Transcript Persamaan Linear Diophantus

Menentukan penyelesaian bersama dari
beberapa perkongruenan linier
CONTOH :
Tentukan penyelesaian bersama dari beberapa perkongruenan berikut
:
 x  2 (mod 3).....(1)

 x  4 (mod 5).....(2)
 x  6 (mod 7).....(3)

Jawab :
x  2 (mod 3)
x  2  3k1 .....( 4), subtitusi ke (2)
2  3k1  4 (mod 5)
3k1  2 (mod 5)
3k1  2  5k (mod 5)
3k1  12 (mod 5)
FPB(3,5) = 1
k1  4 (mod 15)
k1  4  5k 2 .....(5), subtitusi ke (4)
diperoleh
diperoleh
x  2  3k1
x  2  3(4  5k 2 )
x  14  15k 2 .....(6), subtitusi ke (3)
14  15k 2  6 (mod 7)
15k 2  8 (mod 7)
15k 2  8  7k (mod 7)
15k 2  15 (mod 7)
k 2  1 (mod 7)
k 2  1  7k (mod 7)
k 2  6 (mod 7)
k 2  6  7k , subtitusi ke (6)
x  14  15k 2
x  14  15(6  7k )
x  14  90  105k
x  104  105k
Jadi penyelesaian bersama dari system perkongruenan tersebut
adalah x  104  105k
PERSAMAAN LINEAR DIOPHANTUS (PLD)
DEFINISI :
Suatu persamaan ax  by  c dengan variabel x dan y serta a, b, c  B
disebut PLD.
ax  by  c dapat berarti ax  c(mod b) dan by  c (mod a )
Menyelesaikan PLD :
ax  by  c dapat berarti ax  c(mod b)
by  c (mod a )
Salah satu dapat diselesaikan terlebih dahulu kemudian hasilnya
disubtitusikan ke PLD.
CONTOH :
Selesaikan PLD 7 x  15 y  51
 7 x  51 (mod 15)
7 x  51  15k (mod 15)
7 x  126 (mod 15)
FPB(7,15)  1
x  18 (mod15)
x  18  15k
 Subtitusi 7 x  15 y  51
7 (18  15k )  15 y  51
128  105k  15 y  51
15 y  105k  75
y  7 k  5
Jadi x  18  15k , k  B
y  7 k  5, k  B
Jika x dan y positif, x=3 dan y=2 untuk k=-1
LATIHAN :
1. Tentukan penyelesaian bersama dari
 x  2 (mod 3)

 x  3 (mod 5)
 x  1(mod 4)

2. Jika x dan y menyatakan bilangan-bilangan bulat positif, tentukan
semua penyelesaian dari :
a. 2 x  6 y  18
b. 6 x  15 y  51
3. Pak Ahmad menjual sejumlah telur ayam dan telur itik masing-masing
dengan harga @Rp 180,00 untuk telur ayam dan @Rp 290,00 untuk
telur itik. Jika Pak Ahmad menerima hasil penjualan semua telurnya
sejumlah Rp 2890,00. Berapakah banyak telur yang dijual Pak Ahmad?