Transcript Aljabar Abstrak Pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
MATERI
 PENDAHULUAN : Himpunan, Pemetaan,
 Bilangan Bulat (T.Bil), Bil Kompleks.
 Operasi Biner
 Grup dan Contohnya
 Sifat-sifat Sederhana Grup
 Kompleks dan Subgrup
 Grup Simetri
 Grup Siklik
 Isomorpisme
 Koset
 Subgrup Normal
 Homomorpisme Grup
 Hasilkali Silang
Himpunan
Misalkan B suatu himpunan semua bil bul. dan a, k suatu bil
bulat :
 A = {an| n bil bulat}
 C = {an| n bil bulat}
 D = {dk| d bil bulat}
 E = {√m | m bil bulat}
 F = {7n| n bil bulat}
 G = {n2| n bil bulat} T = {2n | n bil bulat}
 H = {3t | t bil bulat}
Deskripsikan himpunan-himpunan tersebut!
Pemetaan
 Apa beda pemetaan injektif, surjektif, bijektif dan korespondensi 1–1?
 Jika n(S) = 5, berapakah banyaknya pemetaan injektif dari S ke S?
 Jika n(S) = 5 dan n(T) = 8, berapakah banyaknya pemetaan injektif dari S






ke T?
Apakah pemetaan f : R R yang didefinisikan oleh f(x) = 5|x| + 3 mrpk
pemetaan bijektif?
Apakah pemetaan f : R R yang didefinisikan oleh f(x) = sin x + 3 mrpk
pemetaan injektif?
Jika n(G) = 10, berapakah banyaknya pemetaan bijektif dari G ke G?
Bilamana invers suatu pemetaan merupakan pemetaaan lagi?
Apakah invers suatu pemetaan injektif merupakan pemetaan injektif lagi?
Mengapa?
Apakah invers suatu pemetaan surjektif merupakan pemetaan surjektif lagi?
RELASI KETERBAGIAN
Algoritma Pembagian
Jika m dan n dua bilangan bulat, maka ada
bilangan-bilangan bulat q dan r, sedemikian
hingga m = qn + r, dengan 0 £ r < |n|.
Jika (a, b) = c, maka ada bilangan-bilangan bulat
mo dan no sedemikian hingga c = mo a + no b.
(a, b) = 1 jika dan hanya jika ada
bilanganbilangan
bulat m dan n sedemikian hingga ma+nb = 1
Kekongruenan pada B
 Def: a º b (mod m) Ûm | (a – b)
 Tunjukkan bahwa relasi º pada B merupakan relasi ekivalen!
 Tuliskan semua kelas ekivalen untuk relasi º (mod 6) pada B.
 Selesaikan perkongruenan berikut.
a) 5x ≡ 1 (mod 7)
b) 10 m ≡ 1 (mod 11)
5-1= (mod 7) 10-1= (mod 11)
c) 7 n ≡ 1 (mod 20)
d) 9 y ≡ 1 (mod 25)
7-1 = (mod 20) 9-1 = (mod 25)
4) Tentukan residu terkecilnya
a) 225 ≡ (mod 7)
b) 722 ≡ (mod 20)
TEO FERMAT: Jika p suatu bilangan prima dan (a,p) = 1, maka
ap-1º 1 (mod p).
Contoh:
Selesaikanlah 5x º 1 (mod 7),
Karena 56 º 1 (mod 7) 5. 55 º 1 (mod 7).
Jadi x º 55 º (mod 7) yang merupakan 3 invers 5 mod 7
f(m) adalah banyaknya elemen dari himpunan residu sederhana
modulo m.
f(4) = f(6) = f(8) = f(9)= f(15)=
2
2
4
6
8
Jika p prima dan k bil bul pos, makaf(pk) = pk -1(p – 1)
(30)= , (45) = , (25)= , (20) =
8
24
20
8
TEO EULER: Jika m suatu bilangan bulat positif dan (a,m) = 1,
maka af(m) 1 (mod m).
Contoh:
Selesaikan 7x 1 (mod 9).
Karena 76 1 (mod 9) 7 . 75 1 (mod 9) (?)
x 75 4 (mod 9), yang mrpk invers 7 mod 9.
Dalam mod 11, carilah invers dari bilangan ini!
2-1 =
3-1 =
5-1 =
7-1 =
10-1 =
4-1 =
6-1 =
8-1 =
10
6
3
4
2
9
7
8
Bilangan Kompleks
1) Tentukan hasilnya!
a) (5 + 2i)2.
b) (5 + 2i)(5 – 2i)
c) 1 : (3 + 2i)
d) (7 + 3i) : (4 – 2i)
2) Tentukan semua bilangan kompleks z yang
memenuhi z6 = 1.