Transcript Slovní úlohy o směsích 1 - řešení pomocí lineární rovnice

Slovní úlohy o směsích
(řešené lineární rovnicí o jedné neznámé)
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního
rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Jak při řešení rovnic postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic,
jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám
úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Slovní úlohy o směsích
Ukázka zadání takové úlohy:
V květinářství prodávají růže dvou
barev. Červené za 15 Kč za kus
a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží
každé barvy je v kytici stojící
81 Kč, navázané z pěti růží?
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou
nastat.
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
5 červených růží
5 . 15 = 75 Kč
0 žlutých růží
0 . 18 = 0 Kč
Celkem … 75 + 0 = 75 Kč
Neodpovídá
ceně
ze zadání –
není řešením!
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou
nastat.
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
4 červené růže
4 . 15 = 60 Kč
1 žlutá růže
1 . 18 = 18 Kč
Celkem … 60 + 18 = 78 Kč
Neodpovídá
ceně
ze zadání –
není řešením!
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou
nastat.
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
Našli jsme řešení, a tak by se
mohlo zdát, že jsme hotovi.
3 červené
růže
Nevyzkoušeli
jsme ovšem ještě
všechny možné kombinace
růží, a tak nemáme jistotu,
že nebude existovat ještě
nějaké jiné řešení. Proto
musíme pokračovat
ve zkoumání zbývajících
barevných kombinací růží.
3 . 15 = 45 Kč
2 žluté růže
2 . 18 = 36 Kč
Celkem … 45 + 36 = 81 Kč
A máme
řešení!
3 červené
a 2 žluté růže.
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou
nastat.
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
2 červené růže
2 . 15 = 30 Kč
3 žluté růže
3 . 18 = 54 Kč
Celkem … 30 + 54 = 84 Kč
Neodpovídá
ceně
ze zadání –
není řešením!
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou
nastat.
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
1 červená růže
1 . 15 = 15 Kč
4 žluté růže
4 . 18 = 72 Kč
Celkem … 15 + 72 = 87 Kč
Neodpovídá
ceně
ze zadání –
není řešením!
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Rozebereme si úlohu tak, že vyzkoušíme všechny možnosti, které mohou
nastat.
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
0 červených
Nakonec
tedy již
žádná další barevná
kombinace řešení
odpovídající zadání
nepřinesla, a tak se
vrátíme k té jediné
možné kombinaci.
růží
0 . 15 = 0 Kč
5 žlutých růží
5 . 18 = 90 Kč
Celkem … 0 + 90 = 90 Kč
Neodpovídá
ceně
ze zadání –
není řešením!
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Řešení postavené
všech
Dle zadání: 5 na
růží zkoumání
… 81,- Kč
možných
kombinací je příliš
3 červené růže
2 žluté růže
zdlouhavé a možné jen při malých
počtech zadaných veličin.
Odvodíme si tedy postup při řešení
příkladů tohoto typu pomocí
lineární
2 . 18 = 36 Kč
3 . 15 = 45 Kč
rovnice o jedné neznámé.
Celkem … 45 + 36 = 81 Kč
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
červené
růže
3 červené růže
Jako
neznámou
zvolíme počet
červených růží.
Kolik Kč
budou stát
červené růže?
žluté
2 žlutérůže
růže
x
15 . x
5–x
18 . (5 – x)
3 . 15 = 45 Kč
2 . 18 = 36 Kč
Celkem … 45 + 36 = 81 Kč
Jak potom
vyjádříme
počet žlutých
růží, je-li všech
celkem 5?
A kolik Kč
budou stát
žluté?
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
červené růže
x
15 . x
žluté růže
5–x
18 . (5 – x)
Cena červených + cena žlutých = cena všech růží
Jaká logická
rovnost bude
základem naší
rovnice?
15 . x + 18 . (5 – x) = 81
Slovní úlohy o směsích
V květinářství prodávají růže dvou barev. Červené za 15 Kč
za kus a žluté za 18 Kč za kus. Kolik růží každé barvy je v kytici
stojící 81 Kč, navázané z pěti růží?
Dle zadání: 5 růží … 81 Kč
červené růže
x =3
žluté růže
5 – x= 5 – 3 = 2
15 . x + 18 . (5 – x) = 81
15 . x + 90 – 18 . x = 81
Kytice je uvázána ze tří
−3 . x = 81 – 90
červených a dvou žlutých
−3 . x = −9
růží.
x = −9 : (−3)
x=3
Příklad:
Vstupné na divadelní představení je 50 Kč pro dospělé a 30 Kč pro děti.
Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo představení, jestliže bylo prodáno
450 vstupenek a na vstupném bylo vybráno celkem 17 100 Kč?
Příklad:
Vstupné na divadelní představení je 50 Kč pro dospělé a 30 Kč pro děti.
Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo představení, jestliže bylo prodáno
450 vstupenek a na vstupném bylo vybráno celkem 17 100 Kč?
Dospělí i děti:
Dospělí:
Počet vstupenek
… x
Zkouška:
Cena
za vstupenky
… 50.
180
. 50 + 270
Děti:
450 – x
Cena za vstupenky … 30 . (450 – x)
Počet vstupenek …
30
.x=
= 9 000 + 8 100 =
= 17 100 Kč
450 vstupenek … 17 100 Kč
50 . x + 30 . (450 – x) = 17 100
50 . x + 13 500 – 30 . x = 17 100
50 . x – 30 . x = 17 100 – 13 500
20 . x = 3 600
450 – 180 = 270
x = 3 600 : 20
Představení navštívilo
x = 180
180 dospělých a 270 dětí.
Příklad:
630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví. Některé byly po 25 litrech, jiné
po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo kterých konví?
Příklad:
630 litrů postřiku bylo slito do 22 konví. Některé byly po 25 litrech, jiné
po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo kterých konví?
Všechny konve:
Menší konve:
Větší konve:
Počet konví … x
Množství litrů v konvích …
Zkouška:
14 . 25 + 8 . 35 =
= 350 + 280=
= 630 l
Počet konví …
25 . x
Množství litrů v konvích …
22 – x
35 . (22 – x)
22 konví … 630 l
25 . x + 35 . (22 – x) = 630
25 . x + 770 – 35 . x = 630
−10 . x = 630 – 770
−10 . x = −140
x = −140 : (−10)
x = 14
22 – 14 = 8
Menších konví bylo 14 a větších 8.
Příklad:
Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má
připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů
každého druhu kávy bude třeba smíchat?
Příklad:
Ze dvou druhů kávy v cenách 240 Kč a 320 Kč za kilogram se má
připravit 100 kg směsi v ceně 300 Kč za kilogram. Kolik kilogramů
každého druhu kávy bude třeba smíchat?
Směs:
1. druh kávy:
2. druh kávy:
Zkouška:
Počet kilogramů … 100 – x
Počet kilogramů … x
240 . 25 + 320 . 75 =
Cena kávy … 320 . (100 – x)
Cena kávy … 240 . x
= 6 000 + 24 000 =
= 30 000 Kč
100 kg … 100 . 300 = 30 000 Kč
30 000 : 100 =
= 300 Kč
240 . x + 320 . (100 – x) = 30 000
240 . x + 32 000 – 320 . x = 30 000
−80 . x = 30 000 – 32 000
−80 . x = −2 000
100 – 25 = 75 kg
x = −2 000 : (−80)
Bude třeba smíchat 25 kg
x = 25 kg
levnější a 75 kg dražší kávy.
Použité obrázky:
cit. 2010–13–07]. Dostupné pod licencí Creative
Commons na WWW:
< http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>
<http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html>
<http://www.clker.com/clipart-25039.html>
<http://www.clker.com/clipart-12499.html>