsvektor von links
des Schlusstableaus. (Zu S2 der zweite und so weiter.)
• Dieser Einheitsvektor ist mit C1 zu multiplizieren.
Änderungen in den rechten Seiten
Die zugehörigen Elemente müssen die
Nichtnegativbedingung erfüllen (Punkt (III) der Angabe):
8
1 0
8 C1 0 0
6
0 0
größer 0 setzen:
vereinfachen:
1
8 + 1 C1 >=0
-8 <= C1
2
8 + 0 C1 >=0
8 >= 0
3
6 + 0 C1>=0
6 >= 0
• Folglich muss C1
größer -8 sein.
Interpretation des Ergebnisses
• Für C1 >= -8 lautet die neue Optimallösung
(8 + C1 ,8,0,0,0,6).
• Für den Optimalwert werden die Schattenpreise
herangezogen:
Endtableau
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
r.S.
Z
0
0
-2
-2
-3
-2
0
-32
X1
1
0
1
1
1
1
0
8
X2
0
1
0
1
0
-1
0
8
S3
0
0
2
0
0
1
1
6
Der ersten Restriktion ist S1 zugeordnet, der Schattenpreis ist
also 1 3
Interpretation des Ergebnisses
• Schattenpreis bedeutet, ein Unternehmen wäre zu
einer Kapazitätserweiterung bereit, wenn es je
Einheit der Vergrößerung höchstens 1 3
Geldeinheiten aufzuwenden hätte.
• Zmax, neu = Zmax, alt + C11 = 32 + 3C
1