Transcript Matematica per l`Economia Gruppo L

Matematica per l’Economia
Gruppo L-Z
Dipartimento di Economia
Universitá degli Studi di Bari
LIMITI DI FUNZIONI
Giovanni Villani
ELEMENTI DI TOPOLOGIA∗
Definizione 1 Sia x0 ∈ R, r ∈ R, con r > 0.
Si dice intorno di x0 e di raggio r e si denota
con Ir (x0), l’insieme dei punti la cui distanza
da x0 é minore di r, ossia:
Ir (x0) = {x ∈ R| d(x, x0) < r} =]x0 − r, x0 + r[.
Se non é importante specificare il raggio, un
intorno di x0 si indicherá con Ix0
Definizione 2 Sia X ⊆ R e sia x0 ∈ R. Il punto
x0 é detto punto di accumulazione per X,
se in ogni intorno di x0 esiste almeno un punto
di X diverso da x0, ossia:
∀Ix0 , ∃x ∈ Ix0 ∩ X − {x0}
∗ Appunti
Mat per l’Econ L-Z - Villani Giovanni
1
Osservazione 1 La condizione che un punto
risulti di accumulazione si puó esprimere:
∃x ∈ X, x 6= x0 e x ∈]x0−r, x0+r[ ⇐⇒ 0 < |x−x0| < r
Definizione 3 Se x0 ∈ R non é di accumulazione per X allora x0 si dice punto isolato.
Definizione 4 Si definisce R̃ e si legge R ampliato, l’insieme dei numeri reali a cui si aggiungono gli elementi {±∞}.
Definizione 5 Sia a ∈ R. Si definisce intorno
di +∞ e di −∞:
I+∞ =]a, +∞[;
I−∞ =] − ∞, a[.
DEFINIZIONE DI LIMITE
Definizione 6 Sia f : X −→ R, sia x0 ∈ R̃ un
punto di accumulazione per X e sia L ∈ R̃.
Si dice che il limite di f (x), per x tendente a
x0, é L o, equivalentemente, che f (x) tende
ad L quando x tende a x0, e si scrive:
lim f (x) = L
x→x0
se é verificata la seguente condizione:
∀IL, ∃ Ix0 t.c. ∀x ∈ X ∩ Ix0 − {x0} : f (x) ∈ IL
I Caso
Sia x0 ∈ R e L ∈ R.
In questo caso IL =]L − ε, L + ε[ con ε > 0
raggio dell’intorno. Si ha:
f (x) ∈ IL ⇐⇒ |f (x) − L| < ε
Inoltre, se Ix0 =]x0 − δ, x0 + δ[ con δ > 0 raggio
dell’intorno, si ha:
x ∈ Ix0 − {x0} ⇐⇒ 0 < |x − x0| < δ
La definizione di limite si puó scrivere:
lim f (x) = L ⇐⇒
x→x0
∀ε > 0 ∃δ > 0 t.c.
∀x ∈ X : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
La funzione converge ad L in x0.
II Caso
Siano x0 ∈ R e L = +∞.
Osserviamo che IL =]ε, +∞[. In questo caso
f (x) ∈ IL ⇔ f (x) > ε. La definizione di limite
si puó scrivere:
lim f (x) = +∞ ⇐⇒
x→x0
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : 0 < |x−x0| < δ ⇒ f (x) > ε
In questo caso la funzione diverge positivamente in x0.
La retta x = x0 si dice asintoto verticale per
la funzione.
III Caso
Siano x0 ∈ R e L = −∞.
Osserviamo che IL =] − ∞, −ε[. In questo caso
f (x) ∈ IL ⇔ f (x) < −ε. La definizione di limite
si puó scrivere:
lim f (x) = −∞ ⇐⇒
x→x0
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : 0 < |x−x0| < δ ⇒ f (x) < −ε
In questo caso la funzione diverge negativamente in x0.
La retta x = x0 si dice asintoto verticale per
la funzione.
IV Caso
Siano x0 = +∞ e L ∈ R.
Osserviamo che IL =]L − ε, L + ε[ e Ix0 =
]δ, +∞[. In questo caso x ∈ Ix0 − {x0} ⇔ x > δ.
La definizione di limite si puó scrivere:
lim f (x) = L ⇐⇒
x→+∞
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : x > δ ⇒ |f (x)−L| < ε
In questo caso la funzione converge ad L per
x −→ +∞.
La retta y = L é detta asintoto orizzontale
destro per la funzione.
V Caso
Siano x0 = −∞ e L ∈ R.
Osserviamo che IL =]L − ε, L + ε[ e
Ix0 =]−∞, −δ[. In questo caso x ∈ Ix0 −{x0} ⇔
x < −δ. La definizione di limite sará:
lim f (x) = L ⇐⇒
x→−∞
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : x < −δ ⇒ |f (x)−L| < ε
In questo caso la funzione converge ad L per
x −→ −∞.
La retta y = L é detta asintoto orizzontale
sinistro per la funzione.
VI Caso
Siano x0 = +∞ e L = +∞.
Osserviamo che IL =]ε, +∞[ e Ix0 =]δ, +∞[.
In questo caso:
lim f (x) = +∞ ⇐⇒
x→+∞
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : x > δ ⇒ f (x) > ε
In questo caso la funzione diverge positivamente per x −→ +∞.
VII Caso
Siano x0 = +∞ e L = −∞.
Osserviamo che IL =] − ∞, −ε[ e Ix0 =]δ, +∞[.
In questo caso:
lim f (x) = −∞ ⇐⇒
x→+∞
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : x > δ ⇒ f (x) < −ε
In questo caso la funzione diverge negativamente per x −→ +∞.
VIII Caso
Siano x0 = −∞ e L = −∞.
Osserviamo che IL =]−∞, −ε[ e Ix0 =]−∞, −δ[.
In questo caso:
lim f (x) = −∞ ⇐⇒
x→−∞
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : x < −δ ⇒ f (x) < −ε
In questo caso la funzione diverge negativamente per x −→ −∞.
IX Caso
Siano x0 = −∞ e L = +∞.
Osserviamo che IL =]ε, +∞[ e Ix0 =] − ∞, −δ[.
In questo caso:
lim f (x) = +∞ ⇐⇒
x→−∞
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X : x < −δ ⇒ f (x) > ε
In questo caso la funzione diverge positivamente per x −→ −∞.
Osservazione 2 Una funzione per cui il
lim f (x) = 0 si dice infinitesima in x0 e se
x→x0
lim f (x) = ±∞ dicesi infinita in x0.
x→x0
TEOREMI SUI LIMITI
Teorema 1 ( di unicitá del limite).
Sia f : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione
per X. Se esiste:
lim f (x)
x→x0
questo é unico.
Da dimostrare.
Teorema 2 (della permanenza del segno).
Sia f : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione per X. Se:
lim f (x) < 0
x→x0
allora:
∃Ix0 t.c. ∀x ∈ X ∩ Ix0 − {x0} : f (x) < 0
Teorema 3 ( sul limite della restrizione) Sia
f : X → R, Y ⊆ X, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione per Y (e quindi per X). Se esiste:
lim f (x) = L ∈ R̃
x→x0
si ha che:
∃ lim f|Y (x) = L.
x→x0
Teorema 4 ( sul limite delle funzioni composte).
Sia f : X −→ Y , g : Y −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione per X, y0 ∈ R̃ punto di
accumulazione per Y . Se:
∃ lim f (x) = y0,
x→x0
∃ lim g(y) = L
y→y0
e
∃Ix0 t.c. ∀x ∈ X ∩ Ix0 − {x0} : f (x) 6= y0
allora:
∃ lim (g ◦ f )(x) = L.
x→x0
OPERAZIONI SUI LIMITI
Teorema 5 (sul limite della somma). Siano
f, g : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione
per X. Se:
∃ lim f (x) = L ∈ R̃ e ∃ lim g(x) = M ∈ R̃
x→x0
x→x0
allora:
∃ lim (f (x) + g(x)) = L + M
x→x0
Osservazione 3 Se L = +∞ e M = −∞, allora il limite presenta una forma indeterminata.
Teorema 6 (sul limite della funzione reciproca).
Sia f : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione
per X. Se esiste:
∃ lim f (x) = L ∈ R̃ − {0}
x→x0
allora:
1
1
=
x→x0 f (x)
L
∃ lim
Teorema 7 (sulla forma indeterminata 1
0)
Sia f : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione
per X. Se esiste:
∃ lim f (x) = 0
x→x0
e se
∃Ix0 t.c. ∀ x ∈ X ∩ Ix0 − {x0} : f (x) > 0
allora
1
∃ lim
= +∞.
x→x0 f (x)
Se
∃Ix0 t.c. ∀ x ∈ X ∩ Ix0 − {x0} : f (x) < 0
allora
1
∃ lim
= −∞.
x→x0 f (x)
Teorema 8 (sul limite del prodotto).
Siano f, g : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione per X. Se:
∃ lim f (x) = L ∈ R̃ e ∃ lim g(x) = M ∈ R̃
x→x0
x→x0
allora:
∃ lim (f (x) · g(x)) = L · M
x→x0
Osservazione 4 Se L = 0 e M = ±∞ allora
il limite si presenta sotto la forma indeterminata.
Teorema 9 (sul limite del rapporto).
Siano f, g : X −→ R, x0 ∈ R̃ punto di accumulazione per X. Se:
∃ lim f (x) = L ∈ R̃ e ∃ lim g(x) = M ∈ R̃−{0}
x→x0
x→x0
con g(x) 6= 0, ∀x ∈ X − {x0} allora:
f (x)
L
∃ lim
=
x→x0 g(x)
M
Osservazione 5 Se entrambe le funzioni tendono a zero o all’infinito, si hanno le seguenti
forme indeterminate:
∞
0
;
∞
0
Limite destro e limite sinistro
Definizione 7 Si definisce intorno destro del
numero reale x0, l’intervallo:
Ix+0 = [x0, x0 + r[
con r ∈ R, r > 0 raggio dell’intorno.
Definizione 8 Si definisce intorno sinistro del
numero reale x0, l’intervallo:
Ix−0 =]x0 − r, x0]
con r ∈ R, r > 0 raggio dell’intorno.
Definizione 9 Sia X ⊆ R, x0 ∈ R. Si dice che
x0 é punto di accumulazione a destra per
X, se in ogni intorno destro di x0 esiste almeno
un punto di X che sia diverso da x0. Ossia:
∀Ix+0 , ∃ x ∈ Ix+0 ∩ X − {x0}
Definizione 10 Sia X ⊆ R, x0 ∈ R. Si dice
che x0 é punto di accumulazione a sinistra
per X, se in ogni intorno sinistro di x0 esiste
almeno un punto di X che sia diverso da x0.
Ossia:
∀Ix−0 , ∃ x ∈ Ix−0 ∩ X − {x0}
Osservazione 6 1. x0 punto di accumulazione per X, 6⇒ x0 punto di accumulazione a
destra e a sinistra.
2. x0 punto di accumulazione a destra per X,
⇒ x0 punto di accumulazione per X.
3. x0 punto di accumulazione a sinistra per
X, ⇒ x0 punto di accumulazione per X.
Definizione 11 Sia f : X −→ R, x0 ∈ R punto
di accumulazione a sinistra. Si dice che il limite
di f (x), per x tendente ad x0 da sinistra é L e
si denota con:
lim f (x) = L
x→x−
0
se
∀IL ∃Ix−0 t.c. ∀x ∈ X ∩ Ix−0 − {x0} : f (x) ∈ IL
Definizione 12 Sia f : X −→ R, x0 ∈ R punto
di accumulazione a destra. Si dice che il limite
di f (x), per x tendente ad x0 da destra é L e
si denota con:
lim f (x) = L
x→x+
0
se
∀IL ∃Ix+0 t.c. ∀x ∈ X ∩ Ix+0 − {x0} : f (x) ∈ IL
Teorema 10 Sia f : X −→ R, x0 ∈ R punto di
accumulazione a destra e a sinistra per X. Si
ha:
∃ lim f (x) = L ⇐⇒
x→x0
∃ lim f (x) = L e ∃ lim f (x) = L
x→x+
0
x→x−
0
Limiti di Successioni
L’insieme dei numeri naturali N é costituito da
punti isolati e l’unico punto di accumulazione
é +∞. L’unico limite da calcolare é lim xn
n→+∞
che si denoterá con limn xn.
Definizione 13 Se ∃ limn xn = L ∈ R̃ allora la
successione (xn)n∈N si dice regolare.
In particolare:
1) se L ∈ R, (xn)n∈N si dice convergente;
2) se L = +∞, (xn)n∈N si dice divergente
positivamente;
3) se L = −∞, (xn)n∈N si dice divergente
negativamente;
4) se L = 0, (xn)n∈N si dice infinitesima.
Teorema 11 (sul limite delle successioni monotone).
Ogni successione monotona (xn)n∈N é regolare
e
lim xn =
n


 sup xn se (xn)n∈Né monotona crescente.


inf xn se (xn)n∈Né monotona decresc.
Numero di Nepero
Possiamo dare la giusta definizione del numero
di Nepero come:
1 n
lim 1 +
=e
n
n
poichè la successione xn =
tona crescente.
n
1
1+n
è mono-
Teorema 12 (fondamentale per il calcolo
dei limiti) Sia f : X → R, x0 ∈ R̃, x0 punto di
accumulazione per X, L ∈ R̃.
∃ lim f (x) = L ⇐⇒
x→x0
∀ (xn)n∈N, xn ∈ X − {x0} t.c. lim xn = x0 :
n
lim f (xn) = L.
n
Limiti Notevoli
1 x
• lim
1+
=e
x→±∞
x
• lim (1 +
x→0
1
x) x
=e
loga(1 + x)
= loga e;
x→0
x
• lim
ln(1 + x)
= 1;
x→0
x
• lim
1
ax − 1
• lim
=
;
x→0
x
loga e
sin x
=1
x→0 x
• lim
ex − 1
lim
= 1;
x→0
x