Transcript Definice, věty, důkaz

Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační
číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České
republiky.
Zpracováno 23. 11. 2012, autor: Mgr. Jindřiška Janečková
Sada IV/2-3-1 Matematika pro I. ročník gymnázia
Základní poznatky z matematiky
IV/2-3-1-05 Definice, věty, důkazy
Základní pojmy
•
•
•
•
nezavádí se definicí
vysvětlení pomocí představ a příkladů
např. bod, přímka, přirozené číslo
pomocí nich definujeme ostatní pojmy
Axiomy
• elementární tvrzení o vlastnostech
základních pojmů
• základní věty – tvrzení považovaná
za natolik intuitivně zřejmá a jasná, že je
není potřeba blíže zdůvodňovat
• jejich pravdivost uznáváme bez další
argumentace, bez důkazu
• př. Každým bodem lze vést k dané přímce
jedinou rovnoběžku.
Definice pojmu
• vymezení podstatných vlastností pojmu,
které jej jednoznačně charakterizují
• používají se základní pojmy a pojmy dříve
zavedené
• př. Kružnice k(S;r) je množina bodů
v rovině, které mají od daného bodu S
(střed kružnice) stejnou vzdálenost r
(poloměr kružnice).
Matematická věta
• tvrzení, matematický výrok, o jehož
pravdivosti se lze přesvědčit
• výrok, jehož pravdivost musí být dokázána
• př. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je
úhel přímý.
• př. Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu
vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.
Důkaz
• úvaha zdůvodňující platnost matematické
věty
• posloupnost logických úvah, které ukazují,
že platnost tvrzení vyplývá z platnosti
axiomů a dokázaných tvrzení
Nejčastější typy vět
• Elementární výrok Y
Př. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel
přímý.
• Implikace X => Y
Př. Pro každé přirozené číslo n platí: Je – li
n2 sudé, pak je n sudé.
• Ekvivalence X <=> Y
Př. Součin reálných čísel a a b je roven nule,
právě když a = 0 nebo b = 0.
Hlavní typy důkazů
• přímý (důkaz elementárního tvrzení, důkaz
implikace)
• nepřímý (důkaz implikace)
• sporem (důkaz elementárního tvrzení,
důkaz implikace)
Ekvivalence X <=> Y: Dokazujeme implikace
X => Y a Y => X.
Přímý důkaz
elementárního výroku Y
• Vyjdeme od výroku X, o kterém víme, že
platí. (Problém: Jak najít pravdivý výrok X,
z něhož by bylo možné tvrzení odvodit?)
• Z výroku X odvodíme Y;
ukážeme, že platí X => Y.
• Tím je výrok Y dokázán.
Dokažte, že v trojúhelníku je součet všech jeho
vnitřních úhlů roven 180°.
• Zvolíme libovolný trojúhelník
ABC.
• Výrok, ze kterého vyjdeme:
Bodem mimo danou přímku lze
vést jedinou přímku, která je
s ní rovnoběžná. Tedy,
k přímce AB existuje jediná
rovnoběžka procházející
bodem C – přímka PQ.
• Podle věty o rovnoběžkách
proťatých příčkou: α´= α, β´= β.
• Úhel PCQ je přímý,
dostáváme tedy
α´+ β´ + γ = α + β + γ = 180°.
Libovolný trojúhelník ABC:
P
α´
α
A
Q
C
γ
β´
β
B
Přímý důkaz implikace X => Y
•
•
•
•
•
•
•
Důkaz pomocí řetězce implikací.
Z platnosti X odvodíme X1; X => X1
X1 => X2
X2 => X3
…
Xn => Y
Tím je platnost věty X => Y dokázána.
Nepřímý důkaz implikace X => Y
• Dokážeme obměněnou implikaci
˥Y => ˥X.
• ˥Y => ˥X je s implikací X => Y ekvivalentní.
• Přímý důkaz implikace ˥Y => ˥X.
Pro všechna přirozená čísla n platí:
Je – li n2 sudé, pak n je sudé.
•
•
•
•
•
•
•
•
Obměna: Je – li n liché, pak n2 není sudé.
liché n = (2k + 1), k ϵ N0
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 2k + 1 = 2[k(2k + 1)] + 1
k(2k + 1) = h
2[k(2k + 1)] + 1 = 2h + 1
n2 = 2h + 1
2h + 1 není číslo sudé, je liché
Platí obměněná věta => platí i věta původní.
Důkaz sporem výroku X
• Předpokládáme, že platí
negace výroku X (˥X).
• Z ˥X vyvozujeme logické důsledky až
dojdeme ke sporu (k tvrzení Z, o kterém
víme, že je nepravdivé).
˥X => Z1, Z1 => Z2, Z2 => Z3…Zn => Z
• Neplatí ˥X, platí X.
Dokažte, že číslo 2 je iracionální.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Negace: Číslo 2 je racionální. =>
p
+
Existuje p, q ϵ Z tak, že 2  =>
q
p2 = 2q2 (p > q >1)
Základní věta aritmetiky: Každé číslo větší než 1 lze
zapsat jako součin mocnin prvočísel. =>
Lze napsat: p = 2a.r, q = 2b.s, a, b ϵ N0, r, s jsou lichá
p2 = 22a.r2, q2 = 22b.s2
Dosadíme do p2 = 2q2 : 22a.r2 = 2.22b.s2 =>
22a.r2 = 22b+1.s2, r2 a s2 jsou lichá => 22a = 22b+1 =>
2a = 2b + 1 (sudé číslo se rovná lichému) NEPRAVDA
Platí: Číslo 2 je iracionální.
Použitá literatura
• BUŠEK, Ivan a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní
poznatky. 3., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 178 s. Učebnice
pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-146-8.
• ŠEDIVÝ, Jaroslav, Jaroslav BLAŽEK, Júlia LUKÁTŠOVÁ, Soňa
RICHTÁRIKOVÁ a Jindřich VOCELKA. Matematika pro gymnázia:
sešit 2. 3. vydání. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1978.
Učebnice pro střední školy.
• SMIDA, Jozef, Júlia LUKÁTŠOVÁ, Jaroslav ŠEDIVÝ a Jindřich
VOCELKA. Matematika pro I. ročník gymnázií. 1. vydání. Praha:
Státní pedagogické nakladatelství, 1984. Učebnice pro střední školy.