Transcript JÝlek,Rozmerova analyza

Rozměrová analýza
Semestrální práce z předmětu KMA/MM
Richard Jílek
Rozměrová analýza
Hlavní funkce rozměrové analýzy jsou:

určení počtu a tvaru bezrozměrových kritérií podobnosti

snížení počtu nezávisle proměnných při experimentu, zjednodušení řešení a
zobecnění jeho výsledků

převod základní soustavy jednotek měření

převedení fyzikálních veličin do jiné základní soustavy jednotek měření

získání funkčních závislostí zejména v těch případech, kdy nejsou řešiteli známy
bližší informace o fyzikální podstatě zkoumaného jevu a není znám úplný
matematický popis jevu.
Rozměrová analýza
Veličiny a jednotky:
 Základní a doplňkové veličiny a jednotky v soustavě SI
Rozměrová analýza
Rozměrová matice:
 Základním kamenem v rozměrové analýze
Rozměrová analýza

Rozměrové matice A:

Například:
a21 značí exponent u základního rozměrového symbolu Y2 proměnné x1.
Některé z exponentů aij mohou být nulové.


Rozměrová analýza
Kritéria podobnosti:
 Výsledkem
rozměrové
analýzy
jsou
definice
bezrozměrných veličin tj. kritérií podobnosti.
 Jednoduchá a složená kritéria podobnosti se souhrnně
označují jako Π.
Rozměrová analýza

Po dosazení předchozích výrazů do výrazu pro libovolnou
proměnnou

Splněno pouze tehdy když
Rozměrová analýza
Pí teorém:

Počet bezrozměrových proměnných vystupujících ve
zkoumaném fyzikálním procesu se určuje podle Pí
teorému

Pí teorém představuje základní teorém podobnosti a
modelování, vyjadřující v podstatě proces zhušťování a
zobecňování modelové informace.
Rozměrová analýza

Počet bezrozměrových složených kritérií (kk) je roven rozdílu
všech rozměrově rozdílných veličin (n) působících v procesu a
počtu základních a doplňkových rozměrů (r).

Jsou-li v souboru působících veličin veličiny rozměrově stejné,
pak počet (ks) jednoduchých kritérií se rovná rozdílu
celkového počtu (N) působících veličin a počtu (n) veličin s
rozdílnými rozměry.
Rozměrová analýza
Popis zkoumaného procesu lze tudíž provést místo N proměnnými
rozměrovými veličinami n–r bezrozměrovými složenými kritérii π a
N–n jednoduchými kritérii P ve tvaru rovnice


Pomocí Pí teorému lze určit počet jednoduchých a složených
kritérií podobnosti. Tvar kritérií podobnosti se pak získá
některou ze tří metod zobecněných proměnných – rozměrovou
analýzou, analýzou fyzikálního modelu a analýzou
matematického modelu.
Rozměrová analýza
Určení tvaru bezrozměrových kriterií:
 Cílem je převést určitým způsobem původní rozměrovou matici A
na matici řešení B, z níž se přímo určí jednotlivá kritéria podobnosti.

1.
Sestaví se rozměrová matice A
AS je submatice směrodatných veličin, AZ je zbytková submatice
Rozměrová analýza



2. Veličiny v rozměrové matici by měly být uspořádány
podle určitých pravidel
3. Ověří se regulárnost zbytkové submatice
4. Vytvoří se matice transponované(AS )T a (AZ )T,
vypočítá se inverzní matice s vytvoří se matice B1
Rozměrová analýza

5.
Vytvoří se matice řešení B
6.
Z matice řešení B se určí přímo jednotlivá kritéria
podobnosti Πi
Rozměrová analýza

Příklad - Kmitání nosníku v proudícím vzduchu
Rozměrová analýza

Sestaví se rozměrová A matice a zjistí se regulárnost této
matice a sestaví se matice B1
Rozměrová analýza

Sestaví se matice řešení B
Rozměrová analýza
Bezrozměrová kritérii a podobnosti lze určit přímo z matice řešení


Aeroelastický proces kmitání nosníku vlivem proudění vzduchu je popsán v
bezrozměrovém tvaru rovnicí s pěti kritérii podobnosti
Rozměrová analýza




Určení funkčních závislostí:
Další z hlavních použití rozměrové analýzy v experimentální technice je při
určování funkčních závislostí mezi rozměrovými veličinami
Zkoumaný fyzikální proces je obecně vyjádřen rozměrovými fyzikálními
veličinami ve tvaru funkční závislosti rozměrových veličin
Po získání kritérií podobnosti lze tuto rovnici nahradit ekvivalentním
vztahem, tzv. funkční závislostí kritérií podobnosti neboli kriteriální rovnicí

Při určování funkčních závislostí běžným postupem se
používá Rayleighovy algebraické metody rozměrového
vyjádření veličin.

Princip metody spočívá v sestavení funkční závislosti v
klasickém součinovém tvaru, kde mocniny rozměrových
veličin jsou neznámé hledané parametry.
Rozměrová analýza
Příklad - Šíření tlakové vlny (G. I. Taylor, 1947)



Při jaderném výbuchu se uvolní velké množství energie ve velmi
malém prostoru a velmi malém čase. Následkem toho je kulová
rázová tlaková vlna.
Úkolem je určit funkční závislost poloměru této rázové vlny na čase
od uvolnění energie. Po využití experimentálních dat je možné též
určit energii jaderného výbuchu.
Působícími veličinami jsou:





E(J = m2.kg.s-2)
r(m)
t(s)
ρo(kg.m-3)
– uvolněná energie
– poloměr rázové vlny
– čas
– počáteční hustota vzduchu
Rozměrová analýza

Funkční závislost bude ve tvaru
, kde k je konstanta, a, b, c jsou hledané parametry funkčního vztahu.
Po dosazení rozměrových symbolů za rozměry všech rozměrových
veličin se dostává rovnice
Důsledkem principu rozměrové homogennosti rovnic se dostává
soustava rovnic
Rozměrová analýza

Řešením soustavy rovnic
, kde se konstanta k určuje experimentálně. Podle dostupných
experimentálních dat vychází pro vzduch hodnota řádově kolem jedné
(G. I. Taylor).
Zlogaritmováním předešlé rovnice se dostává
Rozměrová analýza

Nyní je na řadě zpracování experimentálních dat – kulová rázová
vlna při výbuchu jaderné bomby. Na čtyřech obrázcích jsou
zobrazeny velikost rázové vlny pro časy 0,006 s; 0,016 s; 0,053 s;
0,100 s.
Rozměrová analýza

Analýzou experimentálních dat lze sestrojit závislost logaritmu
poloměru kulové plochy na logaritmu času od výbuchu.
Rozměrová analýza


Srovnáním zlogaritmované rovnice a nalezené rovnice přímky
lze přibližně napsat
Stačí dosadit správnou hodnotu hustoty vzduchu (nadmořská výška,
vlhkost vzduchu) a je možné spočítat uvolněnou energii při výbuchu,
která souhlasí s oficiálně uváděnou hodnotou.
Rozměrová analýza
Závěr

Představení rozměrové analýzy

Použití rozměrové analýzy

Dobrý nástroj na tvorbu funkčních závislostí určitých
fyzikálních problémů, který je velmi často využíván při
počítačovém modelování
Rozměrová analýza
Děkuji
za Vaši
pozornost