Transcript Gyűrű3

Csoport
részcsoport
Gyűrű
részgyűrű
invariáns
részcsoport
faktorcsoport
ideál
faktorgyűrű
1
Ideál, faktorgyűrű
Definíció.
R gyűrűben S  R részgyűrű, ha az R-beli
műveletek S-re történő leszűkítésére nézve S maga
is gyűrűt alkot.
Megjegyzések:
1. Mivel S  R teljesül, műveleti zártság esetén az
asszociativitás és disztributivitás is teljesülni fog.
2. A 7. tétel szerint csoport valamely A részcsoport

AA–1  A.
3. Tehát R-ben S komplexus részgyűrű 
S–S  S,
SS  S.
2
Definíció.
Legyen R gyűrű, I  R, I. I az R balideálja, ha
1. I–I  I, és
2. RI  I.
Jobbideál hasonlóan.
Ideál, ha jobb és bal oldali ideál egyszerre.
Triviális ideál: {0}, R.
Valódi ideál: R-től különböző ideál.
3
Példák:
1. Z-ben az n-nel osztható számok (nN) ideált
alkotnak.
I=nZ={nz  zZ}
1. I–I  I,
2. RI  I,
IR  I.
4
2. nN, n2, F gyűrű (F2) elemeiből álló Fn nn-es
mátrixok halmaza a mátrix összeadásra és mátrix
szorzásra vonatkozóan. Az



Ib  ai, k ai, k  0, ha k  n
n
halmaz balideált alkot, de nem alkot jobbideált.
Legyen F=R, n=2.
 0 a12 


 0 a22 
1. I–I  I,
2. RI  I,
 m11 m12  0 a12   0 m11a12  m12 a22 


  

 m21 m22  0 a22   0 m21a12  m22 a22 
IR  I.
 0 a12  m11 m12   a12 m21 a12 m22 


  

 0 a22  m21 m22   a22 m21 a22 m22 
5
47. Tétel.
Ha R kommutatív gyűrű, akkor az
I = (a) = {xa  x R} halmaz R-nek ideálja.
Bizonyítás.
1. xaI, yaI 
xa–ya = (x–y)aI 
 I–I  I
2.
rR, xaI 
r(xa) = (rx)a  I
 RI  I
Kommutativitás 
IR = RI 
IR  I
6
Észrevételek.
Kommutatív egységelemes gyűrűben
1. a  (a).
2. Ha I tetszőleges ideál R-ben, és aI, akkor (a)  I.
Következmény:
Kommutatív egységelemes gyűrűben az (a) ideál
az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál.
Definíció.
Legyen R gyűrű. Az (a) ideálokat, amelyek egy
rögzített a  R elem összes többszöröseiből állnak,
főideáloknak nevezzük.
7
48. Tétel.
Kommutatív egységelemes R gyűrűnek |R| 2
esetén, akkor és csak akkor vannak csupán
triviális ideáljai, ha test.
1. Tfh R nem test 
 a0 elem, amelyik nem invertálható 
a többszörösei között nem fordul elő e 
(a) az R-nek nem triviális ideálja.
8
2. Tfh R test, I ideálja, és I{0} 
 aI : a  0.
R test 
a-nak létezik a–1 inverze
továbbá
az ideál 2. tulajdonsága 
e = a–1a  I .

 b R : be  I 
tehát I = R, triviális ideál.
9
Ideál
Invariáns részcsoport
I ideál R-ben
(I, +) invariáns részcsoport (R, +)-ban
 Képezhetők az I szerinti mellékosztályok,
R diszjunkt felbontását adják,
a komplexusösszeadásra csoportot alkotnak
10
Definíció.
Legyen R gyűrű, I kétoldali ideál R-ben. R-nek I
szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje)
R/I = {r + I  r  R} a következő műveletekkel:
1.
r  I   s  I   r  s   I
2.
r  I  s  I   r  s  I
Megjegyzés.
A 2. definícióban nem a normál értelemben vett
komplexus szorzásról van szó.
pl. Z-ben a (8) ideál, (4+(8)) mellékosztály
Definíció szerint: (4+(8))(4+(8)) = 4 4+(8)=(8)
16-tal osztható elemek
8-cal osztható elemek
DE: két mellékosztály szorzata része a jobboldalnak
 A szorzás nem függ a reprezentánstól.
11
49. Tétel.
A faktorgyűrű szorzásának definíciója nem függ a reprezentánstól.
Bizonyítás.
Legyen r1  r+I és
r1=r+i1 és
s1  s+I,
vagyis
s1 = s+i2 valamilyen i1, i2 I esetén.

r1+I = r+I
s1+I = s+I,
szorzás definíciója 
r  I    s  I   r  s  I ,
r1  I   s1  I   r1  s1  I .
r1  s1  r  i1  s  i2   r  s  r  i2  i1  s  i1  i2
r1  s1  r  s  I .
r1s1 és rs ugyanazt a maradékosztályt reprezentálja
rs+I= r1s1+I
12
Megjegyzés.
1. R/I gyűrűt alkot
műveletekre nézve.
a
definícióban
szereplő
2. I a nullelem.
3. Ha R egységelemes, akkor I+e az R/I-ben az
egységelem.
Példa
Z-ben nN többszörösei: nZ.
nZ ideál Z-ben, képezhető Z /nZ .
Ez a modulo n maradékosztályok
halmaza a maradékosztály összeadásra és
szorzásra nézve. Zn
13
Ha R egységelemes, kommutatív gyűrű, akkor
milyen esetben lesz a faktorgyűrűje
I. integritási tartomány, illetve
II. test.
Definíció.
Legyen R egységelemes, kommutatív gyűrű.
Egy R-beli I ideált prímideálnak nevezünk, ha
abI-ből aI vagy bI következik.
Maximálisnak akkor mondjuk egy R gyűrű I valódi
ideálját, ha abból, hogy I' ideál és I  I‘  R,
I'=I vagy I‘=R következik,
azaz ha R-en kívül nincsen az I-t valódi módon
tartalmazó ideál.
14
Példa.
1.
2Z prímideál Z-ben :
ab  2Z , ab páros  a vagy b páros 
a  2Z vagy b  2Z .
2.
2Z maximális ideál is Z-ben :
Tfh.
2Z  I  Z .
Ha  a  I páratlan  1 I  I = Z ,
Különben I = 2Z .
3.
49Z nem maximális és nem is prímideál Z-ben:
49Z  7Z  Z ,
7·7 = 49  49Z , de 7  49Z .
15
50. Tétel.
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és I az
R-nek ideálja.
I. R/I akkor és csak akkor integritási tartomány, ha
IR és I prímideál.
II. R/I akkor és csak akkor test, ha I maximális
ideál.
Bizonyítás.
I.
R/I int. tart.

nincs nullosztó, legalább kételemű.

(I+a)(I+b) = I  I+a = I vagy I+b = I

abI  aI vagy bI  I prímideál.
16
II/1.
Tfh hogy I maximális ideál R-ben, (0 ) I+a  R/I .

S = {i+axiI, xR} ideál:
S–S  S : i1 + ax1 – i2 – ax2 = (i1 – i2 ) + a( x1 – x2) S.
I
R
RS  S : ri +rax =ri +arx  S .
I
R
Valamint I  S , mert a  I.
I maximális  S = R 
alkalmas iI, xR-rel e = i+ax 
I  e  I  i  a  x  I  a  x   I  a   I  x.
Az R/I kommutatív egységelemes gyűrűben
bármely nemnulla a+I elemnek létezik inverze.
17
 R/I test.
II/2.
Tfh R/I test, és legyen M egy olyan ideál, amely
valódi módon tartalmazza I-t,
létezik egy olyan a elem, amelyre aM és aI.
R/I test 
 I  a    I  x    I  b
egyenlet bármely bR-re megoldható
(I+a  I, mert aI), 
I  a  x  I  b.
I  M és a M 
I  a  x  M.

bM
b az R tetszőleges eleme,
M = R.
R/I test  I maximális ideál.
18
Következmény.
Kommutatív, egységelemes gyűrűben minden maximális ideál prímideál.
Bizonyítás.
Az előző tételből és abból következik, hogy
test egyben integritási tartomány is.
Definíció.
Tegyük fel, hogy (R, +, ) gyűrű, és (R1, , ) két
binér műveletes algebrai struktúra. A :RR1
leképezés homomorfizmus, ha
(r+s) = (r)  (s)
és
(rs) = (r)  (s)
minden r, s  R esetén fennáll.
19
51. Tétel.
Gyűrű epimorf képe gyűrű.
Bizonyítás.
A csoportelméletből tudjuk, hogy
csoport epimorf képe csoport,
a művelet belső volta, valamint az
asszociativitás homomorf invariánsok.
A disztributivitás is homomorf invariáns:
Legyen r, s, tR.
(r(s+t))= (r) ((s)  (t))
(*)
és
(rs+rt)=((r)  (s)) ((r)  (t)). (**)
R-ben a disztributivitás fennáll 
(*) és (**) bal oldala azonos,
 a jobb oldal is megegyezik.
A másik oldali disztributivitás hasonlóan
teljesül.
 R1 is gyűrű.
20
Definíció.
Legyen R gyűrű, I ideál. A : R  R/I leképezést
természetes homomorfizmusnak nevezzük, ha
(r) = r + I , minden rR esetén.
A természetes homomorfizmus nyilván
homomorfizmus:
r  s  r  s  I  r  I  s  I  r    s
r  s  r  s  I  r  I    s  I   r    s
Ha egy gyűrű homomorf képeit akarjuk
felderíteni, elegendő, ha faktorgyűrűit
vizsgáljuk.
21
 homomorfizmus
R
R1
I
0
(R)
22
 homomorfizmus
R
R1
I
0
(R)
23
52. Tétel (Homomorfizmus-tétel).
Legyenek R és R1 gyűrűk, : RR1 epimorfizmus.
Ekkor  I ideál R-ben (a leképezés magja) melyre
R1  R/I :
I  Ker  r | r  R, r   0R1,
ahol 0R1 az R1 nullelemét jelöli.
24
Bizonyítás.
Csoportelméletből tudjuk, hogy a leképezés
magja invariáns részcsoport (R, +)-ban, és
egy-egy R1-beli elem ősképe éppen a mag
szerinti valamelyik mellékosztály.
Ahhoz, hogy I ideál, be kell még látnunk azt,
hogy RI  I.
Legyen rR és iI.
(ri)= (r)(i)= (r)0R1=0R1.
IR  I hasonlóan  I ideál.
A szorzás művelettartása az
: R1R/I, ((r))= r+I
leképezésre hasonlóan látható, amint az
összeadásra a csoportelméletnél beláttuk.
  izomorfizmust létesít R1 és R/I között.
25

R
r

R1
(r)

R/I
r+I
26