Transcript Document 9653491

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 17
FUNGSI – FUNGSI KHUSUS, EKSPONENSIAL,
ALGORITMA DAN TRIGONOMETRI
SASARAN
PENGKAJIAN TENTANG FUNGSI-FUNGSI KHUSUS,
EKSPONENSIAL, ALGORITMA, DAN TRIGONOMETRI
POKOK BAHASAN
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS, EKSPONENSIAL,
ALGORITMA, DAN TRIGONOMETRI
Teorema
Terdapatlah fungsi E: R Rsedemikian
sehingga:
i.
E'(x)  E(x) untuk semua x  R
ii.
E( 0 )  1
Akibat
Fungsi Emempunyai turunan dari semua tingkat
(n)
E (x)  E(x) untuk semua n  N,x  R. .
Akibat
Bila x  0 , mak a 1  x  E(x)
Teorema
Fungsi E : R  R yang memenuhi (i) dan (ii) dari Teorema di atas adalah tun ggal.
Definisi
Fungsi Tunggal E : R  R sedemikian sehingga E' (x)  E(x) untuk semua x  R dan E(0)  1,
disebut dengan fungsi eksponensial. Bilangan
e :  E(1) disebut dengan Bilangan Euler .
Kita dapat menulis dengan
exp (x):  E(x) atau e x:  E(x) untuk x  R.
Teorema
Fungsi eksponensial memenuhi sifat – sifat sebagai berikut:
iii. E(x)  0 untuk semua x  R;
iv. E(x  y)  E(x) E(y) untuk semua x, y  R;
v. E(r)  er untuk semua r  Q.
Teorema
Fungsi Eksponensial Eadalah naik tajam pada Rdan mempunyai
daerah hasil sama dengan y  R : y  0 dan, kita dapatkan
vi.
lim E(x)  0 dan lim E(x)   .
x 
x 
Gambar dari E
(0,1)
Gambar dari L
(1,0)
Definsi
Fungsi Inverse dari E : R  R disebut dengan fungsi logaritma
(atau logaritma natural). Ditulis dengan L atau ln .
Teorema
Fungsi logaritma L adalah naik tajam dengan domain x  R : x  0 dan daerah hasil R. Turunan
dari L diberikan dengan
vi. L' ( x)  1 x untuk x  0 .
vii. L(xy)  L(x)  L(y) untuk x  0, y  0
viii. L( 1 )  0 dan L(e)  1
ix. L(x' )  rL(x) untuk x  0, r  Q
lim L(x)   dan lim L(x)  
x
x0
Definisi

Bila   R dan x  0, bilangan x didefinisikan sebagai :
x : e ln x  E (L( x)).
Fungsi x  x untuk x  0 disebut fungsi pangkat dengan eksponen 
.
Teorema
Bila   R dan x, y (0, ),
maka :

a) 1  1 .
b) x  0 ,
c) ( xy )  x y ,
d) ( x / y )  x / y .
Teorema
Bila ,   Rdan x (0, ), maka :
a) x    x x 
b) ( x ) 

x

 ( x )
,
c) x  1 x ,

d) jika    , maka x  x

untuk x  1
Teorema
Misalkan   R. Maka fungsi x  x pada (0, ) ke R adalah kontinu
dan deferensiabel, dan Dx   x 1 untuk x  (0,  ) .
Definisi
Misalkan a  0, a  1. Didefinisikan
loga ( x) :
ln x
untuk x  (0, ).
ln y
Untuk x  (0, ) Bilangan loga (x) disebut logaritma dari x dengan basis a.
Teorema
Terdapatlah fungsi – fungsi C : R  R dan S : R  R sedemikian sehingga
i. C'' (x)  C(x)danS '' ( x)   S ( x) untuk semua x  R
ii. C(0)  1, C' (0)  0, dan S(0)  0, S' (0)  1
Akibat
Bila Cdan Sadalah fungsi – fungsi pada teorema di atas, maka
berlaku
i. C ' ( x)  S ( x) dan S' ( x)  C ( x) untuk x  R
Akibat
Fungsi – fungsi C dan S memenuhi kesamaan Phytagoras
i. (C(x)) 2  ( S ( x)) 2  1 untuk x  R
Teorema
Fungsi - fungsi C dan S yang memenuhi persamaan (i) dan (ii) dari
Teorema di atas adalah tun ggal
Definisi
Fungsi – fungsi C: R Rdan S: R Ryang tunggal sedemikian sehingga,
C '' ( x)  C ( x) dan S '' ( x)  S ( x) untuk semua x  R
dan C(0)  1, C' (0)  0, dan S (0)  0, S ' (0)  1
Berturut – turut disebut fungsi cosinus dan fungsi sinus.
cos x : C( x) dan sin x : S ( x) untuk x  R.
Teorema
Bila f : R  R mempunyai sifat
f '' ( x)   f ( x) untuk x  R
maka terdapatlah bilangan – bilangan real ,  sedemikian sehingga
f ( x)  C ( x)  S ( x) untuk x  R
Teorema
Fungsi Cadalah genap dan fungsi Sadalah ganjil. Dalam arti bahwa,
v. C( x)  C( x) dan S ( x)  S ( x) untuk x  R
Bila x, y  Rmaka ;
C(x  y)  C(x)C(y)-S(x)S(y), S(x  y)  S(x)C(y)  C(x)S(y)
Teorema
Bila x  R, x  0, maka;
v.  x  S ( x)  x ;
1
2
vi. 1  x 2  C ( x)  1 ;
1
6
vii. x  x 3  S ( x)  x ;
1
2
1
2
viii. 1  x 2  C ( x)  1  x 2 
1 4
x
24
Lemma
Terdapatlah akar  dari fungsi cosinus dalam interval ( 2 , 3 ) . Di perluas
C ( x)  0 untuk x  [0,  ) . Bilangan 2 adalah akar positif terkecil dari S.
Definisi
Bilangan  : 2 menunjukkan akar positif terkecil dari S.
Catatan
: pertidaksamaan
2    6  2 3 berakibat.
Teorema
Fungsi – fungsi Cdan Smempunyai periode 2 dalam arti bahwa;
v. C( x  2 )  C( x) dan S ( x  2 )  S ( x) untuk x  R . Diperluas, kita peroleh;
1
1
1
1
S ( x)  C (   x)  C ( x   ), C ( x)  S (   x)  S ( x   ) untuk semua x  R
2
2
2
2