Transcript n 1 F
Fermi-Diracstatistiken
vid olika temperaturer
n
F
1
F = Fermienergin
Låg T
Hög T
T=0
Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer
Partikel i boxen
Tillåtna våglängder:
2L
n
n
Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):
h hn
pn
n 2L
För alla 3 rymdkoordinater gäller:
hn x
px
2L
py
hn y
2L
hn x
pz
2L
px 2 p y 2 pz 2
p2
h2
2
2
2
n
n
n
x y z
2m
2m
8mL2
När man har Fermi-Dirac
statistik, gäller för Fermienergin:
nz
h 2 n max 2
F
8mL2
max nx2+ny2+nz2
Maxenergin formar en åttondel av
en kulyta med r = n2. Volumen är:
4n max 3 n max 3
N(n)
38
6
nx
ny
När vi fyller de tillstånd med partikler med halvtalig spin, t. ex.
elektroner, får vi plats för 2 elektroner per tillstånd med olik spin:
n max
N 2N(n)
3
3
n max
2
3N
23
Insättning i formeln för Fermienergin utgör:
h n max
h 3N
F
2
8mL
8mL2
2
2
2
23
h 3N
8m V
2
23
med V L3
Energin av hela ensemblen är:
U2
(n) 2 (n)dn dn dn
x
nx
2 partikler per
tillstånd
U2
U2
2
ny
y
nz
Övergång till polarkoordinater
2
2
n max
(n)n 2 sin dn d d 2 d sin d
0
n max
z
n max
(n)n 2 dn
0
0
n max 5 h 2
U
40mL2
n 4h 2
dn
2
8mL
n max 3
N
3
n max 5 h 2
N F
3 8mL2
0
(n)n 2dn
0
n 2h 2
med (n)
8mL2
h 2 n max 2
F
8mL 2
3
U N F
5
Genomsnittliga energin av en partikel är 60 % av Fermi-energin.
Antal av tillstånd per energi
n max
U
h 2n 2
8mL2
(n)n dn
2
0
dn
8mL2 1
d
h2 2
8mL2
n
h2
8mL2 1
dn
d
2
h 2
3/ 2
2
8mL
8mL 1
8mL
U 2
d 2
d
2
h
h 2
2 h
0
0
F
2
F
U g()d
0
2
F
8mL2 3 / 2
med g() 2
2 h
g() är ett mått hur många tillstånd finns per energi
Graf av g() vid T=0
g()
F
< F alla tillstånd fullt ockuperad
> F ingen tillstånd ockuperad
FD vid laga temperaturer
Vid T=0 räcker det att summera alla tillstånd från 0 till Fermikanten för att få antalet av partikler:
F
N 2 g() d
g(e) = Antal av tillstånd
per energi
0
Vid laga T måste troligheten att tillståndet är ockuperad beaktas:
N 2 g()n(FD)d g()
0
0
1
1 e
U 2 g()n(FD)d g()
0
( ) / kT
0
d
1
1 e
( ) / kT
d
Graf av g() vid T>0
g()
T=0
T>0
F
Photon i boxen
Tillåtna våglängder:
2L
n
n
Tillåtna energier
hc hnc
2L
BE statistik för fotoner
n(BE)
1
e( ) / kT 1
Om man betraktar en absorptions (eller emissions) process av en foton
genom en elektron
e- + hn eså gäller i jämnvikt:
(e-) + (hn) = (e-)
(hn) = 0
n(BE fotoner )
1
e
/ kT
1
1
e nhn / kT 1
Planckfördelning
I 3 dimensioner:
hnc
2L
hc n x 2 n y 2 n z 2
2L
2 oberoende polarisationer per energi
U2
nx
/ 2
/ 2
ny
nz
hcn
1
n(BE)
hcn / 2LkT
L
e
1
n x ,n y ,n z
3
hcn
1
hcn
1
2
U dn d d n sin
hcn / 2LkT
hcn / 2LkT
L
e
1
2
L
e
1
0
0
0
0
d hc
dn 2L
hcn
2L
U
0
2L
dn
d
hc
hcn
1
1
3
dn n hcn / 2LkT
d
hcn / 2LkT
2 L e
1
e
1
0
3
8L h c n
1
8L3 3
d
d
3 3
3
/ kT
3 3
/ kT
h c 8L e 1
h c e 1
0
0
3
3
U
3
3
8V kT
4
/ kT
e / kT 1
h 3 c3
0
8 kT x
8 kT
U
dx
3 3
x
3 3
V 0 hc
e 1
15h c
4
Med x=/kT
3
3
5
d( / kT)
4
med
0
L3=V
x3
4
dx
x
e 1
15
Fotonpassering genom ett hål
Rsind
Rd
Rsin
R
cdt
R=ct
Röda volymen:
Rd R sin d cdt cR sin d d dt
2
Alla fotoner kommer inte att
passera hålet , bara de som har
rätta vinkeln.
Rd
R
Acos
cdt
R=ct
A
Energiförlust:
Fotonenergi i volym (U/V)
trolighet av passering (Pp)
i tidsintervall dt.
U
U(volym) (volym)
V
U 2
cR sin d d dt
V
A cos
Pp
4R 2
Energin som passerar med fotoner genom hålet:
U
(volym) Pp
V
U 2
A cos
E(pass) cR sin d d dt
V
4R 2
E(pass)
För totala energiförlusten gäller:
2
/2
U Ac
E(tot)
d
V 4 0
0
U Ac
d cos sin dt
V 2
/2
d sin cos dt
0
8 kT Ac
2 kT
Uc
E(tot)
dt
dt
Adt
3 3
3 2
V4
15h c
4
15h c
5
4
5
4
P E(tot) 2 kT
4
T
A
Adt
15h 3 c 2
5
4
Lag av Stefan-Boltzmann, är Stefan-Boltzmann-konstanten
5.67 x 10-8 Wm-2K-4
Svarta strålare
Betrakta en strålare med samma T och samma yta som hålet:
T(box)=T(strålare)
Om strålningen av boxen
eller strålaren är intensivare,
skulle en av dem uppvärmas men
den andra svalnas omöjligt.
T(box)=T(strålare)
Om strålningen en av dem är
intensivare vid en viss våglängd,
skulle man åstådkomma samma
situationen med hjälp av en filter.
Strålningen av en svart strålare har samma spektrum och samma
intesitet som den från ett hål.
Jorden som svart strålare
Intensiteten av solstrålningen är 1370 W/m2, så kallade solarkonstanten.
Jordtvärsnittet är R2. Intensiteten av instrålning av solen är:
P(in) solarkons tan t R 2
Om man betrakta jorden som svarta strålare, så gäller
P(ut) AT 4 4R 2 T 4
I jämnvikt är P(in)=P(ut):
solarkons tan t R 2 4R 2 T 4
1/ 4
solarkons tan t
T
4
279K
Men: Jorden är ingen svart strålare, men reflektera 30 %.
Denna förlust kompenseras med växthuseffekten.
Månen som svart strålare
Månen saknar atmosfär, därför finns ingen konvektiv värmetransport.
Om man antar lodrätt infall av solstrålen (på månekvatorn) och vet att
månen reflekterar 7 % av infallande ljuset, är infallsintensiteten på 1m2:
P(in) solarkons tan t 1 0.93
Månen är ingen perfekt svart strålare, den emitterar bara 96 %
av ljuset som den skulle som svart strålare, så för 1 m2 är:
P(ut) 0.96 T 4
I jämnvikt gäller:
P(ut) P(in) 0.96 T 4 0.93 (solkons tan ten)
0.93 (solkons tan ten)
T
.
4
0.96
1/ 4
391 K
som överensstämmer ganska bra med den uppmätta temperaturen 400K.
Debyemodellen av fast kropp
n=1
n=2
Vi betraktar en endimensionskristall. Kristallatomer kan
utföra vibrationer med
följande vaglängder:
2L
n
För tillåtna energier gäller:
n=3
hcs hcs n
2L
cs = utbredningshastgheten av
vibrationer = ljudhastighet
n
1
e / kT 1
1
ny
e hcsn / 2LkT 1
U i tre dimensioner:
n
U3
nx
ny
nz
Vibrationer kan händer i 1 longitudinal och 2 transversala moder,
därför inkludras en faktor 3.
Området av tillåtna tillstånd har
formen av en tärning i nx-ny-nz rum,
Debye gjorde approximation med en
attondel av en kula med samma
volym. Volumen av kulattondelen
måste utgör N, därför gäller:
nx
nz
Debye-approximation
4(n max )3 (n max )3
N
38
6
1/ 3
n max
6N
/2
n max
U3
3
U
2
n2
0
e / kT
d d n 2 sin
dn
0
n max
/2
0
0
3
dn
1
2
n max
0
e / kT 1
hcs
nhcs
n3
dn
med
2L e nhcs / 2LkT 1
2L
3
nhcs
n max
x max
3
8k 4 T 4 L3 2LkT nhcs 12k 4 T 4 V
x3
d
dx
nhcs / 2LkT
3 3
3 3
x
2 0 h cs e
1 2LkT
h cs
e 1
0
L=V1/3
1/ 3
x max
n max hcs
hcs 6N
2LkT
2LkT
12k T V
U
h 3 cs 3
4
4
TD / T
0
1/ 3
hcs 6N
2kT V
x
12k V
4
dx
NkT
ex 1
h 3 cs 3 N
3
3
TD
T
TD / T
0
3
9
9 8k 3V 12k 3 V
3
3 3
TD
6Nh cs
Nh 3 cs 3
x
9NkT
dx
x
e 1
TD 3
4 TD / T
0
x3
dx
x
e 1
Vid höga temperaturer gäller:
9NkT
U
TD 3
9NkT
U
TD 3
4 TD / T
4 TD / T
0
0
x3
dx
x
e 1
när T
3
x
9NkT
dx
1 x 1
TD 3
TD är x
4 TD / T
0
1 och e x 1 x
2
Vid laga temperaturer:
9NkT
U
TD 3
när T
4 TD / T
0
9NkT
TD är U
TD 3
x3
dx
x
e 1
4
0
3
9NkT 1 TD
x dx
3NkT
3
TD 3 T
4
x3
94 NkT 4
dx
x
e 1
15TD 3
34 NkT 4
U
5TD 3
Värmekapacitet av fast kropp
Hög T
U 3NkT
U
CV
3Nk
T
CV/3Nk
1.0
0.5
Lag T
34 NkT 4
U
3
5TD
12 NkT
CV
5TD 3
4
0.2
3
0.4
0.6
0.8
T/TD
Värmekapaciteten av en fast kropp
1.0
Ising modell av en ferromagnet
I en paramagnet tenderar dipolmomenter av atomer att utriktar sig
antiparallel till ett externt magnetfält. I en ferromagnet händer
utriktningen av dipolmomenter spontant (utan externt fält) parallelt.
Vi betraktar först 2 dipolmomenter bredvid varandra.
Om vi fixer en till utrikning s=1 (“upp”) så finns s möjligheter s=1 (upp)
och s=-1 (ned) för den andra med olika energier:
E =
E = -
E = -s
Om vi utvidga den här modellen till en 4x4-atomig planar kristall:
Om vi antar alla utriktningar utav den röda (som har 8 grannar) är
frusna, så gäller för energier av de två utriktningar vid den :
Ened = (5-3)2
och
Eupp = -2
Generellt gäller för energin för en dipol:
Eupp = sn
Eupp = -sn
med n = antal av granndipoler och s som deras genomsnittlig utriktning.
Zi
1
si
Zi
e Ei
s e
i
ens ens e ns 2 cosh ns
(si )
ens
1 e (1)e
2 cosh ns
ens
si tanh ns
2sinh ns
2 cosh ns
Graf av s och tanh(s)
Vid n > 1
Vid n < 1
stabil
s
s
tanh(s)
tanh(s)
stabil
s
Enda stabila tillstånd med s = 0
ingen spontan utriktning
stabil
ostabil
Stabila tillstånd med s = 0
spontan utriktning
Stabilitetsgränsen ligger alltså vid n = 1:
n
n
1 T
kT
kT
Tc
Tc kallas Curie-Temperatur
Ferromagneter visar ferromagnetismen vid T< Tc ,vid T>Tc bara vanliga
paramagnetismen.
Curietemperaturer
Järn
Nickel
Kobalt
Gadolinium
1024 K
627 K
1122 K
280 K
Varför är magnetisera järnet sig inte spontant
vis rumstemperatur ?
Bara några i sma områden (Weiss-områden) utriktar sig
dipoler spontant parallelt:
Weiss
område
B
Utan externt magnetfält
Vid starkt externt magnetfält
Vid ett starkt externt magnetfält kan man utrikta Weiss-områden
parallelt och tillverka en permanentmagnet.