Transcript teori bilangan - WordPress.com

BILANGAN
BILANGAN
ASLI
BIL. CACAH
BIL. BULAT
BIL. RASIONAL
BIL REAL
BIL. KOMPLEK
BILANGAN ASLI
Sifat-sifat Bilangan asli
a. Sifat assosiatif(pengelompokkan) :
(m + n) + p = m + (n + p)
b. Sifat Komutatif :
m+n=n+m
c. Sifat Kanselasi penjumlahan:
Jika m + p = n + p, maka m = n
d. Adanya Unsur Identitas terhadap
perkalian, yaitu 1 .
e. Sifat Assosiatif perkalian :
(m.n).p = m.(n.p)
f. Sifat Kanselasi perkalian :
Jika m.p = n.p maka m = p
g. Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan :
p. (m + n) = pm + pn
INDUKSI MATEMATIKA
Prinsip I
Misalkan {P(n) : n Є n} merupakan kumpulan
pernyataan dengan setiap bilangan asli
mempunyai satu pernyataan .
a. Jika P(n) benar dan
b. Jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k+1)
juga benar, maka P(n) benar
Contoh :
Dengan menggunakan Induksi Matematika
buktikan bahwa :
n.(n  1)
1  2  3  ...  n 
!
2
Bukti :
n.(n  1)
1  2  3  ...  n 
!
2
1. Kita Uji untuk nilai n = 1
1.(1  1)
2
2
1
2
1

Sehingga Pernyataan bernilai
benar untuk n = 1
2. Kita Asumsikan bahwa pernyataan benar
untuk setiap n = k
Shg : 1  2  3  ...  k  k .(k  1)
2
Kita buktikan bahwa pernyataan akan
bernilai benar untuk n = k  1
k .(k  1)
1  2  3  ...  k 
2
Shg diperoleh :
(k  1).( k  1)  1)
 1  2  3  ...  (k  1) 
2
 1  2  3  ...  (k  1)  (k  1).( k  2))
2
 (k  1)
Dari Persamaan awal
k .(k  1)
1  2  3  ...  k 
2
Shg diperoleh :
1  2  3  ...  k ((kk  11))
Kita tambahkan k + 1
pada ruas kiri dan kanan
k .(k  1)  (k  1)
 (k  1
2
k .(k  1) 2 .(k  1)


 Sehinggat erbukt ibahwa
2
2
n.(n  1)
1

2

3

...

n

2
 k .(k  1)  2(k  1)
2
(k  1)( k  2) Sesuai dengan

yang diperoleh
2
pada pers. 2
Buktikan bahwa :
2
2
2
2
1. 1  2  3  ...  n 
n(2n  1)( n  1)
6
1
2. 1.2  2.3  3.4  ...  n(n  1)  n(n  1)( n  2)
3
BILANGAN BULAT
• Aksioma Bil. Bulat
Karena bilangan asli juga merupakan bilangan
bulat, maka semua aksioma pada bilangan
asli juga berlaku pada bilangan bulat, tetapi
ada beberapa aksioma yang berlaku hanya
untuk bilangan bulat saja antara lain :
1. Ada invers pada penjumlahan :
Jika a + b = 0, maka b = a-1, dimana b = -a
Jika a adalah anggota bilangan bulat tak nol maka, a-1 = -a
• Beberapa aturan operasi penjumlahan pada
bilangan bulat
o a + (-b) = a – b ( Invers dari –b adalah b)
o a – (-b) = a + b
Contoh :
4 + (-2) = 4 – 2 = 2
5 – (-9) = 5 + 9
Hasil kali
Jika a,b adalah bilangan bulat maka a.b juga
bilangan bulat.
Keterbagian
Definisi :
Suatu bilangan bulat b dikatakan membagi c jika
terdapat bilangan bulat lain k sehingga c = b.k,
hal ini ditulis dalam bentuk a|b
Sifat –sifat pada keterbagian :
• Sifat reflektif
Untuk setiap a bilangan bulat berlaku a|a
• Sifat Transitif Bukti
Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku
Jika a|b dan b|c, maka a|c
Bukti
• Sifat Linear
Jika a|b dan a|c maka a|(xb + yc) untuk setiap
a, b, c, x, ybilangan bulat
• Sifat Perkalian
Jika a|b maka ca|cb
• Sifat Pencoretan
Jika ca|cb dan c ≠ 0, maka a|b
• Untuk bilangan 1 berlaku 1|a, untuk setiap
bilangan bulat a
• Untuk setiap bilangan 0 berlaku a|0
• Jika a|b dan b|c, maka a|c
a|b berarti ada bilangan bulat k shg b = a.k
b|c berarti ada bilangan bulat p shg c = b.p
Maka c = a.k.p, sedangkaan k.p adalah sebuah
bilangan bulat, beri simbol q = k.p
Shg c = a.q
Terbukti a|c
kembali
Jika a|b dan a|c maka a|(xb + yc)
a|b maka b = a.k
Berdasarkan sifat perkalian : bx = a.k.x
a|c maka c = a.l
Berdasarkan sifat perkalian : cy = a.k.y
Shg : bx = a.k.x
cy = a.l.y +
bx + cy = akx + aky
bx + cy = a.(kx + ly)
Terbukti bahwa a|(bx + cy)
kembali