Transcript Přednáška - Rozměrová analýza a teorie fyzikální podobnosti

Teorie proudových strojů
Rozměrová analýza a teorie
fyzikální podobnosti
Roman GÁŠPÁR
Plzeň
Obsah
•
•
•
•
•
Úvod
Podmínky dynamické podobnosti
Buckinghamův π-teorém
Bezrozměrné veličiny proudových strojů
Bezrozměrová kritéria pro stroje pracující se
stlačitelnou tekutinou
Úvod
•
•
•
•
•
V naprosté většině praktických úkolů získáváme charakteristické
závislosti mezi fyzikálními veličinami experimentálně. Rozměrová
analýza je užitečná tým, že snižuje počet nutných experimentů na
minimum.
Neposkytuje informace o konkrétních matematických závislostech
mezi charakteristickými proměnnými, ale umožňuje nalézt jejich
nejvhodnější vzájemné seskupení
Poskytuje informace o provozních a technických vlastnostech
Umožňuje porovnání dvou či více proudových strojů
Cílem teorie fyzikální podobnosti je vyšetřovat podmínky, jejichž
splnění podmiňuje fyzikální podobnost mezi dílem a modelem.
Podmínky fyzikální podobnosti v MT
1) Geometrická podobnost
a. Charakterizován konstantním poměrem délek při rovnosti úhlů
b. Často obtížně splnitelný (drsnost, vůle…)
2) Kinematická podobnost
a. Popisuje podobnost pohybu tj. vektorů rychlosti a zrychlení.
b. Podobnost pohybu tekutin je podobný, jsou-li podobná vektorová
pole, charakterizována proudnicemi.
c. Nejčastějším kritériem podobnosti je Strouhalovo číslo 𝑺𝒉 =
𝒄.𝒕
𝒍
i. U periodických jevů volíme místo času t dobu stejné periody (ot./min) 𝒕 =
ii. Kritériem periodicky proměnlivých rychlostí je pak 𝑺𝒉 =
𝒄
𝒏.𝒍
𝟏
𝒏
Podmínky fyzikální podobnosti v MT
1) Dynamická podobnost
a. Charakterizuje podobnost silových působení a účinků
b. Poměr působících sil u fyzikálně podobných strojů je stejný. Jedná se o síly:
i. Tlakové síly v tekutině (setrvačné síly, statické tlaky)
ii. Třecí síly v tekutině
iii.Vnější síly
iv.Povrchové napětí
v. Síly dané pružností prostředí (Stlačitelností)
• Výše zmíněné podobnosti se popisují podobnostními čísly, které získáváme rozměrovou analýzou.
• Počet podobnostních čísel závisí od:
• Popisovaného děje
• Množství nezávislých parametrů…
• Nejpoužívanějším nástrojem rozměrové analýzy je Buckinghamův π-teorém
Bezrozměrové veličiny proud. strojů
•
Proudový stroj je charakterizován:
a) Geometrickými rozměry a tvarem průtokové části (průměr rotoru D[m])
b) Termodynamickými parametry (výkon, účinnost…)
c) Regulovanými veličinami (otáčky, hmotnostní průtok, objemový
průtok…)
• Funkční závislost popisující práci proudového stroje:
𝐹1 = 𝐻𝑠 , 𝑃, 𝑚, 𝑛, 𝐷, 𝜇, 𝜌01 , 𝑎01 , 𝜅, 𝑙1 = 0
(1)
𝑃
𝑃
𝑚
𝜌01 . 𝑛. 𝐷2 𝑛. 𝐷
𝑙𝑖
𝐹2
;
;
;
;
; 𝜅;
= 0 (2)
3
5
3
𝑚. 𝐻𝑠 𝜌01 . 𝑛 . 𝐷 𝜌01 . 𝑛. 𝐷
𝜇
𝑎01
𝐷
Bezrozměrové veličiny proud. strojů
𝑃
𝑃
𝑚
𝜌01 . 𝑛. 𝐷2 𝑛. 𝐷
𝑙𝑖
𝐹2
;
;
;
;
; 𝜅;
= 0 (2)
3
5
3
𝑚. 𝐻𝑠 𝜌01 . 𝑛 . 𝐷 𝜌01 . 𝑛. 𝐷
𝜇
𝑎01
𝐷
𝑙𝑖
𝐹2 𝜂; 𝜋; 𝑆ℎ = Φ; 𝑅𝑒; 𝑀𝑎; 𝜅;
=0
𝐷
Kinematická podobnost
Strouhalovo číslo – Průtokový součinitel (Flow coefficient)
𝑐
𝑚
𝑆ℎ =
≡
≡Φ≡φ
3
𝑛. 𝐷 𝜌01 . 𝑛. 𝐷
𝑚
𝜌01 . 𝑉
𝑐. 𝐷2 𝑐𝑥
Φ=
=
~
~
3
3
3
𝜌01 . 𝑛. 𝐷
𝜌01 . 𝑛. 𝐷
𝑛. 𝐷
𝑈
(3)
Bezrozměrové veličiny proud. strojů
Dynamická podobnost
Reynoldsovo číslo– Průtokový součinitel (Flow coefficient)
𝑐. 𝐷 𝜌01 . 𝑛. 𝐷2
𝑅𝑒 =
≡
𝜈
𝜇
Machovo číslo:
𝑐
𝑛. 𝐷
𝑀𝑎 =
=
𝑎01 𝑎01
Pozor: V průtočné části proudových strojů se hodnoty ς01 a a01 mění. Volí se
hodnoty ve vstupní vztažné rovině.
Bezrozměrové veličiny proud. strojů
Poměr měrných tepel
𝑐𝑝
𝜅=
𝑐𝑣
Termodynamická účinnost:
Turbíny
𝑃
𝜂𝑡 =
𝑚. ℎ𝑖𝑧
Kompresory
Výkonový součinitel
𝑚. ℎ𝑖𝑧
𝜂𝑘 =
𝑃
𝑃
Π=
𝜌01 . 𝑛3 . 𝐷5
Bezrozměrové veličiny proud. strojů
Kombinace parametrů
ℎ𝑖𝑧
Π
≡
2
2
𝑛 .𝐷
𝜂𝑡 . Φ
ℎ𝑖𝑧
𝑝02
~
2
2
𝑛 .𝐷
𝑝01
Rovnice (3) v explicitním tvaru
𝜂 = 𝑓1 𝑆ℎ, 𝑅𝑒, 𝑀𝑎, 𝜅
𝛱 = 𝑓1 [𝑆ℎ, 𝑅𝑒, 𝑀𝑎, 𝜅]
ℎ𝑖𝑧
= 𝑓1 [𝑆ℎ, 𝑅𝑒, 𝑀𝑎, 𝜅]
2
2
𝑛 .𝐷
(4)
(5)
(6)
Bezrozměrové veličiny proud. strojů
Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou
• Bezrozměrové kritéria, které se používají pro porovnávání strojů, se liší
od charakteru proudového stroje (turbína/kompresor)
• Předpokládejme adiabatický proudový stroj, izentropicky protékaným
plynem.
Turbína
ℎ01 − ℎ02𝑖𝑧 =
= 𝑐𝑝 𝑇01 − 𝑇02𝑖𝑧
Kompresor
ℎ02𝑖𝑧 − ℎ01 =
= 𝑐𝑝 𝑇02𝑖𝑧 − 𝑇01
Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou
Opakování:
𝑝. 𝜌−𝜅
𝜅. 𝑟
2
= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. ; 𝑐𝑝 =
; 𝑎01
= 𝜅. 𝑟. 𝑇01
𝜅−1
𝑇02𝑖𝑧
𝑝02
=
𝑇01
𝑝01
𝜅−1
𝜅
Kompresor:
ℎ𝑖𝑧 = ℎ02𝑖𝑧 − ℎ01 = 𝑐𝑝 𝑇02𝑖𝑧 − 𝑇01 = 𝑐𝑝 . 𝑇01 .
= 𝑐𝑝 . 𝑇01 .
𝑝02
𝑝01
𝜅−1
𝜅
𝜅. 𝑟
−1 =
. 𝑇01 .
𝜅−1
𝑝02
𝑝01
𝑇02𝑖𝑧
− 1 = 𝑐𝑝 . 𝑇01 .
𝑇01
𝜅−1
𝜅
2
𝑎01
−1 =
𝜅−1
Pak:
ℎ𝑖𝑧
𝑝02
ℎ𝑖𝑧
~ 2 2
2 ~𝑓 𝑝
𝑛 𝐷
𝑎01
01
𝑝02
𝑝01
𝑝02
𝑝01
𝜅−1
𝜅
−1 =
𝜅−1
𝜅
−1
Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou
• Pro průtokový součinitel můžeme napsat za pomoci stavové rovnice:
𝑚. 𝑟. 𝑇01
𝑚
𝑚
𝑚. 𝑟. 𝑇01
Φ=
=
=
=
3
2
𝜌01 . 𝑛. 𝐷
𝜌01 . 𝑎01 . 𝐷
𝑝01 . 𝜅. 𝑟. 𝑇01 . 𝐷2 𝑝01 . 𝜅. 𝐷2
𝑎 = 𝜅. 𝑟. 𝑇; 𝑝 = 𝜌. 𝑟. 𝑇; 𝜌 =
𝑝
𝑟.𝑇
• Výkonový součinitel uváženým první věty termodynamické pro
adiabatickou změnu:
𝑚. 𝑐𝑝 . Δ𝑇
𝑐𝑝 . Δ𝑇 Δ𝑇0
𝑃
𝑚. 𝑎𝑡
Π=
=
=
= 2 2~
3
5
3
5
3
5
𝜌01 . 𝑛 . 𝐷
𝜌01 . 𝑛 . 𝐷
𝜌01 . 𝑛 . 𝐷
𝑛 .𝐷
𝑇0
Δ𝑞 = Δℎ + 𝑎𝑡 → Δℎ = −𝑎𝑡 = 𝑐𝑝 . Δ𝑇
𝜌01 . 𝐷3 . 𝑛 = 𝑚
Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou
Rovnice (4)(5)(6):
𝑚. 𝑟. 𝑇01
Δ𝑇0 𝑝02
𝜂𝐾 ;
;
= 𝑓𝑖
;
𝑇01 𝑝01
𝑝01 . 𝐷 2
𝑛. 𝐷
𝑟. 𝑇01
; 𝑅𝑒 ; 𝜅
(7)
ℎ𝑖𝑧
𝜂𝐾 ; Π ; 2 2 = 𝑓𝑖 Φ ; 𝑀𝑎 ; 𝑅𝑒
𝑛 .𝐷
Veličina κ se ze skupiny bezrozměrných parametrů vypouští, protože je
nezávisle proměnnou veličinou.
Při porovnávání strojů dané velikosti, pracujícími stále se stejným plynem
vypouštíme parametry r, κ a D. a rovnice (7) se zjednoduší:
𝜂𝐾 ;
𝑚. 𝑇01
Δ𝑇0 𝑝02
;
= 𝑓𝑖
;
𝑇01 𝑝01
𝑝01
𝑛
𝑇01
Δ𝑇0 𝑝02
𝜂𝐾 ;
;
= 𝑓𝑖 ~Φ ; ~𝑀𝑎
𝑇01 𝑝01
(8)
Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou
𝑚. 𝑇01
Δ𝑇0 𝑝02
𝜂𝐾 ;
;
= 𝑓𝑖
;
𝑇01 𝑝01
𝑝01
𝑛
𝑇01
(8)
Nezávislé proměnní v rovnici (8) již nejsou bezrozměrovými veličinami a
jejich hodnota závisí na používané jednotkové soustavě.
Učinnost vyhodnotíme, známe li:
Pro kompresor:
Pro turbínu:
Δ𝑇0 𝑝02
;
𝑇01 𝑝01
𝑝02
𝑝01
𝑝01
𝑝02
𝑝01
𝑛𝑒𝑏𝑜
𝑝02
= 1 − 𝜂𝐾 .
= 1−
𝜅−1
Δ𝑇0 𝜅
𝑇01
Δ𝑇0
𝜂𝑇 .𝑇01
𝜅−1
𝜅
Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou
Součinitel zatížení:
𝑎𝑡
𝑎𝑡
𝑐𝑥
𝜓=
~ 2=𝜓=𝑓
= 𝑓(Φ)
2
2
𝜋. 𝑛 . 𝐷
𝑈
𝜋. 𝐷. 𝑛
Závislost 𝝍 = 𝒇 𝜱 , nerespektuje vliv Re a Ma!!
Rychlostní poměr
𝑈
𝜎=
𝑐𝑓
U- obvodová rychlost oběžných lopatek
cf – vztažná rychlost (nejčastěji izentropická rychlost expandujícího plynu
Veličiny Ψ a φ se využívají u plynových turbín a kompresorů. σ se používá v
oboru parních turbín.
Děkuji za pozornost!