Transcript Document 9653475

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 22
Integral Improper dan Lebesgue
Sasaran
Pengkajian tentang
Integral Improper dan Lebesgue
Pokok Bahasan
Integral Improper dan
Lebesgue
Teorema (Hake)
Bila f :[ a , b ]  R , maka f  R * [ a, b] bila dan hanya bila untuk
setiap   (a, b) pembatasan dari f ke [a,  ] berada dalam
R * [ a ,  ] dan

lim  f  A  R .
 b
Dalam hal ini

b
a
f  A.
a
Contoh


Misalkan
k 1
ak
sembarang deret dari bilangan
real yang konvergen ke
A  R. Terdapatlah fungsi
 R[0,1] sedemikian sehingga

   a  A.
1
0
k1
k
Definisi
Fungsi
f  R *[a, b]
sedemikian
sehingga
| f |R*[a,b]
dikatakan integrabel versi Lebesgue pada [a, b] . Himpunan
semua fungsi yang integrabel versi Lebesgue pada [ a , b ]
ditulis L[a, b].
Tes Banding
Bila f ,   R * [a, b] dan | f ( x ) |  ( x ) untuk semua
x  [ a, b], maka f  L[a, b] dan
|

b
a
f |

b
a
| f |

b
a
.
Teorema
Bila f , g  L[ a, b] dan bila c  R , maka cf dan f + g
juga berada dalam L[ a , b ]. Diperluas,

b
a
cf
 c
b
a
f dan
b
b
b
a
a
a
 | f  g |   | f |   | g |.
Teorema
Bila
f  R * [ a , b ],
maka
pernyataan-pernyataan
di
bawah ini adalah ekivalen:
(a) f  L[a, b].
(b)
Terdapat
  L[ a , b ]
sedemikian
sehingga
sedemikian
sehingga
f ( x)   ( x) untuk semua x  [a, b].
(c)
Terdapat
  L[ a , b ]
 ( x)  f ( x) untuk semua x  [ a, b].
Teorema
Bila f , g  L[a, b], maka fungsi-fungsi max{f, g} dan min
{f, g} juga berada dalam L[a, b].
Teorema
Misalkan f , g ,  ,   R * [a, b]. Bila
f   , g   atau bila
  f ,   g,
maka max{f, g} dan min{f, g} juga berada dalam
R * [a, b],