Transcript Slide-6-Funzioni Continue

Matematica per l’Economia
Gruppo L-Z
Dipartimento di Economia
Universitá degli Studi di Bari
FUNZIONI CONTINUE
Giovanni Villani
FUNZIONI CONTINUE∗
Definizione 1 Sia f : X → R ed x0 ∈ X. Diremo che f é continua in x0 se vale una delle
due seguenti condizioni:
• x0 é un punto isolato;
• x0 é un punto di accumulazione per X e
lim f (x) = f (x0)
x→x0
Definizione 2 Diremo che f é continua in X
se é continua in ogni x0 appartenente ad X.
Teorema 1 ( sulla continuitá delle funzioni
montone)
Sia f : X → R. Se f é monotona ed il suo codominio f (X) é un intervallo, allora f é continua
in X.
∗ Appunti
Mat. per l’Econ L-Z - Villani Giovanni
1
Teorema 2 Siano f, g : X → R e sia x0 ∈ X.
Se f, g sono continue in x0 allora le funzioni
f + g, f · g, fg con g(x) 6= 0 sono continue in x0.
Teorema 3 Siano f : X → Y e g : Y → R e sia
x0 ∈ X. Se f é continua in x0 e g é continua
in y0 = f (x0), allora la funzione composta g ◦ f
é continua in x0.
Teorema 4 ( di Weierstrass)
Sia f : X → R. Se X é un insieme chiuso e limitato ed inoltre la funzione f é continua, allora
f é dotata di minimo e massimo assoluto.
Teorema 5 ( degli zeri)
Sia f : [a, b] → R, f continua. Se f (a)·f (b) < 0,
allora:
∃x0 ∈]a, b[ t.c. f (x0) = 0.
Da dimostrare.
Teorema 6 (del punto fisso)
Sia f : [a, b] → R, f continua.
Se f ([a, b]) ⊆ [a, b], allora
∃ x ∈ [a, b] t.c. f (x) = x
x di dice punto fisso.
PUNTI DI DISCONTINUITÁ
1. Sia f : X → R ed x0 ∈ X, x0 punto di
accumulazione per X.
Se ∃ lim f (x) = L 6= f (x0) allora x0 é un
x→x0
punto di discontinuitá eliminabile.
2. Sia f : X → R ed x0 ∈ X, x0 punto di
accumulazione a destra e a sinistra per X.
Se ∃ lim f (x) = L1 ∈ R ed ∃ lim f (x) =
x→x−
0
x→x+
0
L2 ∈ R con L1 6= L2, allora x0 dicesi punto
di discontinuitá di I specie.
3. Sia f : X → R ed x0 ∈ X, x0 punto di
accumulazione per X a destra e a sinistra.
Se ∃ lim f (x) ed ∃ lim f (x) di cui almeno
x→x+
0
x→x−
0
uno é infinito, allora x0 dicesi punto di
discontinuitá di II specie.