Transcript Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1

Slovní úlohy
(řešené pomocí rovnic)
Obr. 1
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem
pedagogickým v Praze.
Jak při řešení rovnic postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic,
jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám
úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Obr. 2
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Ukázka zadání takové úlohy:
Obr. 3
Petr dostal k narozeninám velkou
čokoládu. První den snědl jednu
čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku
a na třetí den mu zůstalo 75 g
čokolády. Kolik gramů vážila celá
čokoláda?
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem.
Krok č. 1: Petr dostal k narozeninám
velkou čokoládu.
Krok č. 2: První den snědl jednu
čtvrtinu.
Krok č. 3: Druhý den polovinu zbytku.
Krok č. 4: A na třetí den mu zůstalo
75 gramů čokolády.
Na třetí den zůstalo 75 gramů čokolády, což dle obrázku odpovídá 3/8 čokolády.
3/8 čokolády …….. 75 gramů
1/8 čokolády …….. 75 : 3 = 25 gramů
8/8 čokolády (celá čokoláda) …….. 25 . 8 = 200 gramů
Celá čokoláda tedy vážila 200 gramů.
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem.
Krok č. 1: Petr dostal k narozeninám
velkou čokoládu.
Krok č. 2: První den snědl jednu
čtvrtinu.
Tak to byl postup
po „logické linii“.
Krok č. 3: Druhý den polovinu zbytku.
Nyní se pokusíme
Krok č. 4: A na třetí den mu zůstalo
tutéž úlohu vyřešit
75 gramů čokolády.
pomocí rovnice.
Na třetí den zůstalo 75 gramů čokolády, což dle obrázku odpovídá 3/8 čokolády.
3/8 čokolády …….. 75 gramů
1/8 čokolády …….. 75 : 3 = 25 gramů
8/8 čokolády (celá čokoláda) …….. 25 . 8 = 200 gramů
Celá čokoláda tedy vážila 200 gramů.
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.
Hmotnost celé čokolády …….. x
Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy.
1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda
Myšleno: část
čokolády snědená
1. den, část čokolády
snědená 2. den…
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.
Hmotnost celé čokolády …….. x
Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy.
1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda
Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní
údaje z textu vystupující v logické rovnosti.
1. den …….. ¼ . x
Protože 1. den Petr
snědl jednu čtvrtinu
čokolády a čokoládu
jsme si
Proč
označili
takto?
jako x.
To znamená, že snědl
jednu čtvrtinu z „x“
(čokolády).
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.
Hmotnost celé čokolády …….. x
Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy.
1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda
Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní
údaje z textu vystupující v logické rovnosti.
1. den …….. ¼ . x
Protože 2. den Petr snědl
jednu polovinu
ze zbytku čokolády.
Tedy po snědení jedné
čtvrtiny
A proč
ze teď
zbývajících
takto? tří
čtvrtin. To znamená,
že snědl jednu polovinu
ze tří čtvrtin „x“
(čokolády).
2. den …….. ½ . ¾ . x
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.
Hmotnost celé čokolády …….. x
Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy.
1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda
Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní
údaje z textu vystupující v logické rovnosti.
1. den …….. ¼ . x
2. den …….. ½ . ¾ . x
3. den …….. 75 g
Třetí den již Petr
snědl přesně
a jasně daných
75 gramů…
a bylo
po čokoládě.
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.
Hmotnost celé čokolády …….. x
Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy.
1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda
Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní
údaje z textu vystupující v logické rovnosti.
1. den …….. ¼ . x
2. den …….. ½ . ¾ . x
3. den …….. 75 g
Na základě výše uvedené logické rovnosti a vyjádřených údajů sestavíme
rovnici.
¼ . x + ½ . ¾ . x + 75 = x
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
¼ . x + ½ . ¾ . x + 75 = x
Vyřešíme sestavenou rovnici.
1/4 . x + 3/8 . x + 75 = x
/.8
2 . x + 3 . x + 600 = 8 . x
5 . x + 600 = 8 . x
5 . x + 600 – 8 . x = 0
−3 . x = −600
/ – (8 . x)
/ – 600
/ : (−3)
x = −600 : (−3)
x = 200 g
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl
jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu
zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?
x = 200 g
Provedeme zkoušku, kterou ověříme, že získaný výsledek vyhovuje
podmínkám úlohy.
1. den snědl jednu čtvrtinu … 200 : 4 = 50 g
Na další dny zbylo … 200 – 50 = 150 g
2. den snědl polovinu ze zbytku … 150 : 2 = 75 g
Na třetí den zbylo … 150 – 75 = 75 g … což odpovídá třetí podmínce zadání!
Napíšeme odpověď na zadanou otázku.
Celá čokoláda vážila 200 gramů.
Příklad:
Turisté ušli za tři dny 45 km. Druhý den ušli dvakrát více než první den.
Třetí den ušli o 5 km méně než druhý den. Kolik ušli turisté první, druhý
a třetí den?
Příklad:
Turisté ušli za tři dny 45 km. Druhý den ušli dvakrát více než první den.
Třetí den ušli o 5 km méně než druhý den. Kolik ušli turisté první, druhý
a třetí den?
1. den (turisté ušli) … x
2. den (turisté ušli) … dvakrát více než 1. den … 2 . x
3. den (turisté ušli) … o pět km méně než druhý den … 2 . x − 5
Všechny tři dny dohromady … 45 km
Logická rovnost plynoucí z textu úlohy:
1. den + 2. den + 3. den = 45 km
Zkouška (sečteme
trasy ušlé
v jednotlivých
dnech): 10 + 20 +
+ 15 = 45 km
x + 2 . x + 2 . x – 5 = 45
5 . x – 5 = 45
5 . x = 45 + 5
5 . x = 50
x = 50 : 5
x = 10 km … 1. den
2. den … 2 . 10 = 20 km
3. den … 20 – 5 = 15 km
První den ušli turisté 10 km, druhý den 20 km a třetí den 15 km.
Příklad:
Na skládku teplárny přivezli koks. Hned první den spotřebovali polovinu
z dovezeného množství, druhý den tři čtvrtiny ze zbytku a na třetí den
zbylo 120 t. Kolik koksu na skládku přivezli?
Příklad:
Na skládku teplárny přivezli koks. Hned první den spotřebovali polovinu
z dovezeného množství, druhý den tři čtvrtiny ze zbytku a na třetí den
zbylo 120 t. Kolik koksu na skládku přivezli?
Celkem (koksu na skládce) … x
1. den (spotřebovali koksu) … polovinu celkového množství … ½ . x
2. den (spotřebovali) … tři čtvrtiny ze zbytku … ¾ . ½ . x
3. den (zbylo) … 120 t
Logická rovnost plynoucí z textu úlohy:
1. den + 2. den + 3. den = celková spotřeba
½ . x + ¾ . ½ . x + 120 = x
½ . x + 3/8 . x + 120 = x
4 . x + 3 . x + 960 = 8 . x
Zkouška (vypočítáme
a sečteme spotřebu
v jednotlivých dnech
dle podmínek zadání):
480 + 360 + 120 = 960 t
−x = −960
x = 960 t
1. den … 960 : 2 = 480 t
2. den … ¾ . 480 = 360 t
3. den … 120 t
Na skládku přivezli 960 tun koksu.
Příklad:
Zahrádkář chtěl porýt zahradu o výměře 300 m2. První den poryl
o polovinu méně než druhý den, třetí den o polovinu více než druhý
den. Kolik m2 poryl zahrádkář každý den?
Příklad:
Zahrádkář chtěl porýt zahradu o výměře 300 m2. První den poryl
o polovinu méně než druhý den, třetí den o polovinu více než druhý
den. Kolik m2 poryl zahrádkář každý den?
2. den (poryl) … x
1. den (poryl) … o polovinu méně než druhý den … ½ . x
3. den (poryl) … o polovinu více než 2. den … x + ½ . x = 3/2 . x
Všechny tři dny dohromady … 300 m2
Logická rovnost plynoucí z textu úlohy:
1. den + 2. den + 3. den = 300 m2
Zkouška
(sečteme poryté
m2 za jednotlivé
dny): 100 + 50 +
150 = 300 m2
x + ½ . x + 3/2 . x = 300
3 . x = 300
x = 300 : 3
x = 100 m2 … 2. den
1. den … ½ . 100 = 50 m2
3. den … 3/2 . 100 = 150 m2
První den poryl zahrádkář 100 m2, druhý den 50 m2
a třetí den 150 m2.
Použité obrázky:
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06].
Dostupné pod licencí Creative Commons
na WWW:
Obrázek na pozadí: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>
Obr. 1: <http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html>
Obr. 2: <http://www.clker.com/clipart-25039.html>
Obr. 3: <http://www.clker.com/clipart-4117.html>
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem
pedagogickým v Praze.