Transcript n  1 F

Fermi-Diracstatistiken
vid olika temperaturer
n
F
1
F = Fermienergin
Låg T
Hög T
T=0
Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer

Partikel i boxen
Tillåtna våglängder:
2L
n 
n
Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):
h hn
pn 

 n 2L
För alla 3 rymdkoordinater gäller:
hn x
px 
2L
py 
hn y
2L
hn x
pz 
2L
px 2  p y 2  pz 2
p2
h2
2
2
2



n

n

n
 x y z
2m
2m
8mL2
När man har Fermi-Dirac
statistik, gäller för Fermienergin:
nz
h 2 n max 2
F 
8mL2
max nx2+ny2+nz2
Maxenergin formar en åttondel av
en kulyta med r = n2. Volumen är:
4n max 3 n max 3
N(n) 

38
6
nx
ny
När vi fyller de tillstånd med partikler med halvtalig spin, t. ex.
elektroner, får vi plats för 2 elektroner per tillstånd med olik spin:
n max
N  2N(n) 
3
3
 n max
2
 3N 





23
Insättning i formeln för Fermienergin utgör:
h n max
h  3N 
F 

2
8mL
8mL2   
2
2
2
23
h  3N 

8m  V 
2
23
med V  L3
Energin av hela ensemblen är:
U2
 (n)  2 (n)dn dn dn
x
nx
2 partikler per
tillstånd
U2


U2
2
ny
y
nz
Övergång till polarkoordinater
2
2
n max
 
(n)n 2 sin  dn d d  2 d sin d
0
n max

z
n max
(n)n 2 dn  
0

0
n max 5 h 2
U
40mL2
n 4h 2
dn
2
8mL
n max 3
N
3
n max 5 h 2
N F 
3  8mL2
0

(n)n 2dn
0
n 2h 2
med (n) 
8mL2
h 2 n max 2
F 
8mL 2
3
 U  N F
5
Genomsnittliga energin av en partikel är 60 % av Fermi-energin.
Antal av tillstånd per energi
n max
U
h 2n 2

8mL2
 (n)n dn
2
0
dn
8mL2 1

d
h2 2 
8mL2
n
h2

8mL2 1
 dn 
d
2
h 2 
3/ 2
2


8mL
8mL 1
  8mL 
U  2 
d     2 
  d
2
h
h 2 
 2  h 

0
0
F

2
F

U   g()d
0
2
F

   8mL2 3 / 2 
med g()    2 

 2  h 

g() är ett mått hur många tillstånd finns per energi
Graf av g() vid T=0
g()
F
 < F alla tillstånd fullt ockuperad
 > F ingen tillstånd ockuperad

FD vid laga temperaturer
Vid T=0 räcker det att summera alla tillstånd från 0 till Fermikanten för att få antalet av partikler:
F

N  2 g() d
g(e) = Antal av tillstånd
per energi
0
Vid laga T måste troligheten att tillståndet är ockuperad beaktas:




N  2 g()n(FD)d  g()
0


0
1
1 e


U  2  g()n(FD)d   g()
0
(  ) / kT
0
d
1
1 e
(  ) / kT
d
Graf av g() vid T>0
g()
T=0
T>0
F

Photon i boxen
Tillåtna våglängder:
2L
n 
n
Tillåtna energier
hc hnc



2L
BE statistik för fotoner
n(BE) 
1
e(  ) / kT  1
Om man betraktar en absorptions (eller emissions) process av en foton
genom en elektron
e- + hn  eså gäller i jämnvikt:
(e-) + (hn) = (e-)
 (hn) = 0
n(BE fotoner ) 
1
e
 / kT
1

1
e nhn / kT  1
Planckfördelning
I 3 dimensioner:
hnc


2L
hc n x 2  n y 2  n z 2
2L
2 oberoende polarisationer per energi

U2
nx

/ 2
/ 2
ny
nz

hcn
1
n(BE) 
hcn / 2LkT
L
e
1
n x ,n y ,n z

3
hcn
1

hcn
1
2
U  dn d d n sin 

hcn / 2LkT
hcn / 2LkT
L
e

1
2
L
e
1
0
0
0
0
  

d hc

dn 2L
hcn

2L

U

0

2L
dn 
d
hc

 hcn
1
1
3
dn  n hcn / 2LkT
d
hcn / 2LkT
2 L e
1
e
1
0
3


8L h c n
1
8L3 3

d 
d
3 3
3
 / kT
3 3
 / kT
h c 8L e  1
h c e 1
0
0

3
3

U

3
3

8V  kT 
4
  / kT 
e / kT  1
h 3 c3
0
8  kT  x
8  kT 
U

dx 
3 3
x
3 3
V 0 hc
e 1
15h c


4
Med x=/kT
3
3
5
d( / kT)

4
med

0
L3=V
x3
4
dx 
x
e 1
15
Fotonpassering genom ett hål
Rsind
Rd

Rsin
R
cdt
R=ct
Röda volymen:
Rd R sin d  cdt  cR sin  d d dt
2
Alla fotoner kommer inte att
passera hålet , bara de som har
rätta vinkeln.
Rd

R
Acos
cdt
R=ct
A
Energiförlust:
Fotonenergi i volym (U/V)
 trolighet av passering (Pp)
i tidsintervall dt.
U
U(volym)  (volym)
V
U 2
 cR sin  d d dt
V
A cos 
Pp 
4R 2
Energin som passerar med fotoner genom hålet:
U
(volym)  Pp
V
U 2
A cos 
E(pass)  cR sin  d d dt
V
4R 2
E(pass) 
För totala energiförlusten gäller:
2
/2
 
U Ac
E(tot) 
d
V 4 0
0
U Ac
d cos  sin dt 
V 2
/2
 d sin  cos dt
0
8  kT  Ac
2  kT 
Uc
E(tot) 
dt 
dt 
Adt
3 3
3 2
V4
15h c
4
15h c
5
4
5
4
P E(tot) 2  kT 
4




T
A
Adt
15h 3 c 2
5
4
Lag av Stefan-Boltzmann,  är Stefan-Boltzmann-konstanten
5.67 x 10-8 Wm-2K-4
Svarta strålare
Betrakta en strålare med samma T och samma yta som hålet:
T(box)=T(strålare)
Om strålningen av boxen
eller strålaren är intensivare,
skulle en av dem uppvärmas men
den andra svalnas omöjligt.
T(box)=T(strålare)
Om strålningen en av dem är
intensivare vid en viss våglängd,
skulle man åstådkomma samma
situationen med hjälp av en filter.
Strålningen av en svart strålare har samma spektrum och samma
intesitet som den från ett hål.
Jorden som svart strålare
Intensiteten av solstrålningen är 1370 W/m2, så kallade solarkonstanten.
Jordtvärsnittet är R2. Intensiteten av instrålning av solen är:
P(in)  solarkons tan t  R 2
Om man betrakta jorden som svarta strålare, så gäller
P(ut)  AT 4  4R 2 T 4
I jämnvikt är P(in)=P(ut):
solarkons tan t  R 2  4R 2 T 4
1/ 4
 solarkons tan t 
T

4



 279K
Men: Jorden är ingen svart strålare, men reflektera 30 %.
Denna förlust kompenseras med växthuseffekten.
Månen som svart strålare
Månen saknar atmosfär, därför finns ingen konvektiv värmetransport.
Om man antar lodrätt infall av solstrålen (på månekvatorn) och vet att
månen reflekterar 7 % av infallande ljuset, är infallsintensiteten på 1m2:
P(in)  solarkons tan t 1 0.93
Månen är ingen perfekt svart strålare, den emitterar bara 96 %
av ljuset som den skulle som svart strålare, så för 1 m2 är:
P(ut)  0.96  T 4
I jämnvikt gäller:
P(ut)  P(in)  0.96  T 4  0.93  (solkons tan ten)
 0.93  (solkons tan ten) 
T

.
4
0.96




1/ 4
 391 K
som överensstämmer ganska bra med den uppmätta temperaturen 400K.
Debyemodellen av fast kropp
n=1
n=2
Vi betraktar en endimensionskristall. Kristallatomer kan
utföra vibrationer med
följande vaglängder:
2L

n
För tillåtna energier gäller:
n=3
hcs hcs n



2L
cs = utbredningshastgheten av
vibrationer = ljudhastighet
n
1
e  / kT  1

1
ny
e  hcsn / 2LkT  1
U i tre dimensioner:
  n   
U3
nx
ny
nz
Vibrationer kan händer i 1 longitudinal och 2 transversala moder,
därför inkludras en faktor 3.
Området av tillåtna tillstånd har
formen av en tärning i nx-ny-nz rum,
Debye gjorde approximation med en
attondel av en kula med samma
volym. Volumen av kulattondelen
måste utgör N, därför gäller:
nx
nz
Debye-approximation
4(n max )3  (n max )3 
N

38
6
1/ 3
n max
 6N 





/2
n max
U3
  
3
U
2

n2
0

e / kT
d d n 2 sin 
dn
0
n max
/2
0
0
3
dn 
1
2
n max

0

e / kT  1
hcs
nhcs
n3
dn
med


2L e nhcs / 2LkT  1
2L
3
 nhcs 
n max
x max
3
8k 4 T 4 L3  2LkT   nhcs  12k 4 T 4 V
x3

d

dx

nhcs / 2LkT
3 3
3 3
x
2 0 h cs e
 1  2LkT 
h cs
e 1
0


L=V1/3
1/ 3
x max
n max hcs
hcs  6N 


2LkT
2LkT   
12k T V
U
h 3 cs 3
4
4
TD / T

0
1/ 3
hcs  6N 

2kT  V 
x
12k V
4
dx

NkT
ex  1
h 3 cs 3 N
3
3
TD

T
TD / T

0
3
9
9  8k 3V 12k 3 V


3
3 3
TD
6Nh cs
Nh 3 cs 3
x
9NkT
dx 
x
e 1
TD 3
4 TD / T

0
x3
dx
x
e 1
Vid höga temperaturer gäller:
9NkT
U
TD 3
9NkT
U
TD 3
4 TD / T
4 TD / T

0

0
x3
dx
x
e 1
när T
3
x
9NkT
dx 
1  x 1
TD 3
TD är x
4 TD / T

0
1 och e x  1  x
2
Vid laga temperaturer:
9NkT
U
TD 3
när T
4 TD / T

0
9NkT
TD är U 
TD 3
x3
dx
x
e 1
4 

0
3
9NkT 1  TD 
x dx 
 3NkT


3
TD 3  T 
4
x3
94 NkT 4
dx 
x
e 1
15TD 3
34 NkT 4
U
5TD 3
Värmekapacitet av fast kropp
Hög T
U  3NkT
U
CV 
 3Nk
T
CV/3Nk
1.0
0.5
Lag T
34 NkT 4
U
3
5TD
12 NkT
CV 
5TD 3
4
0.2
3
0.4
0.6
0.8
T/TD
Värmekapaciteten av en fast kropp
1.0
Ising modell av en ferromagnet
I en paramagnet tenderar dipolmomenter av atomer att utriktar sig
antiparallel till ett externt magnetfält. I en ferromagnet händer
utriktningen av dipolmomenter spontant (utan externt fält) parallelt.
Vi betraktar först 2 dipolmomenter bredvid varandra.
Om vi fixer en till utrikning s=1 (“upp”) så finns s möjligheter s=1 (upp)
och s=-1 (ned) för den andra med olika energier:
E = 
E = -
E = -s
Om vi utvidga den här modellen till en 4x4-atomig planar kristall:
Om vi antar alla utriktningar utav den röda (som har 8 grannar) är
frusna, så gäller för energier av de två utriktningar vid den :
Ened = (5-3)2
och
Eupp = -2
Generellt gäller för energin för en dipol:
Eupp = sn
Eupp = -sn
med n = antal av granndipoler och s som deras genomsnittlig utriktning.
Zi 

1
si 
Zi
e Ei 
s e
i

ens  ens  e ns  2 cosh  ns 
  (si )
ens
1  e  (1)e

2 cosh  ns 
 ens
si  tanh  ns 

2sinh  ns 
2 cosh  ns 
Graf av s och tanh(s)
Vid n > 1
Vid n < 1
stabil
s
s
tanh(s)
tanh(s)
stabil
s
Enda stabila tillstånd med s = 0
 ingen spontan utriktning
stabil
ostabil
Stabila tillstånd med s = 0
 spontan utriktning
Stabilitetsgränsen ligger alltså vid n = 1:
n
n
1  T 
kT
kT
Tc
Tc kallas Curie-Temperatur
Ferromagneter visar ferromagnetismen vid T< Tc ,vid T>Tc bara vanliga
paramagnetismen.
Curietemperaturer
Järn
Nickel
Kobalt
Gadolinium
1024 K
627 K
1122 K
280 K
Varför är magnetisera järnet sig inte spontant
vis rumstemperatur ?
Bara några i sma områden (Weiss-områden) utriktar sig
dipoler spontant parallelt:
Weiss
område
B
Utan externt magnetfält
Vid starkt externt magnetfält
Vid ett starkt externt magnetfält kan man utrikta Weiss-områden
parallelt och tillverka en permanentmagnet.