Transcript Mocniny - věty o mocninách

Věty
o počítání s mocninami
Věta o násobení mocnin
Obrázek č. 1
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Opakování: Druhá mocnina
Součin dvou sobě rovných čísel (činitelů) se
nazývá druhá mocnina.
33  3
2
 3   3   3
2
30  30  30
2
0,3  0,3  0,3
2
Opakování: Třetí mocnina
Součin tří sobě rovných čísel (činitelů) se nazývá
třetí mocnina.
222  2
3
 2   2  2   2
3
20  20  20  20
3
0,2  0,2  0,2  0,2
3
Opakování: n-tá mocnina
Součin n sobě rovných čísel (činitelů) se nazývá
n-tá mocnina.
2  2  .... 2  2
n
n činitelů
 2   2 ...  2   2
n
n činitelů
20  20  ... 20  20
n
n činitelů
0,2  0,2  ... 0,2  0,2
n
n činitelů
Opakování: jen pro úplnost
I s první mocninou se budeme setkávat, byť se
o ní prakticky nemluví a ani se jako mocnina
nezapisuje. Pro následující výpočty však i o tom
musíme vědět. 
22
1
 2   2
1
1 činitel
20  20
1 činitel
1
1 činitel
0,2  0,2
1
1 činitel
Opakování: Sčítání mocnin
Sčítat můžeme jen mocniny se stejným
základem i exponentem.
Pro zopakování:
Základ
mocniny
a
n
Exponent
neboli
mocnitel
Opakování: Sčítání mocnin
Sčítat můžeme jen mocniny se stejným
základem i exponentem.
a  a  2  a  2a
3
3
3
3a  4a  7a
2
2
2
2
5a  a  9a  15a
2
2
a  b  Nelze sčítat, protože není stejný základ!
2
3
a  a  Nelze sčítat, protože není stejný exponent!
2
2
2
2
Sčítat lze
najednou
libovolný počet
mocnin.
Koeficienty
sečteme, základ
a exponent
opíšeme.
!
Opakování: Odčítání mocnin
Odčítat můžeme jen mocniny se stejným
základem i exponentem.
5a  3a  2a
3
3
3
3
2a  a  1a  a
2
2
2
Odčítat lze
mocniny,
podobně jako
čísla, vždy jen
po dvou.
8a  a  4a  7a  4a  3a
2
!
2
2
2
2
Koeficienty
odečteme,
základ a
exponent
opíšeme.
a  b  Nelze odčítat, protože není stejný základ!
2
3
odčítat, protože není stejný
a  a  Nelze
exponent!
2
2
2
Věta o násobení mocnin
Pokusíme se větu (vzorec) opět samozřejmě
sami odvodit. Tak jdeme na to:
a  a 
2
3
aaa
a a
 aaaaa  a
2x
5x
5
3x
Zatím se dobře podívejte na exponenty a půjdeme odvozovat dále.
Věta o násobení mocnin
Pokusíme se větu (vzorec) opět samozřejmě
sami odvodit. Tak jdeme na to:
a  a 
5
4
aaaaa
aaaa
 aaaaaaaaa  a
5x
9
4x
9x
A opět se dobře podívejte na exponenty.
Věta o násobení mocnin
Mohli bychom klidně pokračovat, ale myslím, že
už vám je všem jasné, jak to s násobením
mocnin je:
a a  a  a
5
4
9
5 4
a a  a  a
2
3
5
23
Jak bychom tedy mohli naše zjištění zobecnit?
Věta o násobení mocnin
Mocniny se stejným základem
vynásobíme tak, že základ
umocníme součtem exponentů.
a a  a
m
n
m n
Všimněte si velice důležité
podmínky, kterou jsem
v definici barevně
zvýraznil. Násobit takto
můžeme jen mocniny se
stejným základem!
Věta o násobení mocnin
Dejme si pár příkladů:
a3  a8 
6
2
x x 
5
y y 
4
3
2 2 
7
5 5 
2
4
 3   3 
0,75  0,79 
3
2
 1  1
    
2 2
Věta o násobení mocnin
Dejme si pár příkladů:
a3  a8 
6
2
x x 
5
y y 
4
3
2 2 
7
5 5 
2
4
 3   3 
0,75  0,79 
3
2
 1  1
    
2 2
a 11
8
x
y6
7
2
58
6
 3
0,714
5
 1
 
2
Věta o násobení mocnin
Při násobení mocnin se samozřejmě mohou
objevovat i mocniny s koeficienty, ať už
kladnými či zápornými. V takových případech
pak postupujeme následovně:
1) Určíme znaménko výsledku.
Minus a plus
dává …
 3a  5a  
2
4
Věta o násobení mocnin
Při násobení mocnin se samozřejmě mohou
objevovat i mocniny s koeficienty, ať už
kladnými či zápornými. V takových případech
pak postupujeme následovně:
1) Určíme znaménko výsledku.
2) Vynásobíme koeficienty (čísla).
3.5=
 3a  5a   15
2
4
Věta o násobení mocnin
Při násobení mocnin se samozřejmě mohou
objevovat i mocniny s koeficienty, ať už
kladnými či zápornými. V takových případech
pak postupujeme následovně:
1) Určíme znaménko výsledku.
2) Vynásobíme koeficienty (čísla).
3) Sečteme exponenty (vynásobíme mocniny).
2+4=
 3a  5a   15 a
2
4
6
Věta o násobení mocnin
Dejme si opět pár příkladů:
2a 4  a 3 
 x  5x 
 4y  3y 6 
2x 4   7x 5 
 5b   3b  
2
3
 1,2a   3a 
2





 0,7z 5  0,7z 2 
2 4 1 10
 a  a 
3
3
Věta o násobení mocnin
Dejme si opět pár příkladů:
2a 4  a 3 
2a 7
 x  5x 
 4y  3y 6 
2x 4   7x 5 
 5b   3b  
2
3
 1,2a   3a 
 5x
 12y 7
 14x 9
2
15b
5
3,6a
 0,7z 5  0,7z 2 
2 4 1 10
 a  a 
3
3
 0,49z
2 14
 a
9
2





3
7
Věta o násobení mocnin
Stejně jako při násobení čísel můžeme najednou
násobit i libovolný počet mocnin.
1) Určíme znaménko výsledku.
Minus, minus,
plus a minus
dává …


 2a   3a 7a   a  
3
4
2
Věta o násobení mocnin
Stejně jako při násobení čísel můžeme najednou
násobit i libovolný počet mocnin.
1) Určíme znaménko výsledku.
2) Vynásobíme koeficienty (čísla).
2.3.7.1=


 2a   3a 7a   a   42
3
4
2
Věta o násobení mocnin
Stejně jako při násobení čísel můžeme najednou
násobit i libovolný počet mocnin.
1) Určíme znaménko výsledku.
2) Vynásobíme koeficienty (čísla).
3) Sečteme exponenty (vynásobíme mocniny).
3+1+4+2=


 2a   3a 7a   a   42 a
3
4
2
10
Věta o násobení mocnin
Dejme si opět pár příkladů:
5a 2  a 2  3a 
 x 3  2x 2  x 4 
 5y  2y 3   3y  
 2x 3   7x 5  x  2x 2 




 2b3   3b  b  4b2 
 1,5a2  10a   0,3a3 




  0,2z  
3
0,2z 5  0,2z 2
1 4 1 2  3 3
a  a  a  
2
3
 4 
Věta o násobení mocnin
Dejme si opět pár příkladů:
5a 2  a 2  3a 
15a 5
 x 3  2x 2  x 4 
 5y  2y 3   3y  
 2x 3   7x 5  x  2x 2 
 2x 9
30y 5


 2b3   3b  b  4b2 
 1,5a2  10a   0,3a3 
28x 11
24b 7
4,5a6
3
0,2z 5  0,2z 2
1 4 1 2  3 3
a  a  a  
2
3
 4 
0,008z10
1 9
 a
8





  0,2z  

Použité obrázky:
[cit. 2010–13–07]. Dostupné pod licencí Creative Commons
na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>
<http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html >